初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第8章第2节 串联、并联与混联电路（含答案）

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第二节 串联、并联与混联电路

在电路中，用电器按照不同的方式连接起来，就组成了串联、并联和混联电路。不同连接方式所对应的电压、电流等的规律也不相同。
一、串联电路
1．串联电路的定义
串联电路是指各用电器沿着单一路径顺次连接在一起，电流只沿着一条路径流动的电路。图8.10为常见的串联电路。
2．串联电路的规律
以图8.10为例，设串联电路的总电压为，总电流为，各电阻两端电压分别为，，，流过各电阻的电流分别为，，，串联的总电阻为，则申联电路的规律可总结如下：
(1)串联电路电流处处相等：。
(2)串联电路两端总电压等于各电阻两端电压之和：。
(3)串联电路的总电阻等于各电阻之和：；串联电路的总电阻大于其中任何一个电阻，串联电路中任一电阻增大，总电阻也增大。
(4)串联电路各电阻两端的电压与其阻值成正比：。
二、并联电路
1．并联电路的定义
各用电器连接时，首端连接在一起作为首端，尾端连接在一起作为尾端，电流分别流过各个用电器的电路叫做并联电路。图8.11为常见的并联电路。
2．并联电路的规律
以图8.11为例，设并联电路总电压为，总电流为，各电阻两端电压分别为，，，流过各电阻的电流分别为，，，并联的总电阻为，则并联电路的规律可总结如下：
(1)并联电路各电阻(或支路)两端电压相等：。
(2)并联电路干路上的电流等于各支路电流之和：。
(3)并联电路的总电阻的倒数等于各支路电阻倒数之和：；并联电路的总电阻小于任何一个支路电阻，且总电阻与最小的支路电阻更接近。并联电路中任一电阻增大，总电阻也增大。
(4)并联电路各电阻通过的电流与电阻阻值成反比：。
三、混联电路
1．混联电路的定义
混联电路是指用电器的连接方式中，既有串联方式又有并联方式。图8.12(a)为典型的混联电路。

在混联电路中，弄清楚各个用电器的连接方式是关键。在图8.12(b)中，虚线框中的电阻，并联，然后虚线框再与串联组成虚线框，虚线框与电阻并联组成虚线框，虚线框最后与电阻串联，即为整个电路的总电阻。其中：
虚线框内的等效电阻为，虚线框内的等效电阻为；
虚线框内的等效电阻为，电路总电阻为。
2．混联电路的电压、电流关系
在图8.12(b)中，设电源电压为，通过电源的电流为，电阻两端的电压分别为，通过它们的电流分别为，则有：
在虚线框中，有。
在虚线框中，有，。
在虚线框中，有，。
电源电压。
分析清楚电路的连接方式和各个用电器电压、电流之间的关系，是解决混联电路问题的关键。
例1 (上海第26届大同杯初赛)三个阻值相等的电阻和电阻，，组成如图8.13所示的电路，且。若电阻两端的电压为，电阻两端的电压为，则电阻两端的电压为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 本题是典型的混联电路问题，解题的关键是弄清楚各个电阻之间的连接关系，以及它们电压、电流之间的关系。设，，两端电压分别为，，，通过的电流分别为，，，根据电路图，电阻与串联后再与并联，则有
①
又，代入①式，可得
②
电阻两端的电压为，等于与位于中间的电阻两端电压之和，即
③
将，代入③式，并结合，可得

即
④
由②式解得，并代入④式，得到关于的方程：

解得或(舍去)。因此选项B正确。
例2 (上海第10届大同杯复赛)在图8.14所示电路中，(且保持不变)，，，为了使电流表读数在同样的电阻链任意加长或减短时均保持不变，求：

