考场仿真卷02-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(课标全国Ⅰ卷)

这是一份考场仿真卷02-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(课标全国Ⅰ卷)，共24页。


绝密★启用前
2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷
第二模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为
A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56
4.已知，满足约束条件，则的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
5.在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一个圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）．
A． B． C． D．
7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（ ）
A．0.25 B． C．0.89 D．
8．如图，正三角形的边长为，，，分别在边，和上(异于端点)，且为的中点若，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．无法确定
9．祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为的平面截该几何体，则截面面积为（ ）

A． B． C． D．
10．已知边长为4的正方形的对角线的交点为，以为圆心，6为半径作圆,若点在圆上运动，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，将线段用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线，那么下列说法正确的是（ ）

A．存在曲线满足要求
B．存在曲线满足要求
C．若曲线和满足要求，则对任意满足要求的曲线，存在实数，使得
D．若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求
12．已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．的展开式中的系数为___________.
14．已知函数，若 在上恰有两个零点，则 的取值范围是________.
15．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，则的面积为__________．
16．为实数，表示不超过的最大整数.，若的图像上恰好存在一个点与的图像上某点关于轴对称，则实数的取值范围为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分) 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）记，数列的前n项和为，求证：.




18.(12分) 太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：
日照情况
日均气温不低于15℃
日均气温低于15℃
日照充足
耗电0千瓦时
耗电5千瓦时
日照不足
耗电5千瓦时
耗电10千瓦时
日照严重不足
耗电15千瓦时
耗电20千瓦时
根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照不足的概率为，日照严重不足的概率为.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为，，，，，.

（1）求图中的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；
（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）





19.(12分) 已知矩形中，点是边上的点，与相交于点，且，，，现将沿折起，点的位置记为，此时.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.



20.(12分) 设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F距离；
（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．




21.(12分) 已知.
（1）当时，求证：在上单调递增；
（2）是否存在实数，对任何，都有？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由.




（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）分别写出曲线和直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线的斜率.






23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.





绝密★启用前
2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷
第二模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由题可得，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限，故选B．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，又，，，
.故选B.
3．天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为
A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56
【答案】C
【解析】因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为.故选C.
4.已知，满足约束条件，则的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出约束条件，所表示的平面区域，如图所示，

由目标函数可化为，当直线过点时，在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以的最大值为，故选B.
5.在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得所以,所以.故选B
6．已知一个圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则解得所以．
圆锥的体积 ，故选C
7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（ ）
A．0.25 B． C．0.89 D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，当，，时，，
代入公式得：即，则.
故选A.
8．如图，正三角形的边长为，，，分别在边，和上(异于端点)，且为的中点若，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】设，在中，由正弦定理得
则.在中，，由正弦定理得，
所以
又四边形的面积为，所以四边形的面积为.
故选C．
9．祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为的平面截该几何体，则截面面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，该几何体为底面半径为2，高为2的圆柱，从上面挖去一个半径为2，高为2的圆锥，所剩下的部分，如图所示：

所以截面为环形，外圆的半径为2，内圆的半径为h，所以面积为：
故选D
10．已知边长为4的正方形的对角线的交点为，以为圆心，6为半径作圆,若点在圆上运动，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作出图形如下所示，以为坐标原点，线段，的垂直平分线分别为、轴建立平面直角坐标系，观察可知，，，，，设，则，故，，，，
故
，
．
故选B．

11．如图，将线段用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线，那么下列说法正确的是（ ）

A．存在曲线满足要求
B．存在曲线满足要求
C．若曲线和满足要求，则对任意满足要求的曲线，存在实数，使得
D．若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求
【答案】D
【解析】由图知点，所以直线AB的方程为，直线CD的方程为，所以，对于A：曲线的导函数为，由图象知当时，，当时，，代入中得解：，所以，而，所以点不在曲线上，故A不正确；对于B：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a，b不可解，故B不正确；
对于C：根据条件存在无数个多项式函数满足题意，但多项式之间不一定有线性关系，故C不正确；
对于D：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故D正确，故选D.
12．已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，

