2021年广东省佛山市顺德区中考数学一模试卷

这是一份2021年广东省佛山市顺德区中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省佛山市顺德区中考数学一模试卷
一、选择题（10个题，每题3分，共30分）
1．（3分）2020年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，其中9899万用科学记数法表示为（　　）
A．989.9×105 B．98.99×106 C．9.899×107 D．0.9899×108
2．（3分）如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a5÷a2＝a3 B．3a2+a＝3a3
C．（a2）3＝a5 D．a（a+1）＝a2+1
4．（3分）为了估计某地区梅花鹿的数量，先捕捉20只梅花鹿做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉100只梅花鹿，发现其中5只有标记．估计这个地区的梅花鹿的数量约有（　　）只．
A．200 B．300 C．400 D．500
5．（3分）已知a＝+1介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（　　）

A．60° B．85° C．75° D．90°
7．（3分）如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8．（3分）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（2，m），则不等式＞3的解集是（　　）

A．x＞2 B．0＜x＜2
C．x＞0 D．x＜﹣3或0＜x＜2
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠BCD＝30°，BD＝2，则AB的长度为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）若关于x的不等式组有且只有8个整数解，关于y的方程＝1的解为非负数，则满足条件的整数a的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣10
C．﹣8或﹣10 D．﹣8或﹣9或﹣10
二、填空题（7个题，每题4分，共28分）
11．（4分）因式分解：x2﹣16＝　 　．
12．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0没有实数根．则实数c取值范围是　 　．
13．（4分）一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为　 　．
14．（4分）在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度　 　．

15．（4分）某校组织了一次初三科技小制作比赛，有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品．C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其它几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中，则获奖率最高的班级是　 　．

16．（4分）如图，在A点有一个热气球，由于受西风的影响，以20米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得地面上的B点俯角为30°，则A、B两点间的距离为　 　米．

17．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积　 　（结果保留π）．

三、解答题（一）（3个题，每题6分，共18分）
18．（6分）计算：2cos30°﹣（）﹣2++|1﹣|．
19．（6分）先化简，再计算：（+）÷，其中x满足x2﹣2x+2＝0．
20．（6分）如图，M是⊙O的半径OA的中点，弦BC⊥AO于点M，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，连接AC．
（1）求∠OAC的值；
（2）求证：CD是⊙O的切线．

四、解答题（二）（3个题，每题8分，共24分）
21．（8分）某历史文化街区需要加装一批垃圾分类提示牌和垃箱．根据需求，提示牌比垃圾箱多5个，且提示牌和垃圾箱的个数之和不少于100个，则至少购买垃圾箱多少个？
22．（8分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BC＝30，作△ABC的内接矩形CDEF．设DE＝x，求x取何值时矩形的面积最大？

23．（8分）如图，点A在反比例函数y＝（其中k＞0）图象上，OA＝2，以点A为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B．
（1）当OB＝4时，求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB交反比例函数的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．

五、解答题（三）（2个题，每题10分，共20分）
24．（10分）已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣x+4交x轴于点A、B，顶点为M，A、B、M关于原点的对称点分别是E、F、N．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求出经过E、且以N为顶点的抛物线C2的表达式；
（3）抛物线C2与y轴交点为D，点P是抛物线C2在第四象限部分上一动点，点Q是y轴上一动点，求出一组P、Q的值，使得以点D、P、Q为顶点的三角形与△EFD相似．

25．（10分）在△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，点D是AB边上的一点．
（1）如图1，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，求DM+DN的值；
（2）将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A、C重合），折痕交BC边于点E；
①如图2，当点D是AB的中点时，求AP的长度；
②如图3，设AD＝a，若存在两次不同的折痕，使点B落在AC边上两个不同的位置，求a的取值范围．


