2021届高三文科数学《大题精练》 (4)

2021届高三数学（文）“大题精练”4

17．（本小题满分12分）

已知等差数列中，为其前项和，；等比数列的前项和

（I）求数列的通项公式；

（II）当各项为正时，设，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

在长方体中，．

（I）证明：平面面；

（II）求三棱锥与的体积比．

19．（本小题满分12分）

至年底，我国发明专利申请量已经连续年位居世界首位，下表是我国年至年发明专利申请量以及相关数据．

注：年份代码～分别表示～．

（I）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？

（II）建立关于的回归直线方程（精确到），并预测我国发明专利申请量突破万件的年份．

参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，

20．（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足．

（I）求抛物线的方程；

（II）若为上动点，，在轴上，圆内切于，求面积的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（I）求函数在上的最大值；

（II）若函数有两个零点，证明：．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（I）求曲线的极坐标方程；

（II）设为曲线上不同两点（均不与重合），且满足，求的最大面积．

23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

设函数

（I）解不等式；

（II）当，时，证明：．

2020届高三数学（文）“大题精练”4（答案解析）

17．（本小题满分12分）

已知等差数列中，为其前项和，；等比数列的前项和

（I）求数列的通项公式；

（II）当各项为正时，设，求数列的前项和．

【解析】（I）设等差数列的首项为，公差为，

则，

，，

当时，；当时，也满足上式，∴．

（II）由题可知，，

，

，

，故．

18．（本小题满分12分）

在长方体中，．

（I）证明：平面面；

（II）求三棱锥与的体积比．

【解析】（I）证明：连接，∵，∴四边形是正方形，∴，

由题，∵，∴，

又，，平面，∴平面，

又平面，∴平面平面．

（II）解：连结，由题，∵，∴平面，∴，到平面的距离相等，

故三棱锥与的体积比为1：1．

19．（本小题满分12分）

至年底，我国发明专利申请量已经连续年位居世界首位，下表是我国年至年发明专利申请量以及相关数据．

注：年份代码～分别表示～．

（I）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？

（II）建立关于的回归直线方程（精确到），并预测我国发明专利申请量突破万件的年份．

参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，

【解析】（I）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下：，

∴2013年的增长率最高，达到了26%．

（II）由表格可计算出：，，关于的回归直线方程为．

令，

∴根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足．

（I）求抛物线的方程；

（II）若为上动点，，在轴上，圆内切于，求面积的最小值．

【解析】（I）抛物线的焦点为，则过点且斜率为1的直线方程为，

联立抛物线方程，消去得：，

设，则，

由抛物线的定义可得，解得，∴抛物线的方程为．

（II）设，，，不妨设，，化简得：，

圆心到直线的距离为1，故，

即，不难发现，

上式又可化为，同理有，

∴可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，

，，

由条件：，

，当且仅当时取等号，

∴面积的最小值为8．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（I）求函数在上的最大值；

（II）若函数有两个零点，证明：．

【解析】（I）∵，则．

令，解得．

当时，；

当时，，

故函数的增区间为，减区间为．

当，即时，在区间上单调连增，则；

当，即时，在区间上单调递墙，在区间上单调递减，则；

当，即时，在区间上单调递减，则．

（II）证明：若函数有两个零点，则，可得．

则，此时，由此可得，故，即．

又∵，∴，则．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（I）求曲线的极坐标方程；

（II）设为曲线上不同两点（均不与重合），且满足，求的最大面积．

【解析】（I）设曲线上任意点的极坐标为，由题意，曲线的普通方程为，即，则，故曲线的极坐标方程为．

（II）设，则，故，

∵点在曲线上，则，，

，

故时，取到最大面积为．

23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

设函数

（I）解不等式；

（II）当，时，证明：．

【解析】（I）由已知可得：，

当时，成立；

当时，，即，则．

∴的解集为．

（II）由（I）知，，

由于，则，当且仅当，即时取等号，则有．