考场仿真卷03-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)

这是一份考场仿真卷03-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)，共25页。试卷主要包含了在中，，，，，，则，若，则的大小关系是，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
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2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷
第三模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．满足的集合的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则
A． B． C． D．
3．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这年的统计信息，下列说法正确的是（ ）
2012-2020年我国快递业务量变化情况

A．这年我国快递业务量有增有减
B．这年我国快递业务量同比增速的中位数为
C．这年我国快递业务量同比增速的极差未超过
D．这年我国快递业务量的平均数超过亿件
4．若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．-1 B．-3 C．3 D．5
5．如图所示，流程图所给的程序运行结果为，那么判断框中所填入的关于的条件是（ ）

A． B．
C． D．
6．一个长方体的平面展开图如图所示，其中，，，点为的中点，则将该长方体还原后，与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
7．在中，，，，，，则（ ）
A． B．3 C．6 D．15
8．若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知双曲线（，）的左焦点为，过点且与轴平行的直线与双曲线交于，两点，若为等腰直角三角形（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列满足，，若，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数，若满足，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
12．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．二项式的展开式中的系数为_________.(用数字作答)
14. 设是首项为的等比数列，是其前项和．若，则__________．
15.若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数______.
16．如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线和圆分别交于和，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线的方程为_________．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分) 如图，在四边形中，，，为锐角三角形，且，，.

（1）求的值；
（2）求的面积.
18.(12分) 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，， .

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
19.(12分) 国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量X
[12.5，15.5）
[15.5，18.5）
[18.5，21.5）
[21.5，24.5）
[24.5，27.5）
[27.5，30.5）
[30.5，33.5]
频数
5
6
9
12
8
6
4
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值（精确到0.1）；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望.
（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）
20.(12分) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，椭圆的左、右顶点分别为，，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
21.(12分) 已知函数(且是自然对数的底数).
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）若直线与相切，求的值；
（2）已知直线与圆相交于点，，记点的直角坐标为，若，求直线的普通方程.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．





绝密★启用前
2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷
第三模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．满足的集合的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意得，或或或，的个数有个，
故选D
2．已知复数，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，故选A.
3．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这年的统计信息，下列说法正确的是（ ）
2012-2020年我国快递业务量变化情况

A．这年我国快递业务量有增有减
B．这年我国快递业务量同比增速的中位数为
C．这年我国快递业务量同比增速的极差未超过
D．这年我国快递业务量的平均数超过亿件
【答案】D
【解析】由条形图可知，这年我国快递业务量逐年增加，故错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：，，，，，，，，，
故中位数为第个数，故错误；这年我国快递业务量同比增速的极差为，故错误；由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过亿件，故快递业务量的平均数超过亿件，正确.故选D.
4．若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．-1 B．-3 C．3 D．5
【答案】C
【解析】由约束条件得如图所示的三角形区域，

由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，最大，最大值为
故选C.
5．如图所示，流程图所给的程序运行结果为，那么判断框中所填入的关于的条件是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由程序流程的输出结果，知：1、：执行循环，；
2、：执行循环，；
3、：执行循环，；
4、：执行循环，；
由题设输出结果为，故第5步输出结果，此时.故选B.
6．一个长方体的平面展开图如图所示，其中，，，点为的中点，则将该长方体还原后，与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将该长方体还原后的直观图如图所示，

取的中点，则易证得，所以（或补角）即为异面直线与所成的角，
易求得，，由余弦定理得.
故选B.
7．在中，，，，，，则（ ）
A． B．3 C．6 D．15
【解析】如图所示，

因为，所以.又因为，所以，
所以，即，
又，所以.故选B.
8．若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】分别画出函数的图象，如图所示，由图象，可得.
故选B.

9．已知双曲线（，）的左焦点为，过点且与轴平行的直线与双曲线交于，两点，若为等腰直角三角形（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点的坐标为，则可得直线，与联立，可得，，又因为为等腰直角三角形，所以，即，，整理得，解得或（舍），故选D.