2021年广东省佛山市顺德区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10个题，每题3分，共30分）
1．（3分）2020年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，其中9899万用科学记数法表示为（　　）
A．989.9×105 B．98.99×106 C．9.899×107 D．0.9899×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：9899万＝98990000＝9.899×107，
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形，从上面看有两层，上层有4个正方形，下层有一个正方形且位于左二的位置．
【解答】解：从上面看，得到的视图是：，
故选：A．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a5÷a2＝a3 B．3a2+a＝3a3
C．（a2）3＝a5 D．a（a+1）＝a2+1
【分析】各式利用同底数幂的除法，合并同类项法则，幂的乘方运算法则，以及单项式乘以多项式法则判断即可．
【解答】解：A、原式＝a3，此选项计算正确；
B、原式不能合并，此选项计算错误；
C、原式＝a6，此选项计算错误；
D、原式＝a2+a，此选项计算错误．
故选：A．
4．（3分）为了估计某地区梅花鹿的数量，先捕捉20只梅花鹿做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉100只梅花鹿，发现其中5只有标记．估计这个地区的梅花鹿的数量约有（　　）只．
A．200 B．300 C．400 D．500
【分析】设这个地区的梅花鹿的数量约有x只，根据做标记的梅花鹿熟练所占比例等于捕捉100只梅花鹿中有标记的只数所占比例列出方程，解之即可．
【解答】解：设这个地区的梅花鹿的数量约有x只，
根据题意，得：＝，
解得x＝400，
经检验：x＝400是分式方程的解，
所以这个地区的梅花鹿的数量约400只，
故选：C．
5．（3分）已知a＝+1介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5
【分析】估算确定出的大小范围，进而确定出所求即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，即4＜+1＜5，
则4＜a＜5．
故选：D．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（　　）

A．60° B．85° C．75° D．90°
【分析】先根据旋转的性质得∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE，再根据垂直的定义得∠AFC＝90°，则利用互余计算出∠CAF＝90°﹣∠C＝20°，所以∠DAE＝∠CAF+∠EAC＝85°，于是得到∠BAC＝85°．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAF+∠EAC＝20°+65°＝85°，
∴∠BAC＝∠DAE＝85°．
故选：B．

7．（3分）如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，继而证得四边形BCED是平行四边形，再证得BE＝DC，根据矩形的判定即可证得▱BCED是矩形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∴DE∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴▱BCED是矩形，
故选：B．
8．（3分）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（2，m），则不等式＞3的解集是（　　）

A．x＞2 B．0＜x＜2
C．x＞0 D．x＜﹣3或0＜x＜2
【分析】由点A在一次函数图象上利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，根据图象即可求得．
【解答】解：∵点A在一次函数y＝x+1的图象上，
∴m＝2+1＝3，
∴点A的坐标为（2，3）．
由图象可知，不等式＞3的解集是0＜x＜2，
故选：B．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠BCD＝30°，BD＝2，则AB的长度为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】构造直角三角形，利用直角三角形30度角的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠DCB＝30°，BD＝2，
∴AB＝2BD＝4，
故选：B．

10．（3分）若关于x的不等式组有且只有8个整数解，关于y的方程＝1的解为非负数，则满足条件的整数a的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣10
C．﹣8或﹣10 D．﹣8或﹣9或﹣10
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【解答】解：不等式组，
解①得x≤5，
解②得x＞，
∴不等式组的解集为＜x≤5；
∵不等式组有且只有8个整数解，
∴﹣3≤＜﹣2，
解得﹣10≤a＜﹣7；
解分式方程＝1得y＝﹣a﹣1（a≠8）；
∵方程的解为非负数，
∴﹣a﹣1≥0即a≤﹣1；
综上可知：﹣10≤a＜﹣7；
∵a是整数，
∴a＝﹣8或﹣9或﹣10．
故选：D．
二、填空题（7个题，每题4分，共28分）
11．（4分）因式分解：x2﹣16＝　（x+4）（x﹣4）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．
故答案为：（x+4）（x﹣4）．
12．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0没有实数根．则实数c取值范围是　c＞1　．
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4c＜0，
解得c＞1．
故答案为c＞1．
13．（4分）一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为　1440°　．
【分析】首先根据内角的度数可得外角的度数，再根据外角和为360°可得边数，利用内角和公式可得答案．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都是144°，
∴它的每一个外角都是：180°﹣144°＝36°，
∴它的边数为：360°÷36＝10，
∴这个多边形的内角和为：180°（10﹣2）＝1440°，
故答案为：1440°．
14．（4分）在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度　　．

【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∵AB＝2，点E是AB的中点，
∴BE＝AB＝1，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB＝90°，
∴EF＝BE＝，
故答案为：．
15．（4分）某校组织了一次初三科技小制作比赛，有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品．C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其它几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中，则获奖率最高的班级是　C班　．

【分析】根据题意和统计图中的数据，可以计算各个班的获奖率，从而可以得到哪个班的获奖率最高．
【解答】解：由统计图可得，
A班的获奖率为：14÷（100×35%）×100%＝40%，
B班的获奖率为：11÷[100×（1﹣35%﹣20%﹣20%）]×100%＝44%，
C班的获奖率为50%，
D班的获奖率为：8÷（100×20%）×100%＝40%，
由上可得，获奖率最高的班级是C班，
故答案为：C班．
16．（4分）如图，在A点有一个热气球，由于受西风的影响，以20米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得地面上的B点俯角为30°，则A、B两点间的距离为　200　米．

