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湖北省武汉市汉阳区2019-2020学年八年级下学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份湖北省武汉市汉阳区2019-2020学年八年级下学期期中数学试卷（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分）
1．函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣ B．x≥﹣1 C．x＞﹣ D．x≥﹣
2．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．7，20，24 B．4，5，6 C．，， D．3，4，5
3．下列各式成立的是（ ）
A．3﹣＝3 B．＝2
C．＝﹣＝1 D．﹣＝
4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．测得AB的长为1.6km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B．0.6km C．0.8km D．1.2km
5．如图，若平行四边形ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（6，0），（3，4），则顶点B的坐标是（ ）
A．（9，4） B．（6，4） C．（4，9） D．（8，4）
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED'的大小为（ ）
A．27° B．32° C．36° D．40°
8．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
9．如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
10．如图，正方形ABCD中，延长CB至E使CB＝2EB，以EB为边作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K．则下列说法：①△ANH≌△GNF；②∠DAM＝∠NFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S四边形DMKH＝2：7．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分）
11．已知四边形ABCD是周长为32的平行四边形，若AB＝6，则BC＝ ．
12．若x＝+1，y＝﹣1，则（x+y）2＝ ．
13．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的大小为 ．
14．观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣）；
＝1+＝1+（﹣）；
＝1+＝1+（﹣）……
请利用你发现的规律，计算：
+++……+其结果为 ．
15．如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，BE，CF交于点O，连接AO．若AB＝2，AO＝2，则BC＝ ．
16．如图，一副三角板ABC和EDF拼合在一起，边AC与EF重合，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC＝6cm．当点E从点A出发沿AC向下滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC向右滑动．当点E从点A滑动到点C时，连接BD，则△BCD的面积最大值为 cm2．
三、解答题（共72分）
17．计算：
（1）×÷2；
（2）2﹣6+3．
18．如图，在▱ABCD中，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，连接CH和AG，求证：∠1＝∠2．
19．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：
①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形．
21．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，请在此网格中仅用无刻度的直尺画图（保留连线痕迹）．
（1）画出线段BE，使BE∥AC，且BE＝AC；
（2）画出以AC为边的正方形ACMN；
（3）在（1）的条件下，画出直线PQ，使PQ平分四边形ABED的面积（作出一条即可）．
22．阅读材料，请回答下列问题．
材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S＝①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝）
材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）：
（1）若已知三角形的三边长分别为4，5，7，请分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试，写出推导过程．
23．（1）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：线段DG与CF的数量关系为 ；直线DG与CF所夹锐角的大小为 ．
（2）如图②，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）把图②中的正方形都换成菱形，且∠BAD＝∠GAE＝60°，如图③，直接写出DG：CF＝ ．
24．如图1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB'，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当a＝4时．
①如图2．当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值；
②当点B'不落在AC上时，请直接写出△PCB'是直角三角形时t的值；
（2）若直线PB'与直线CD相交于点M，且当t＜3时，∠PAM＝45°．问：当t＞3时，∠PAM的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题3分）
1．函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣ B．x≥﹣1 C．x＞﹣ D．x≥﹣
解：依题意，得2x+1≥0，
解得x≥﹣．
故选：D．
2．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．7，20，24 B．4，5，6 C．，， D．3，4，5
解：∵72+202＝49+400＝449≠576＝242，故选项A中三条线段不能构成直角三角形；
∵42+52＝16+25＝41≠36＝62，故选项B中三条线段不能构成直角三角形；
∵（）2+（）2＝3+4＝7≠5＝（）2，故选项C中三条线段不能构成直角三角形；
∵32+42＝9+16＝25＝52，故选项D中三条线段不能构成直角三角形；
故选：D．
3．下列各式成立的是（ ）
A．3﹣＝3 B．＝2
C．＝﹣＝1 D．﹣＝
解：A、3﹣＝2，故此选项错误；
B、＝＝2，故此选项正确；
C、＝＝，故此选项错误；
D、﹣＝3﹣＝，故此选项错误；
故选：B．
4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．测得AB的长为1.6km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B．0.6km C．0.8km D．1.2km
解：由题意可知，△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴MC＝AB＝×1.6＝0.8（km）．
故选：C．
5．如图，若平行四边形ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（6，0），（3，4），则顶点B的坐标是（ ）
A．（9，4） B．（6，4） C．（4，9） D．（8，4）
解：在▱ABCO中，O（0，0），A（6，0），
∴OA＝BC＝6，
又∵BC∥AO，C（3，4），
∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴B（3+6，4），
即（9，4）；
故选：A．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝1，OB＝OD＝BD＝4，
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，
∴O'C＝OA＝1，O'B'＝OB＝4，∠CO'B'＝90°，
∴AO'＝AC+O'C＝3，
∴AB'＝＝5；
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED'的大小为（ ）
A．27° B．32° C．36° D．40°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝54°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝74°，
∴∠AED＝106°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，
∴∠AED＝∠AED'＝106°，
∴∠FED'＝∠AED'﹣∠AEC＝106°﹣74°＝32°，
故选：B．
8．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
解：连接DE，
∵，
，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选：D．
9．如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
解：∵矩形长为10宽为5，
∴矩形的对角线长为：＝＝5，
∵矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，
∴该正方形的边长不小于5，
∵11＜5＜12，
∴该正方形边长的最小正数n为12．
故选：C．
