2021年广东省广州大学附中中考数学一模试卷

这是一份2021年广东省广州大学附中中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2020年我国武汉暴发新冠肺炎疫情，全国人民发扬“一方有难．八方支援”的精神，积极参与到武汉防疫抗疫保卫战中．据统计，参与到武汉防疫抗疫中的全国医护人员约为42000人，将42000这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．42×103B．4.2×104C．0.42×105D．4.2×103
2．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．1
3．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．40°C．55°D．70°
4．（3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
5．（3分）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为﹣3℃
B．14时气温最高为8℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升
D．从14时至24时，气温随时间增长而下降
6．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1且a≠5B．a＞1且a≠5C．a≥1D．a≠5
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5.2，∠B＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．0.8B．2C．2.2D．2.8
8．（3分）关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为（ ）cm．
A．﹣B．C．D．
二、填空题.（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）因式分解：ax2﹣ay2＝ ．
12．（3分）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 ．
13．（3分）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝相交于点A，点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．连接BC．则△ABC面积为 ．
14．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 ．
15．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．
16．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 ．
三、解答题（共9道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解方程x2+6x+1＝0．
18．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．求证：AE＝CF．
19．（6分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
20．（6分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．
21．（8分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
22．（10分）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．
24．（12分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，求线段BN的取值范围．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+，以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围．
2021年广东省广州大学附中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2020年我国武汉暴发新冠肺炎疫情，全国人民发扬“一方有难．八方支援”的精神，积极参与到武汉防疫抗疫保卫战中．据统计，参与到武汉防疫抗疫中的全国医护人员约为42000人，将42000这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．42×103B．4.2×104C．0.42×105D．4.2×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：42000＝4.2×104，
故选：B．
2．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．1
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3、1﹣n＝2，
解得：m＝2、n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
故选：D．
3．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．40°C．55°D．70°
【分析】根据圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，即可得出答案．
【解答】解：∵如图，∠BOC＝70°，
∴∠A＝∠BOC＝35°．
故选：A．
4．（3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
【分析】设该商品的进价为x元/件，根据“标价＝（进价+利润）÷折扣”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设该商品的进价为x元/件，
依题意得：（x+20）÷＝200，
解得：x＝80．
∴该商品的进价为80元/件．
故选：C．
5．（3分）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为﹣3℃
B．14时气温最高为8℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升
D．从14时至24时，气温随时间增长而下降
【分析】根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点﹣3，∴凌晨4时气温最低为﹣3℃，故本选项正确；
B、∵由图象可知，在14点函数图象在最高点8，∴14时气温最高为8℃，故本选项正确；
C、∵由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上升，不是从0点，故本选项错误；
D、∵由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确．
故选：C．
6．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1且a≠5B．a＞1且a≠5C．a≥1D．a≠5
【分析】分类讨论：当a＝5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围．
【解答】解：当a＝5时，原方程变形为﹣4x﹣1＝0，解得x＝﹣；
当a≠5时，△＝（﹣4）2﹣4（a﹣5）×（﹣1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，
所以a的取值范围为a≥1．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5.2，∠B＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．0.8B．2C．2.2D．2.8
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD＝3，可证△ABD是等边三角形，可得BD＝AB＝3，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AB＝AD＝3，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝5.2﹣3＝2.2，
故选：C．
8．（3分）关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．
【解答】解：由题意知，，
①+②，得：2x＝7，x＝3.5，
①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，
所以方程组的解为，
故选：C．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意得到a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，即可得到抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x＝﹣＜0，交y轴正半轴，经过点（﹣1，0），据此即可判断．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，
∴开口向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，
∴抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x＝﹣＜0，交y轴正半轴，
当x＝﹣1时，y＝c﹣b+a＝0，
∴抛物线y＝cx2+bx+a经过点（﹣1，0），
故选：B．
10．（3分）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为（ ）cm．
A．﹣B．C．D．
【分析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【解答】解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，
∴∠2＝∠3，
∴MB′＝NB′，
∵NB′＝＝＝（cm），
∴BM＝NB′＝（cm）．
如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，
在Rt△ADE中，则有x2＝22+（4﹣x）2，解得x＝，
∴DE＝4﹣＝（cm），
如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm），
如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝5﹣1﹣＝（4﹣）（cm），
∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝2﹣+2﹣（4﹣）＝（﹣）（cm）．
故选：A．
二、填空题.（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）因式分解：ax2﹣ay2＝ a（x+y）（x﹣y） ．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：ax2﹣ay2＝a（x2﹣y2）＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
12．（3分）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 a≥﹣3 ．
【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式即可．
【解答】解：解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