(1)最后一个电阻的取值。
(2)这时电流表的读数。

分析与解 (1)根据欧姆定律，电流表读数在同样的电阻链任意加长或减短时均保持不变，则电路中的总电阻为定值，与电阻链的个数无关。考察最右端电阻链的四个电阻，显然，当这四个电阻的总阻值恰等于时，方能符合题意。则有，代入数据，解得。
(2)由题意可知总电阻，电流表读数。
例3 在如图8.15所示电路图中，，两端电压为，，，。
(1)若，间接理想电压表，求电压表的读数。
(2)若，间接理想电流表，求电流表的读数。
(3)若各个电阻阻值未知，但已知，则(1)、(2)两小问的结果分别如何？
分析与解 本题是典型的桥式电路问题，希望本题的解答可以帮助同学们理解这一模型。
(1)，间接理想电压表时，，间并没有电流。我们可以先求出电阻，两端的电压，即，与，之间的电压，从而可以求出，间的电压。如图8.15所示，与的电压之和，且根据串联分压，解得，；同理，，。可见，，两点间的电压为，，两点间的电压为，则，间的电压。
(2)，间接理想电流表时，如图8.16(a)所示、将各个支路电流画出，并设流过电流表的电流为，方向从流向，则可得，只要求出,，则可求出。将图8.16(a)改画为图8.16(b)，这不会改变通过各个电阻的电流。在图8.16(b)中，与并联，与并联，然后两部分再串联起来。与并联后的电阻，与并联后的电阻，根据串联分压原理，可知两部分所分电压，且，解得，，所以
，
所以，可见，通过电流表的电流大小为，方向应从点流向点。

(3)若各电阻阻值满足，在，两点未接通时，根据串联分压规律，显然有，，即图8.15中，两点间电压与，两点间电压相等，则可推知，两点间电压为零，因此在，间接电压表或电流表，读数都将为零。这也是一个重要结论，反过来也成立：若，之间电流为零，则一定有。

练习题
1．(上海第12届大同杯初赛)在图8.17所示的电路中，电流表的读数为，若要使电流表的读数变为，则要( )。
A．在电路中串联一个电阻且
B．在电路中串联一个电阻且
C．在两端并联一个电阻且
D．在两端并联一个电阻且
2．(上海第13届大同杯初赛)在如图8.18所示电路中，电流表，，的示数比为5：3：1，则电阻，，之比为( )。
A．1：3：5 B．3：5：15 C．1：1：2 D．2：2：1
3．(上海第12届大同杯初赛)现有四个电阻，，和，其中，。现将和组成串联电路，和组成并联电路，则( )。
A．串联电路的总电阻一定大于并联电路的总电阻
B．串联电路的总电阻一定小于并联电路的总电阻
C．串联电路的总电阻可能大于并联电路的总电阻
D．串联电路的总电阻可能等于并联电路的总电阻

4．(上海第27届大同杯初赛)在如图8.19所示的电路中，电阻，若保持电路的总电流不变，那么为了使通过的电流稍增大一点，可采用的措施是( )。
A．与并联一个比小得多的电阻
B．与并联一个比大得多的电阻
C．与串联一个比小得多的电阻
D．与串联一个比大得多的电阻
5．(上海第19届大同杯初赛)某电压表的量程为，如给该电压表串联一个电阻，则电路两端允许的最大电压为；如给该电压表串联一个电阻，则电路两端允许的最大电压为。现将电阻和并联后再与该电压表串联，如图8.20所示，则此时电路两端允许的最大电压为( )。
A． B． C． D．
6．(上海第12届大同杯初赛)如图8.21所示，已知，保持电压不变，当电键闭合后( )。
A．电流表、电压表的读数均不变
B．电流表读数不变，电压表读数变为原来的2倍
C．电压表读数不变，电流表读数变为原来的2倍
D．电流表、电压表的读数均变为原来的2倍

7．(上海第12届大同杯初赛)如图8.22所示，当闭合后，电压表的示数为，电压表的示数为，电流表的示数为，将和对换位置后，，和的示数均不变，则( )。
A．通过，，的电流之和为 B．
C．电源电压为 D．两端电压为
8．(上海第12届大同杯初赛)在如图8.23所示的电路中，已知，当电键闭合时，电压表的示数为，那么电流表的示数为( )。
A． B． C． D．
9．(上海第12届大同杯初赛)在如图8.24所示的电路中，的电阻值为，，，的电阻值都相等，电流表的电阻忽略不计，电路两端的电压恒定不变。当电键,同时合上或同时打开时，发现电流表的示数不变，可以推知未知电阻的阻值为( )。
A． B． C． D．