10．已知数列满足，，若，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得：，，
，即，数列是以为首项，为公差的等差数列，，则，
，由得：，又，且，的最小值为.故选C.
11．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数，若满足，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：由图可知，，图象过点，，，.的图象过点，，
，，
，，
由，得的图象关于直线对称，
所以，
，，又，
所以，故选.
法二：，故图象对称轴可表示为，
的图象的一条对称轴为，
当时，可知的左侧图象离最近的对称轴为，
故的最小值为，故选.
12．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知得△，△均为等边三角形.如图所示，

设球心为，△的中心为，取的中点，连接，，，，，，
则，，得平面，且可求得，而，所以.在平面中过点作的垂线，与的延长线交于点，由平面，得，故平面，过点作于点，则四边形是矩形.
则，，
，.
设球的半径为，，则由，，
得，，
解得，.故三棱锥外接球的表面积.
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．二项式的展开式中的系数为_________.(用数字作答)
【答案】4860
【解析】二项式展开式中的第项，则，此时
14. 设是首项为的等比数列，是其前项和．若，则__________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，则，将代入得，得，
所以.
15.若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数______.
【答案】
【解析】设函数图象上切点为，因为，所以，得，所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，
所以，即，解得或（舍），
所以.
16．如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线和圆分别交于和，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线的方程为_________．

【答案】
【解析】由可得圆心，半径，由抛物线可得准线方程为：，因为抛物线的准线与圆相切，所以，解得或，因为，所以，所以抛物线方程为，设直线方程为，则直线方程为，对于，令可得或，
因为直线与圆相交，所以，可得，又因为直线与抛物线相交，所以，即，所以，由可得，，所以，圆心到直线：的距离为，所以弦长，
所以，令，
则，由可得，由可得，所以在单调递增，在单调递减，所以当时，最大，此时也最大.此时直线方程为
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分) 如图，在四边形中，，，为锐角三角形，且，，.

（1）求的值；
（2）求的面积.
【解析】在锐角中，，，，
由正弦定理得，(3分)
又因为为锐角三角形
.(4分)
，
.(6分)
，
，
.(8分)
在中，，
，(10分)
，
又，
.(12分)
18.(12分) 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，， .

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
【解析】（1）取的中点，连接.
，为的中点，，
，，
四边形为平行四边形，.
，
.(3分)
，，
.
又，
平面.
平面，
.
由为的中点，得.(6分)
（2）平面平面，平面平面，
，平面，
平面，
，，两两垂直. (7分)
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
，，，(8分)
设平面的一个法向量为，
则，即
令，得，(10分)
设直线与平面所成的角为，
则.
即直线与平面所成的角的正弦值为.(12分)
19.(12分) 国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量X
[12.5，15.5）
[15.5，18.5）
[18.5，21.5）
[21.5，24.5）
[24.5，27.5）
[27.5，30.5）
[30.5，33.5]
频数
5
6
9
12
8
6
4
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值（精确到0.1）；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望.
（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）
【解析】（1）由频数分布表得：
，
所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨；(3分)
（2）由（1）知，，，
，
，
所以这320个社区中“超标”社区的个数为51；(7分)
（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以的可能取值为1，2，3，4，且，，，，
所以的分布列为：

1
2
3
4





．(12分)
20.(12分) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，椭圆的左、右顶点分别为，，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意及三角形内切圆的性质可得
，化简得①
又，
所以，，，
所以椭圆的标准方程为．(4分)
（2）由（1）知，，
由题意，直线的斜率不为，
设直线的方程为，
代入椭圆的方程，
整理得．
设，，
则 ，，②(6分)
直线．
令，得，
同理可得，(8分)
所以以为直径的圆的方程为
，
即，③
由②得：

代入③得圆的方程为．(10分)
若圆过定点，则
解得或
所以以为直径的圆恒过两定点，．(12分)
21.(12分) 已知函数(且是自然对数的底数).
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围.
【解析】（1）由，得
①若，则当时，，当时，，
②若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增(5分)
（2）当时，
即，
即，所以(7分)
令
，
则，
，(9分)
（i）若，则当时，，
所以在上单调递增；
当时，



所以当时，单调递增，
所以.(10分)
（ii）若，则，


，
由得，
所以，
所以，使得，
且当时，，
所以在上单调递减，
所以当时，，不合题意.
综上，a的取值范围为(12分)
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）若直线与相切，求的值；
（2）已知直线与圆相交于点，，记点的直角坐标为，若，求直线的普通方程.
【解析】（1）由圆的极坐标方程为，则其直角坐标方程为，
将代入，
得，（2分）
由，得，
又，所以或.（5分）
（2）记点，对应的参数分别为，，
则，，
故，同号，
所以，（8分）
所以，.
此时满足，直线与圆相交于两点，
所以直线的参数方程为（为参数），
消去参数，得直线的普通方程为或.（10分）
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
【解析】（1）∵，只需证，
即证，
即，
显然成立，
故原式得证．（5分）
（2）由（1）知：，故
，
仅当，时取等号，不等式成立. （10分）