安徽省“五校联盟”2021届高三下学期第二次联考理科数学（含答案）

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2021届高三“五校联盟”第二次联考

理科数学试题

   考试时间：2021年4月16日

考生注意：

1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.   B.

C.   D.

2. 已知，是虚数单位.若，则的值为（    ）

A. 3 B. 2 C. -2 D. -3

3. 下列说法中错误的是（    ）

A. 命题“，”的否定是“，”.

B. 在中，.

C. 已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变.

D. 从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立.

4. 某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

5. 已知平面向量，，且，则（    ）

A.   B. 2

C.   D. 3

6. 电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型，假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的值为（参考数据：，）（    ）

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

7. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（    ）

A. 64 B. 72 C. 80 D. 90

8. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. ，则在处的切线方程为（    ）

A.   B.

C.   D.

10. 已知的内角，，对的边分别为，，，当内角最大且时，的面积等于（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 如图，已知，分别为双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（    ）

A. 2  B.

C.   D.

12. 已知函数，，且都有，满足的实数有且只有3个，给出下述四个结论：

①满足题目条件的实数有且只有1个； ②满足题目条件的实数有且只有1个；

③在上单调递增； ④的取值范围是.

其中正确的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若实数，满足约束条件，则的最小值是___________.

14. 若二项式的展开式的各项系数之和为-1，则含项的系数是___________.

15. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为__________.

16. 已知菱形的边长为4，对角线，将沿着折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 已知数列，是的前项的和，且满足，数列是等差数列，，.

（1）求，的通项公式；

（2）设数列的前项和为，设，求的前项的和.

18. 如图，在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，平面，点、分别为、的中点，点为线段上一点，且平面.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成角的正弦值.

19. 已知圆：，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点.

（1）求点的轨迹方程.

（2），是的轨迹方程与轴的交点（点在点左边），直线过点与轨迹交于，两点，直线与交于点，求证：动直线过定点.

20. 公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.

（1）规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.若，，，，求.

（2）记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.

21. 已知函数，.

（1）若函数在处取极小值，求实数的值；

（2）设，若对任意，不等式恒成立，求实数的值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]

已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.

（1）若直线与曲线相交于、两点，且，试求实数的值；

（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.

23. [选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式有解，求的取值范围.

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2021届高三“五校联盟”第二次联考·理科数学

参考答案、提示及评分细则

一、选择题

1-5：ABCCA 6-10：BDBDC 11-12：DB

详解：

12. B  ∵，当时，.

设进行替换，作出函数的图象如下图所示：

由于函数在上满足的实数有且只有3个，

即函数在上有且只有3个零点，

由图象可知，解得，结论④不正确；

由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；

当时，，

由知，所以在上递增，

则函数在上单调递增，结论③正确.综上，正确的有①③.故选B.

二、填空题

13. -1     14. -672     15.      16.

详解：

16. 将沿折起后，取中点为，连接，，则，，

所以即为二面角的平面角，所以；

与是边长为4的等边三角形.

分别记三角形与的重心为、，

则，；即；

因为与都是边长为4的等边三角形，

所以点是的外心，点是的外心；

记该几何体的外接球球心为，连接，，

根据球的性质，可得平面，平面，

所以与都是直角三角形，且为公共边，

所以与全等，因此，

所以；

因为，，，且平面，平面，

所以平面；

又平面，所以，

连接，则外接球半径，

所以外接球表面积为.

故答案为：.

三、解答题

17. 解：由①，

当时，解得，

当时，②，

①-②得，所以是等比数列，，

由是等差数列，，.得.

（2），，

，.

18.（1）证明：因为面，面，所以.

又∵正中，，

∴面，

∴.

（2）解：连接交于点，连接，因为平面，

所以，由重心性质知为靠近点的三等分点.

∴，，，，，

设面的法向量为，

，，∴，

平面的法向量为，，

∴平面与平面所成角的正弦值为.

19. 解：（1）由圆，可得圆心，半径，

因为，所以点在圆内，

又由点在线段的垂直平分线上，所以，

所以，

由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

其中，，，

所以点的轨迹方程为.

（2）设直线的方程为，，，，，

将代入，

得，

，，

要证明直线过点，只要证明，的斜率相等，

直线的方程为，令得，

.

或设的直线方程，代入得

，

，，

，

或，，的直线方程为，

代入

.

20. 解：（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.

由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.

当时，甲以赢，所以；

当时，甲以赢，所以；

当时，甲以赢，所以.

所以，甲赢的概率为.

所以，；

（2）设比赛继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.

当时，乙以赢，；

当时，乙以赢，；

所以，乙赢得全部奖金的概率为.

于是甲赢得全部奖金的概率.

求导，.

因为，所以，所以在上单调递增，

于是.

故乙赢的概率为，故事件是小概率事件.

21. 解：（1），

由题意得，即，

当时，，此时在上递减，在上递增，所以符合要求；

当时，，此时在上递增，在递减，递减，所以不符合要求.

综上得，.

（2）方法1：直接研究差函数的最小值，需借助隐零点.

由得不等式恒成立，

令，求导得，

当时，，所以在上递增，

因为，所以不符合题意；

当时，令，则在上递增，

又，，且在上连续，

所以存在唯一，使得，

当时，，故递减；当时，故递增，

所以，

所以，即，

令，则，所以在上递减，在上递增，

又，所以.

方法2：指数化、换元处理

由得，指数化得不等式恒成立，

令，则，不等式恒成立，

令，则，

当时，，所以不符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，即，

令，则，所以在上递减，在上递增，

又，所以.

22. 解：（1）曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为，

即，

直线的直角坐标方程为，

∴圆心到直线的距离（弦心距），

即圆心到直线的距离为，∴或.

（2）曲线的方程可化为，其参数方程为（为参数）.

∵为曲线上任意一点，

，

∴的取值范围是.

23. 解：（1）当时，，

∵，∴；

当时，，

∵，∴；

当时，，

∵，∴，此时无实数解.

综上所述，不等式的解集为.

（2）有解.

由（1）可知

当时，；

当时，；

当时，.

∴，

∴，故，

即实数的取值范围为.