10．(上海第8届大同杯复赛)在图8.25所示的电路图中，四个小灯泡完全相同。在电键闭合前，各灯都能正常发光。当电键闭合后，应该出现的情况是( )。
A．各灯都比电键闭合前亮 B．各灯都比电键闭合前暗
C．各灯都不可能发光 D．各灯仍能正常发光
11．(上海第26届大同杯初赛)在如图8.26所示的电路中，，，是三个完全相同的电压表。，是两个定值电阻，若电压表，的示数分别是和，则，之间的电压可能为( )。
A． B． C． D．

12．(上海第14届大同杯初赛)如图8.27所示的电路较为复杂，但采用合理的估算，就可以计算出表与表的示数分别为( )。
A．0.13，30 B．0.11，10 C．0.33，30 D．0.31，10
13．(上海第14届大同杯初赛)图8.28所示电路是由12个不同的电阻组成的，已知，其余电阻阻值未知，测得，间的总电阻为。今将换成的电阻，则，间的总电阻为( )。
A． B． C． D．
14．(上海第14届大同杯初赛)在图8.29所示的电路中，电源电压保持不变，电键闭合前，电流表，的示数比为5：3，电键闭合后，两电流表的示数比为3：2，则，的大小关系是( )。
A． B． C． D．无法确定

15．(上海第13届大同杯初赛)如图8.30所示，滑动变阻器的总电阻为，定值电阻，电源电压为。断开电键，移动滑动片使电压表的示数为，然后闭合电键，则通过的电流为( )。
A． B． C． D．
16．(上海第16届大同杯初赛)在如图8.31所示的两种电路中，电源电压相同，四个电阻器的电阻值均相等，四个电流表也完全相同，但电流表的内阻均不可忽略不计。电流表，，，八的示数分别为，，，，则下列不等式中错误的是( )。
A． B． C． D．
17．(上海第21届大同杯初赛)如图8.32所示，电源电压恒为，滑动变阻器的滑片位于中点，则下列情况中，可使电阻两端的电压最接近的是( )。
A．， B．，
C．， D．，

18．(上海第23届大同杯初赛)如图8.33所示，图(a)，(b)中两个电路的电源完全相同，且。则下列说法中正确的是( )。
A．电流表没有示数，电流表有示数
B．电流表，都有示数，且示数相同
C．电流表，都有示数，且电流表的示数较大
D．电流表，都有示数，且电流表的示数较大
19．(上海第28届大同杯初赛)在如图8.34所示的电路中，为一个稳压管，其作用是确保，之间的电压不变，只要流过稳压管的电流在和之间，将稳定为。为一可变电阻，它的最小值为，最大值为无穷大(即断路)。设电源电压为，则当变化时，为了确保为，的阻值范围应为( )。
A． B． C． D．

20．(上海第29届大同杯初赛)在如图8.35所示的电路中，电阻标有“，”，标有“，”，电流表，的量程均为，电压表的量程为，在，间接入电压可调的电源。闭合电键后，为保证，均不损坏，则允许的最大电源电压和此时通过电流表的电流分别为( )。
A．， B．，
C．， D．，
21．(上海第31届大同杯初赛)在如图8.36所示的电路中，电阻和并联，则三个电表中( )。
A．表1、表2是电流表，表3是电压表 B．表1、表2是电压表，表3是电流表
C．表1、表2、表3都是电流表 D．表1、表2、表3都是电压表
22．(上海第22届大同杯复赛)如图8.37(a)所示，在一个电阻均匀的金属圆环上有，，，四点。其中为圆心，，为圆环的两条互相垂直的直径。现把，两点接入电源电压保持不变的如图9.39(b)所示的电路两端时，发现电流表示数为，当换接，两点时，电流表的示数应为( )。

A． B． C． D．
23．(上海第32届大同杯初赛)在如图8.38所示的电路中，电源电压保持不变。为定值电阻，为滑动变阻器，且，闭合电键，移动滑片至点时，电压表示数为；移动滑片至点时，电压表示数为；移动滑片至点时，电压表示数为( )。
A． B． C． D．
24．(上海第12届大同杯初赛)在图8.39所示的电路中，电源电压为，定值电阻为，滑动变阻器标有“，”字样，则该电路正常使用时总电阻的变化范围是( )。
A． B． C． D．

