2021安徽省“五校联盟”高三下学期第二次联考数学（文）试题含答案

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2021届高三“五校联盟”第二次联考

文科数学试题

  考试时间：2021年4月16日

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则

A.            B.         C.        D.

2.已知，若为纯虚数（i为虚数单位），则a的值为

A.0                    B.                  C.1            D.2

3.某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的1000名学生编号：1到1000，再用系统抽样的方法随机抽取50位同学了解他们的学习状况，若编号为253的同学被抽到，则下列几个编号中，可能被抽到的是

A.83                    B.343                  C.103           D.213

4.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷（qūn）盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为

A.                   B.                 C.            D.

5.已知平面单位向量，，满足，设向量，向量，则

A.                   B.2                   C.            D.

6.已知，，，则下列关系正确的是

A.            B.            C.           D.

7.在数列中，且，则它的前30项和

A.                 B.                 C.               D.

8.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线重合，则的值为

A.                  B.                 C.                 D.

9.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型 假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则n的值为（参考数据：，）

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

A.5                  B.6              C.7              D.8

10.圆上有且仅有三点到双曲线一条渐近线的距离为2，双曲线的焦距为10，则下列说法错误的是

A.双曲线E的离心率为

B.直线与双曲线E的两支各有一个交点

C.双曲线E与双曲线：有相同的渐近线

D.过点至少能作两条直线与双曲线E仅有一个交点

11.中，，D是边BC上的一个三等分点（靠近B点），，O为外接圆的圆心，则OD的长为

A.               B. 1             C.              D. 2

12.将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥.建立适当的坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中a为悬链线系数，为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数表达式为.若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于点A，B，曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相交于点P，则下列说法正确的个数

①是奇函数.

②

③的面积随m的增大而减小.

④随m的减小而增大

A.4                 B.3                C.2              D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若变量x，y满足线性约束条件，则目标函数的最小值           .

14.已知函数，曲线在点处的切线方程为            .

15.已知点和抛物线，过C的焦点且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，N为AB中点，且，则k的值为          .

16.已知为等腰直角三角形，，D为BC中点，现将沿AD翻折，使得，已知三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为           .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

数列中，是的前n项和，，是等差数列，，

（1）求和的通项公式；

（2）设求的前n项和.

18.（12分）

网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了100名市民，统计了不同年龄的人群网购的人数如下表：

（1）若把年龄在［20，60）的人称为“网购迷”，否则称为“非网购迷”，请完成下面的2×2列联表，并判断能否有99％把握认为网购与性别有关？

（2）若从年龄小于40岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取5人，再从中抽取两人，求两人年龄都小于20岁的概率.

附：

19.（12分）

如图，在三棱锥中，，，O为AC中点.

（1）证明：平面

（2）若点M在棱BC上，且，求点C到平面POM的距离.

20.（12分）

已知函数

（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.

（2）讨论函数零点的个数.

21.（12分）

A，B为椭圆的左右顶点，，E为椭圆C上任意一点（异于左右顶点）， 设AE，BE的斜率分别为k1和k2，，

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）

已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）.

（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m的值；

（2）设为曲线C上任意一点，求的取值范围.

23.［选修4—5：不等式选讲］（10分）

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式有解，求a的取值范围.

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2021届高三“五校联盟”第二次联考•文科数学

参考答案、提示及评分细则

一、选择题

二、填空题

13. 5      14.    15.      16.

三、解答题

17.解：（1）时，

时，

，是以1为首项，2为公比的等比数列

所以

是等差数列，设公差为d，

由，

得

，，

（2）由（1）知

令①

①×②得

②

①－②得

所以

又因为

所以

18.解：（1）由题中信息可完善2×2列联表如下表所示：

计算得，

故有99％把握认为网购与性别有关；

（2）年龄在（0，20）、［20，40）网购男性分别有15人、10人.

按分层抽样的方法随机抽取5人，年龄段（0，20）应抽取3人，分别记为1、2、3；年龄段［20，40）应抽取2人，分别记为a、b，从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共10个：（1，2）、（1，3）、（1，a）、（1，b）、（2，3）、（2，a）、（2，b）、（3，a）、（3，b）、（a，b）.

用A表示“两人年龄都小于20岁”这一事件，则事件A由3个基本事件组成：（1，2）、（1，3）、（2，3）.

故事件A的概率为.

19.解：（1）因为O为AC中点，所以且

连接OB，因为，

所以为等腰直角三角形且

所以，

由知

又因为，所以平面ABC

（2）作，垂足为H，又由（1）得，所以平面POM

故CH的长即为点C到平面POM

由题设可知，，，

所以，

20.解：（1）的定义域为.

即在上恒成立

.

（2）的定义域为，.

1.当时，恒成立，在上单调递增.

且时，时，有一个零点.

2.当时，，且当时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增

1.若

即.

在上单调递增，.

在内有一个零点

又在上单调递减，且，

，令，

在上单调递减，

即，，.

在上只有一个零点，

当时有两个零点.

2.若，即，无零点.

3.若，即，有一个零点.

∴综上所述：当或时，有一个零点.

当时，有两个零点.

当时，无零点.

21.解：（1）易知，，，

设，，又，，

代入得，

椭圆C的方程为.

（2）由得①

因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以且，

化简得②

将②代入①整理得，，所以

由得

假设平面内存在点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，

设，则对满足②的m，k恒成立

因为，，

由，化简整理得③

由于③式对满足②式的m，k恒成立，所以解得

故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M

22.解：（1）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为，

即，

直线l的直角坐标方程为，

∴圆心到直线l的距离（弦心距），

即圆心（2，0）到直线的距离为，或.

（2）曲线C的方程可化为，其参数方程为（θ为参数）.

为曲线C上任意一点，

，

的取值范围是.

23.解：（1）当时，，

，；

当时，

，；

当时，，

，，此时无实数解.

综上所述，不等式的解集为.

（2）有解

由（1）可知

当时，；

当时，；

当时，.

，故，

即实数a的取值范围为.