故答案a≥﹣3．
13．（3分）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝相交于点A，点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．连接BC．则△ABC面积为 3 ．
【分析】首先由反比例函数系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于，然后根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积＝△AOC的面积＝，从而求出△ABC面积．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积，
∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积＝|k|＝＝，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝，
∴△ABC面积＝△BOC的面积+△AOC的面积＝3，
故答案为3．
14．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 x＞3 ．
【分析】根据直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），正比例函数y＝x也经过点A从而确定不等式的解集．
【解答】解：∵正比例函数y＝x也经过点A，
∴kx+b＜x的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
15．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．
【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．
【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
x＝，
如图2，四边形DGFE是正方形，
过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，
设ED＝x，
S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，
12×5＝13CP，
CP＝，
同理得：△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
x＝，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），
故答案为：．
16．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝1，则阴影部分周长的最小值为 + ．
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为+．
故答案为：+．
三、解答题（共9道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解方程x2+6x+1＝0．
【分析】配方法求解可得．
【解答】解：∵x2+6x＝﹣1，
∴x2+6x+9＝﹣1+9，即（x+3）2＝8，
∴x+3＝±2，
则x＝﹣3±2．
18．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．求证：AE＝CF．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，根据平行线的性质得出∠BAC＝∠DCF，根据角平分线定义得出∠ABE＝∠CDF，那么利用AAS证明△ABE≌△CDF，推出AE＝CF．
【解答】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，
所以∠BAC＝∠DCF，
又因为BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，
所以∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC，
所以∠ABE＝∠CDF，
所以△ABE≌△CDF（ASA），
所以AE＝CF．
19．（6分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”结果有2个，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”概率为＝．
20．（6分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；
【解答】解：（1）∵点E（﹣4，）在y＝上，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵F（m，2）在y＝上，
∴m＝﹣1．
（2）函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
21．（8分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）．
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）仿（1）得（5﹣x）2x＝7．
整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，
所以，此方程无解．
所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．
22．（10分）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
【分析】（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0）用待定系数法求得y关于x的函数关系式，再根据利润W等于销售数量y千克乘以每千克水果的利润（m﹣10）元，可得答案；
（2）根据（1）中所得的W关于x的二次函数解析式，利用二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0），
把（10，55），（26，39）代入函数解析式得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+65，
∴W＝y（m﹣10）
＝（﹣x+65）（x+20﹣10）
＝﹣x2+x+650（1≤x≤30，x为整数）．
∴每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式为W＝﹣x2+x+650（1≤x≤30，x为整数）；
（2）∵W＝﹣x2+x+650，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝22.5，
∵a＝﹣＜0，1≤x≤30，x为整数，
∴当x＝22或x＝23时，W取得最大值，
最大值为：
（﹣22+65）（×22+10）
＝43×21
＝903（元）．
∴第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为903元．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，由垂直的定义得到∠AEP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAE＝30°，推出AB＝2BD，设BD＝x，则AB＝2x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵AC⊥PD，
∴OD⊥PE，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60，
∴∠BAD＝∠DAE＝30°，
∵AC⊥PE，DE＝2，
∴AD＝2DE＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2BD，
设BD＝x，则AB＝2x，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴x2+42＝（2x）2，
∴，
∴BD＝，AB＝，
∴AO＝，
即⊙O的半径为．
24．（12分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，求线段BN的取值范围．
【分析】（1）如图1中，连接BE，CF．解直角三角形求出BE，再利用全等三角形的性质证明CF＝BE，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）结论：∠DNM＝120°是定值．利用全等三角形的性质证明∠EBC+∠BCF＝120°，再利用三角形的中位线定理，三角形的外角的性质证明∠DNM＝∠EBC+∠BCF即可．
（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，求出BJ，JN，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝BD＝4，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠EAG＝∠GAF＝30°，
∴EG＝GF，
∵AE＝2，
∴DE＝AE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵△ABC，△AEF是等边三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝2，
∵EN＝CN，EG＝FG，
∴GN＝CF＝．
（2）结论：∠DNM＝120°是定值．
理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，
∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，
∵EN＝NC，EM＝MF，
∴MN∥CF，
∴∠ENM＝∠ECF，
∵BD＝DC，EN＝NC，
∴DN∥BE，
∴∠CDN＝∠EBC，
∵∠END＝∠NDC+∠NCD，
∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．
（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．
∵AJ＝CJ，EN＝NC，
∴JN＝AE＝，
∵BJ＝AD＝4，
∴BJ﹣JN≤BN≤BJ+JN，
∴3≤BN≤5，
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+，以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．
（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．
（4）分两种情形，如图4﹣1中，当点P在第三象限时，随点P向下移动，能把抛物线在直线l的左侧部分全部扫描，如图4﹣2中，当P在点A的右侧时，随点P的向下移动，抛物线在直线l的右侧部分，能全部扫描．
【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，
解得b＝1．
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，
∴P（m，﹣m2+m+），
∵M，Q重合，
∴﹣m+＝﹣m2+m+，
解得m＝0或4．
（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，
∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣
解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），
∴m＝1﹣．
（4）抛物线能全部被扫描，理由如下：
如图4﹣1中，当点P在第三象限时，随点P向下移动，能把抛物线在直线l的左侧部分全部扫描，
如图4﹣2中，当P在点A的右侧时，随点P的向下移动，抛物线在直线l的右侧部分，能全部扫描，
综上所述，抛物线能全部被扫描，