25．(上海第17届大同杯初赛)在图8.40所示电路中，已知，将接通时，电阻的电压为，流过电阻的电流为，将接通时，电阻的电压为，流过电阻的电流为，则电阻的阻值为________，电阻的阻值为________。
26．(上海第7届大同杯复赛)如图8.41所示，若每个电阻的阻值均为，则两端的总电阻是________。

27．(上海第7届大同杯复赛)如图8.42所示，已知，的示数为，的示数为，则的示数为________。

28．(上海第10届大同杯复赛)在图8.43所示的电路中，电阻，，，，电压且保持不变。如在，间接一电阻，使流过的电流为零，则的阻值为_________；如在，间接一电压表，其读数为________；如在，间接一电流表，其读数为________。(电压表、电流表的内阻对电路的影响可以忽略)
29．(上海第2届大同杯复赛)在图8.44中，电源电压，，，，闭合电键后，电流表的读数。求：电压表读数和变阻器中通有电流的那部分的电阻值。
30．(上海第4届大同杯复赛)在图8.45所示的电路中，，电源电压为，电压表的示数为，电流表的示数为。如果再取一个定值电阻接入电路，要使电流表的示数变为，试问：
(1)的阻值为多大？
(2)的阻值应为多大，以什么方式接入电路？
(3)接人电路后，电压表的读数为多少？