【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝20×10＝200（米），
∴AD＝AC•sin45°＝100（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝200（米）．
故答案为：200．

17．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积　　（结果保留π）．

【分析】根据AB＝CB，AD＝CD，得出BD为AC的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得∠ABC＝60°，进而得出△ABC为等边三角形；利用∠ACD＝30°，得出△BCD为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形ABC的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
【解答】解：如图，设AC与BD交于点F，△ABC的内心为O，连接OA．

∵AB＝CB，AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线．
∴AC⊥BD，AF＝FC．
∵AB＝BC，BF⊥AC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°．
∴∠ABC＝60°．
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
∵∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+60°＝90°．
∵CD＝AD＝1，
∴BC＝．
∴AB＝BC＝AC＝．
∵AB＝BC，BF⊥AC，
∴AF＝AC＝．
∵O为，△ABC的内心，
∴∠OAF＝∠BAC＝30°．
∴OF＝AF•tan30°＝．
∴△ABC的内切圆面积为π•＝．
故答案为．
三、解答题（一）（3个题，每题6分，共18分）
18．（6分）计算：2cos30°﹣（）﹣2++|1﹣|．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2×﹣4﹣2+﹣1
＝﹣4﹣2+﹣1
＝2﹣7．
19．（6分）先化简，再计算：（+）÷，其中x满足x2﹣2x+2＝0．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝（﹣）×
＝×
＝，
∵x2﹣2x+2＝0，
∴x2﹣2x＝﹣2，
∴原式＝＝﹣1．
20．（6分）如图，M是⊙O的半径OA的中点，弦BC⊥AO于点M，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，连接AC．
（1）求∠OAC的值；
（2）求证：CD是⊙O的切线．

【分析】（1）如图，连接OB，OC，构造菱形ABOC，利用菱形的性质和圆的性质推知△AOC是等边三角形，则∠OAC＝60°；
（2）想证明CD是⊙O的切线，只需推知OC⊥CD即可．
【解答】（1）解：如图，连接OB，OC，
∵弦BC⊥AO于点M，AO是半径，
∴点M是BC的中点．
又∵点M是AO的中点，
∴四边形ABOC是菱形．
∴AC＝OC．
又∵OA＝OC，
∴AC＝OC＝OA．
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°；

（2）证明：由（1）知，四边形ABOC是菱形，△AOC是等边三角形．
∴∠ABO＝∠ACO＝60°．
∴∠ABC＝∠ABO＝30°，∠OCB＝∠ACO＝30°．
∵CD⊥BA，
∴∠D＝90°．
∴∠BCD＝60°．
∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝90°，即OC⊥CD．
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线．

四、解答题（二）（3个题，每题8分，共24分）
21．（8分）某历史文化街区需要加装一批垃圾分类提示牌和垃箱．根据需求，提示牌比垃圾箱多5个，且提示牌和垃圾箱的个数之和不少于100个，则至少购买垃圾箱多少个？
【分析】设购买x个垃圾箱，则购买（x+5）个提示牌，根据提示牌和垃圾箱的个数之和不少于100个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：设购买x个垃圾箱，则购买（x+5）个提示牌，
依题意得：（x+5）+x≥100，
解得：x≥．
又∵x为整数，
∴x的最小值为48．
答：至少购买垃圾箱48个．
22．（8分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BC＝30，作△ABC的内接矩形CDEF．设DE＝x，求x取何值时矩形的面积最大？

【分析】设矩形CDEF为S，证明△ADE∽△ACB，利用相似比得到x：30＝（40﹣CD）：40，则用x表示出CD，再利用矩形的面积公式得到S＝x•，然后利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：设矩形CDEF为S，
∵四边形CDEF为矩形，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴DE：BC＝AD：AC，即x：30＝（40﹣CD）：40，
∴CD＝，
∴S＝x•
＝﹣（x﹣15）2+300，
当x＝15时，S有最大值，最大值为300．
即x取15时矩形的面积最大．
23．（8分）如图，点A在反比例函数y＝（其中k＞0）图象上，OA＝2，以点A为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B．
（1）当OB＝4时，求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB交反比例函数的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．