如图，过点作于点,
因为，
所以，，
因为，所以，
因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，
所以，，
故，，
因为，所以，，
将代入双曲线中，
即，化简得，，
，，，
解得或（舍去），，，
则该双曲线的渐近线方程为，故选A.
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．的展开式中的系数为___________.
【答案】40
【解析】由,所以的系数为40
14．已知函数，若 在上恰有两个零点，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】∵，且，∴，又 在上恰有两个零点，
∴且，解之得.
15．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，则的面积为__________．
【答案】
【解析】由已知得，所以，由椭圆定义得，
由余弦定理得，
即，，
则的面积为.
16．为实数，表示不超过的最大整数.，若的图像上恰好存在一个点与的图像上某点关于轴对称，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】设，点关于 轴对称，由题意可知在 有一个解，故在 有一个解
设， ，写成分段函数形式即为
，作出函数图象可知

与， 只有一个交点，由图象可知，的取值范围为
或，故答案为
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分) 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）记，数列的前n项和为，求证：.
【解析】（1）由得
，(1分)
又，(2分)
所以数列是以6为首项，4为公差的等差数列. (4分)
（2）由（1）得，(6分)
所以，(8分)
故，，(10分)
由，易知.综上，.(12分)
18.(12分) 太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：
日照情况
日均气温不低于15℃
日均气温低于15℃
日照充足
耗电0千瓦时
耗电5千瓦时
日照不足
耗电5千瓦时
耗电10千瓦时
日照严重不足
耗电15千瓦时
耗电20千瓦时
根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照不足的概率为，日照严重不足的概率为.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为，，，，，.

（1）求图中的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；
（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）
【解析】（1）依题意得.(3分)
一年中日均气温不低于15℃的频率为.(5分)
（2）这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为，一年中日均气温低于15℃的概率的估计值为，(6分)
设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为，的所有可能取值为0，5，10，15，20，(7分)
，，，，.(8分)
所以的分布列为

0
5
10
15
20






(10分)
所以的数学期望(11分)
所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为（千瓦时）
所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为（千瓦时）．(12分)
19.(12分) 已知矩形中，点是边上的点，与相交于点，且，，，现将沿折起，点的位置记为，此时.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】（1）在矩形中，，，，
，，，
，，
，，，(2分)
又，且，，，
，，，
直线与是平面内的两条相交直线，平面，(4分)
又平面，；(5分)
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
于是，，，，，(6分)

设平面法向量为，则，，
则即，令，解得，(9分)
又平面的一个法向量为，(10分)
，
设二面角的平面角为，
经观察为锐角，.(12分)
20.(12分) 设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F距离；
（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；(2分)
法二：由题意设，由抛物线的性质可知：，∴；(2分)
（2），，，，则，
∴，∴，设的中点，
∴，，则直线方程：，
联立，整理得：，解得：，（舍去），(5分)
∴的面积；(7分)
（3）存在，设，，则且，∴，
直线方程为，∴，，(9分)
又因为四边形为矩形，所以，则，
∴，解得：，即，(11分)
∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．(12分)
21.(12分) 已知.
（1）当时，求证：在上单调递增；
（2）是否存在实数，对任何，都有？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明： ，
.(2分)
，，.
当时，在上单调递增. (4分)
（2）解：由（1）知：当时，在上单调递增.
此时，由于，，所以，与题意不相符. (5分)
当时，设，则在上是增函数.
根据函数与的性质得与的图象在第一象限有唯一的交点，设交点的横坐标为，则，即.(7分)
，即.
.
当时，，故，所以在上是减函数；
当时，，，所以在上是增函数.
当时，取得最小值，且的最小值为.
对，都有.(9分)
设，则.
当时，，所以在上是增函数；
当时，，所以在上是减函数；(10分)
当时，取得最大值，且的最大值为.
当时，，即，且“”成立.
由得.
.
综上，存在唯一的实数，且，，都有．(12分)
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）分别写出曲线和直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线的斜率.
【解析】由得.
由得曲线的极坐标方程为.(3分)
直线的极坐标方程为.(5分)
将直线，
代入曲线的方程得.(6分)
由，解得.
设，，
由韦达定理得，.
，，
所以，(8分)
所以，满足.
，或，
，直线的斜率为.（10分）
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）不等式即
当时，，解得；
当时，不成立；
当时，，解得.（4分）
综上，不等式的解集为.（5分）
（2）由题意得，
当时，，显然成立.
要使成立，
即，（6分）
令，
即
(当且仅当时取得等号)
(当且仅当时取得等号).
当时函数取得最小值.（9分）
.
即实数的取值范围为.（10分）