参考答案
1．D。电流表读数由变为，总电阻应从变为，应将与并联，且应有，解得。
2．C。提示：题中三个电阻并联，测总电流，测通过与的电流之和，测通过的电流。
3．A。提示：串联的总电阻大于，并联的总电阻小于，考虑到，选项A正确。
4．C。设总电流为，通过，的电流分别为，，则根据并联电路的规律，有，，解得。可见，在总电流不变时，的大小依赖于的大小，当略微增大(即与串联一个比小得多的电阻，使得原支路电阻略微变大)，略微变小，从而略微增大。
5．C。电路两端达到允许的最大电压时，电压表应达到最大量程，即通过电压表的电流为满偏电流，电路两端的电压超出电压表量程的部分由定值电阻分担，则，，设和并联后分担的最大电压为，则，可解得并，因此此时整个电路两端允许的最大电压为。
6．D。电键闭合时，电流表的读数为，电压表的读数为；电键断开时，电流表的读数为，电压表的读数为。
7．D。电路中三个电阻为串联，电流均为，选项A错误；电压表的示数等于与电压之和，即，电压表的示数等于与电压之和，即，又和对换位置后，的示数不变，可知，即，，电源电压为，电阻，选项D正确。
8．B。由电路图知电压表测电源电压，则电源电压为，电阻，，并联，并联部分总电阻为，然后再与串联，由分压关系，电阻两端电压为，并联部分电压为，则并联部分每个支路的电流为。电流表测通过与的电流之和，因此其示数为。
9．A。设，闭合前后电流表示数始终为，设。电键，闭合前，电阻，，串联，与的电压之和；电键，闭合后，与并联，与并联，这两个并联部分再与串联。此时与，的总电阻为，由于流过的电流仍为，与并联后的电压不变，因此其余部分电压仍为。电路中的总电流等于流过与的电流之和，即，则，将两个含有的式子联立解得。
10．D。提示：四个灯泡完全相同，开关闭合后，并没有电流通过。
11．AC。依题意，三个电压表内阻相同，电压表内阻不能视为无穷大，要考虑流过电压表的电流。，之间的电压等于电压表和的示数之和。两个电阻与电压表之间为桥式连接，求解的示数时，判断通过的电流方向是关键。不妨设点接电源正极，点接电源负极，设通过的电流为，方向向右，则通过的电流为，方向可能向左也可能向右。若通过的电流向左，则通过的电流为，的示数为，，之间的电压为；若通过的电流向右，则通过的电流为，的示数为，，之间的电压为。
12．A。最上面的两个电阻串联后总阻值为，然后再与的电阻并联，则并联后的总阻值近似为，再与左边一个的电阻串联后总阻值近似为，这样，电路就近似等效为一个和一个的电阻并联，最后的总电阻约为，因此表的读数为，电流表的读数为。选项A正确。
13．B。将以外的部分视为一个电阻，则，解得，则当将换成的电阻时，，解得。
14．A。设电键闭合前后，两电流表读数分别为，和，，则闭合前，；设闭合后，与并联后的等效电阻为，则，又，由以上关系解得。选项A正确。
15．A。断开电键时电压表的读数为，说明滑片在变阻器中央，滑片以下部分的阻值为。闭合电键后，变阻器滑片以下的部分与并联，并联部分阻值，则并联部分所分的电压，通过的电流为。
16．C。设电源电压为，电流表内阻均为，再设与一个串联后的电压之和为，显然由欧姆定律，得，，显然选项AB正确；又，选项C错误；由于与分别是左右两个电路的总电流，在电源电压相等时，比较总电流的大小关系，可以从比较两个电路的总电阻入手。左边电路的总电阻，右边电路的总电阻，，可见，因此，选项D正确。
17．D。与滑动变阻器的下半部分并联，并联部分的总电阻越接近，并联部分所分的电压就越接近电源电压的一半。，可见，越小，越大，越接近，选项D正确。
18．D。四个电阻的阻值不满足，则，的读数均不为零。设在图8.33(a)中，通过，，，的电流分别为，，，，显然，图8.33(b)中各个电阻通过的电流也对应地分别为，，，，各电阻电流方向均向右。则电流表的读数为。通过的电流可能向上，也可能向下，若向上，则；若向下，则，故的读数一定大于。
19．B。稳压管的电压为不变，则两端电压为不变。当的阻值为时，通过的电流为，通过的电流范围是到，可求得的阻值范围为。当的阻值为无穷大时，通过的电流为零，通过的电流范围是到，可求得的阻值范围为。而这两部分的公共部分是，选项B正确。
20．B。让通过的电流为，则电压表读数为，通过的电流为，电流表的示数为。
21．A。略。
22．D。提示：设圆周导线的电阻为，则，两点接入电路时，，间的等效电阻，电流表的读数。，两点接入电路时，，间的等效电阻，电流表的读数。
23．C。不妨设，则滑片在点时，电路中的电流为电压表的读数为；同理，滑片滑至点时，电压表示数，可解得，，则滑片滑至点时，电压表读数为。
24．B。变阻器连人电路的阻值为时，总电阻最大值，当变阻器通过的电流为时，变阻器连人的电阻为，总电阻最小值。
25.7，3080。接时，电阻两端的电压等于电源电压，即。接时，两端的电压为，则两端的电压为，，且，，的电流之和等于，有。在接时，两端的电压为，两端的电压为，则，由此可解得。
26.3。提示：自右向左逐个求解等效阻值即可。
27.0.6。由电路图可知四个电阻并联，的示数等于通过，的电流之和，的示数等于通过，，的电流之和，因此通过的电流为。并联的各支路电阻之比等于电阻的反比，则，，则的示数为。
28．；9；。若要使得流过的电流为零，则其余四个电阻必须满足，可解得。当，间接电压表时，电路的连接方式为与串联后再与并联，最后并联部分再与串联。电压实际测量的是电阻与的电压之和，等效电路图如图8.46(a)所示。易得，，的总阻值为，则由分压关系可知两端的电压为，两端电压为，因此电压表读数为。当，间接电流表时，电路的连接方式变为，并联，然后再与串联，最后这整个部分再与并联，电流表测量的是通过电阻与的电流之和，等效电路图如图8.46(b)所示。容易求得通过的电流为，通过的电流为，则电流表的示数为3。

29．电阻两端的电压，通过的电流，通过变阻器和电阻的电流，电压表的读数，变阻器两端的电压，变阻器连人电路的阻值。
30．(1)。
(2)接入电路前，电路的总电阻，接入电路后，电路的总电阻，可见，接入后总电阻减小了，只能并联在电路中。
①若并联在，之间，则并联后，之间的阻值应为，故有，解得。
②若并联在，之间，则并联后，之间的阻值应为，故有，解得。
③若并联在，之间，则并联后，之间的阻值应为，显然只有将无阻值的导线接在，之间才能满足，这不符合题意。
(3)将并联在不同的位置，电压表的读数不同。
①当并联在，之间时，，根据串联分压规律，电压表示数。
②当并联在，之间时，并未影响，所在的这条支路，因此。