押第22题导数-备战2021年高考数学临考题号押题（浙江专用）（含解析）

这是一份押第22题导数-备战2021年高考数学临考题号押题（浙江专用）（含解析），共43页。试卷主要包含了①极值的定义，71828…为自然对数的底数．等内容，欢迎下载使用。
专题22：浙江高考数学 押第22题 导数

导数的引入,给传统的中学数学内容注入了生机和活力,为中学数学问题的研究提供了新的视角.近年来,为高中数学注入了新的活力。对解决解析几何、函数及不等式等问题带来了新思路、新方法．导数及其应用几乎成了数学高考舞台上必唱"主角"之一,在高考卷中所占比重也有上升趋。
综观历届全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点: 
 (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. 
 (2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 


利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
(2)判断导函数在区间上的符号
(3)下结论
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
利用导数求单调区间
求函数单调区间的步骤为：
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以
函数的极值与其导数的关系：
1.①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
2、函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。

1．（2020年浙江省高考数学试卷）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
2．（2019年浙江省高考数学试卷）已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围.
注：为自然对数的底数.
3．（2018年浙江省高考数学试卷）已知函数．
（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；
（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
4．（2017年浙江省高考数学试卷）已知数列满足：，
证明：当时，
（I）；
（II）；
（III）.

1（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））已知函数．
（1）求证：；
（2）若，时，恒成立，求实数的取值范围．
2．（2021·河南平顶山市·高三二模（文））已知函数，（为常数，）.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）判断方程是否存在实数解；如果存在，求出解的个数；如果不存在，请说明理由.
3．（2021·全国高三其他模拟）已知函数满足，且曲线在处的切线方程为．
（1）求，，的值；
（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值．
4．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数.
（1）证明：当时，函数在区间没有零点；
（2）若时，，求的取值范围.
5．（2021·湖北高三月考）已知函数(aR)．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，为函数的两个极值点，证明：．
6（2021·江苏省天一中学高三二模）已知，函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知函数存在极值点、，求证：.
（限时：80分钟）
1．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，求函数在区间上的零点的个数．（附：对于任意，都有．）
2．已知函数，．
（1）求在上的最小值；
（2）证明：．
3．已知函数．
（1）证明：时；
（2）证明：时，．
4．已知函数，其中．
（1）求函数在处的切线方程；
（2），，求实数的取值范围．
5．已知函数f(x)=2ex+aln(x+1)-2.
（1）当a=-2时，讨论f(x)的单调性；
（2）当x∈[0，π]时，f(x)≥sinx恒成立，求a的取值范围.
6．已知函数.
（1）求函数在内的单调递增区间；
（2）当时，求证：.
7．已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若在处取得极值，且，求的取值范围．
8．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数；
（2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．
9．已知函数．
（1）当时，比较与的大小；
（2）若有两个不同的极值点，证明：．
10．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．

专题22：浙江高考数学 押第22题 导数

导数的引入,给传统的中学数学内容注入了生机和活力,为中学数学问题的研究提供了新的视角.近年来,为高中数学注入了新的活力。对解决解析几何、函数及不等式等问题带来了新思路、新方法．导数及其应用几乎成了数学高考舞台上必唱"主角"之一,在高考卷中所占比重也有上升趋。
综观历届全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点: 
 (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. 
 (2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 


利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
(2)判断导函数在区间上的符号
(3)下结论
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
利用导数求单调区间
求函数单调区间的步骤为：
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以
函数的极值与其导数的关系：
1.①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
2、函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。

1．（2020年浙江省高考数学试卷）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.
【分析】
（I）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；
（ii）先根据零点条件转化：，再根据放缩，转化为证明不等式，最后构造差函数，利用导数进行证明.
【详解】
（I）在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
（II）（i），
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，.
（ii），
，，
，因为，所以，
，
只需证明，
即只需证明，
令，
则，
，即成立，
因此.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.
2．（2019年浙江省高考数学试卷）已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围.
注：为自然对数的底数.
【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.
(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.
【详解】
(1)当时，，函数的定义域为，且：
，
因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)由，得，
当时，，等价于，
令，则，
设，，
则，
（i）当时，，
则，
记，
则
列表讨论：
x

（）
1
（1，+∞）
p′（x）

﹣
0
+
P（x）
p（）
单调递减
极小值p（1）
单调递增

（ii）当时，，
令，
则，
故在上单调递增，，
由（i）得，
，
由（i）（ii）知对任意，
即对任意，均有，
综上所述，所求的a的取值范围是．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
3．（2018年浙江省高考数学试卷）已知函数．
（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；
（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
分析: （Ⅰ）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式；（Ⅱ）一方面利用零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多一个零点.两者综合即得结论.
【详解】
详解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数，
由,得，
因为，所以．
由基本不等式得．
因为，所以．
由题意得．
设，
则，
所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）

-
0
+


2-4ln2


所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，
故，
即．
（Ⅱ）令m=，n=，则
f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，
f（n）–kn–a