【分析】（1）过A点作x轴垂线段，即可得到A点坐标，进而可求k值；
（2）利用图中相似三角形的性质可求比值．
【解答】解：（1）作AF⊥x轴于F，交OC于E．
∵OA＝AB，由等腰三角形三线合一性质可得OF＝BF＝OB＝2．
∴AF＝＝4．
∴点A的坐标为（2，4）．
故k＝xy＝2×4＝8．
（2∵点A、C在反比例函数图象上，由反比例函数图象上点的性质可得OF•AF＝OB•BC．
∵OF＝．
∴AF＝2BC．
由∠EFO＝∠CBO＝90°，
∠EOF＝∠COB．
∴△OEF∽△OCB，
∴．
∴EF＝．
AE＝AF﹣EF＝2BC﹣＝．
又由AF∥CB，
∴∠AED＝∠BCD，
∴△AED∽△BCD．
∴．
故．

五、解答题（三）（2个题，每题10分，共20分）
24．（10分）已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣x+4交x轴于点A、B，顶点为M，A、B、M关于原点的对称点分别是E、F、N．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求出经过E、且以N为顶点的抛物线C2的表达式；
（3）抛物线C2与y轴交点为D，点P是抛物线C2在第四象限部分上一动点，点Q是y轴上一动点，求出一组P、Q的值，使得以点D、P、Q为顶点的三角形与△EFD相似．

【分析】（1）令y＝0，由﹣x2﹣x+4＝0求得的解就是点A、B的横坐标；
（2）由（1）得到点A、B、M关于原点的对称点的坐标，然后利用顶点式求得抛物线C2的表达式；
（3）先结合图形的特点，构造出与△EFD相似且顶点分别在y轴上和抛物线上的三解形，再利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）当y＝0时，由﹣x2﹣x+4＝0，得x1＝﹣4，x2＝3，
∴A（﹣4，0）、B（3，0）．
（2）由y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x）2+，得抛物线C1的顶点M（，+），
∵点E、F、N分别与点A、B、M关于原点对称，
∴E（4，0）、F（﹣3，0）、N（，）；
设经过点E且顶点为N的抛物线C2的解析式为y＝a（x﹣）2，
则（4﹣）2a＝0，解得a＝，
∴抛物线C2的解析式为y＝x2﹣x﹣4．
（3）如图，作DP⊥AD交抛物线C2于点P，作PR⊥y轴于点R，在点R上方的y轴上取一点Q，使RQ＝RP，则∠PQD＝∠QPR＝45°；
由y＝x2﹣x﹣4，得D（0，﹣4）．
∴OD＝OB＝4，∠DEF＝∠EDQ＝45°，
又∵∠PDQ＝90°﹣∠FDH＝∠DFE，
∴△QDP∽△EFD．
作FH∥PD交y轴于点H，则∠DFH＝90°；
∵∠HFO＝90°﹣∠OAD＝∠ADO，
∴＝tan∠ADO＝，
∴OH＝×3＝．
设直线FH的解析式为y＝kx+，则﹣3k+＝0，解得k＝，
∴y＝x+，
∴直线DP的解析式为y＝x﹣4；
由，得，（不符合题意，舍去）．
∴P（，）；
∵QR＝PR＝，
∴点Q的纵坐标为+＝，
∴Q（0，）．
综上所述，P（，），Q（0，）．

25．（10分）在△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，点D是AB边上的一点．
（1）如图1，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，求DM+DN的值；
（2）将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A、C重合），折痕交BC边于点E；
①如图2，当点D是AB的中点时，求AP的长度；
②如图3，设AD＝a，若存在两次不同的折痕，使点B落在AC边上两个不同的位置，求a的取值范围．

【分析】（1）如图1中，连接CD，过点B作BE⊥AC于E，过点C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出CH，再利用面积法求出DM+DN的值．
（2）①如图2中，连接PB，CD．证明PB⊥AC，CD⊥AB，利用面积法求出PB，可得结论．
②如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．求出DP＝DB时AD的值，结合图形即可判断．
【解答】解：（1）如图1中，连接CD，过点B作BE⊥AC于E，过点C作CH⊥AB于H．

∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝6，
∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD，DM⊥AC，DN⊥BC，
∴•AB•CH＝•AC•DM+•BC•DN，
∴×12×8＝×10×DM+×10×DN，
∴DM+DN＝．

（2）①如图2中，连接PB，CD．

∵CA＝CB，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
由（1）可知，CD＝8，
∵DP＝DA＝DB，
∴∠APB＝90°，即BP⊥AC，
∵•AB•CD＝•AC•BP，
∴BP＝，
∴AP＝＝＝．

②如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．

∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝6，
∴CH＝＝＝8，
当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，
∵sinA＝＝，
∴＝，
∴x＝，
∴AD＝AB﹣BD＝，
观察图形可知当6＜a＜时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．