10．如图，正方形ABCD中，延长CB至E使CB＝2EB，以EB为边作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K．则下列说法：①△ANH≌△GNF；②∠DAM＝∠NFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S四边形DMKH＝2：7．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵四边形EFGB是正方形，
∴FG＝BE，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴BC＝AD＝2AH，
∵CB＝2EB
∴AH＝FG，
∵∠HAN＝∠FGN＝90°，∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∵∠HAN＝∠FGN＝90°，
∴AD∥FM，
过点H作HP⊥MG于点P，则AG＝HP，HD＝PM，
∵FG＝AH＝HD，
∴FG＝PM，
∴FP＝MG，
∵∠HPF＝∠AGM＝90°，
∴△PHF≌△GAM（SAS），
∴∠HFP＝∠AMG，
∵AD∥FM，
∴∠DAM＝∠AMG，
∴∠DAM＝∠NFG，故②正确；
∵△ANH≌△GNF，
∴∠AHN＝∠GFN，NF＝NH，
∴∠KAH＝∠KHA，
∴KA＝KH，
∵∠KAH+∠KAN＝90°，∠KHA+∠KNA＝90°，
∴∠KAN＝∠KNA，
∴AK＝NK＝KH，
∴FN＝2NK，故③正确；
∵FN＝NH，
∴，
∵NK＝KH，
，
∵，
∴，
∴S△AFN：S四边形DMKH＝2：7，故④正确．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知四边形ABCD是周长为32的平行四边形，若AB＝6，则BC＝ 10 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴2（AB+BC）＝32，
∴AB+BC＝16，
∴BC＝16﹣6＝10；
故答案为：10．
12．若x＝+1，y＝﹣1，则（x+y）2＝ 12 ．
解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，
∴（x+y）2
＝（2）2
＝12，
故答案为：12．
13．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的大小为 64° ．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝26°，
∴∠BCA＝∠DAC＝26°，
∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°．
故答案为：64°．
14．观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣）；
＝1+＝1+（﹣）；
＝1+＝1+（﹣）……
请利用你发现的规律，计算：
+++……+其结果为 2019 ．
解：由题意可得：
原式＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+……+1+（﹣）
＝2019+1﹣
＝2019．
故答案为：2019．
15．如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，BE，CF交于点O，连接AO．若AB＝2，AO＝2，则BC＝ 2 ．
解：在AC上取一点G，使得CG＝AB，连接OG，
∵∠ABO＝90°﹣∠AHB，∠OCG＝90°﹣∠OHC，∠OHC＝∠AHB，
∴∠ABO＝∠OCG，
∵OB＝OC，CG＝AB，
∴△OGC≌△OAB（SAS），
∴OG＝OA＝2，∠BOA＝∠GOC，
∵∠GOC+∠GOH＝90°，
∴∠GOH+∠BOA＝90°，
即：∠AOG＝90°，
∴△AOG是等腰直角三角形，AG＝4，
∴AC＝AG+GC＝4+2＝6，
又∵AB＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
故答案为：2．
16．如图，一副三角板ABC和EDF拼合在一起，边AC与EF重合，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC＝6cm．当点E从点A出发沿AC向下滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC向右滑动．当点E从点A滑动到点C时，连接BD，则△BCD的面积最大值为 3 cm2．
解：∵AC＝6cm，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，
∴BC＝2cm，AB＝4cm，DE＝DF＝3，
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，
∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°，
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'，
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS），
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM，
∴CD'平分∠ACM，
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
如图，连接BD'，
∵S△CD'B＝，
当F'D'⊥BC时，S△CD'B有最大值，此时F'D'＝3，
∴S△CD'B最大值＝＝3．
则△BCD的面积最大值为3cm2．
故答案为：3．
三、解答题（共72分）
17．计算：
（1）×÷2；
（2）2﹣6+3．
解：（1）原式＝3×5÷2
＝3×5××
＝；
（2）原式＝4﹣2+12
＝．
18．如图，在▱ABCD中，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，连接CH和AG，求证：∠1＝∠2．
【解答】证明：∵AH⊥BD，CG⊥BD，
∴AH∥CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，
在△ADB和△CBD中，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴S△ABD＝S△BCD，
∴AH＝CG，
∴四边形AGCH为平行四边形，
∴CH∥AG，
∴∠1＝∠2．
19．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
解：设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：
①当AM的值为 3 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 6 时，四边形AMDN是菱形．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∴在△NDE和△MAE中，△NDE≌△MAE（AAS），
∴NE＝ME，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）①当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝6，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝AD＝3，
∴AM＝AE＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴EM＝AE，
∵NE＝EM＝MN，
∴MN＝AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形．
故答案为：3；
②当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AB＝AD＝6，AM＝6，
∴AD＝AM，
∵∠DAB＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴ME⊥AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形．
故答案为：6．
21．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，请在此网格中仅用无刻度的直尺画图（保留连线痕迹）．
（1）画出线段BE，使BE∥AC，且BE＝AC；
（2）画出以AC为边的正方形ACMN；
（3）在（1）的条件下，画出直线PQ，使PQ平分四边形ABED的面积（作出一条即可）．
解：（1）如图所示BE即为所作；
（2）如图所示ACMN即为所作；
（3）如图所示，作线段AB的中点G，作直线CG，直线CG即为所作直线PQ．
22．阅读材料，请回答下列问题．
材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S＝①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝）
材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）：
（1）若已知三角形的三边长分别为4，5，7，请分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试，写出推导过程．
解：（1）设a＝4，b＝5，c＝7，
由公式①得S＝＝4，
由②得，故；
（2）可以，过程如下：
由平方差公式，①中根号内的式子可化为，
通分，得，
由完全平方公式，得，
由平方差公式，得③，
由，得2p＝a+b+c，
代入③，得，
所以．
23．（1）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：线段DG与CF的数量关系为 CF＝DG ；直线DG与CF所夹锐角的大小为 45° ．
（2）如图②，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）把图②中的正方形都换成菱形，且∠BAD＝∠GAE＝60°，如图③，直接写出DG：CF＝ ．
解：（1）①延长EF交DC于H，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB∥CD，EF⊥AB，
∴EH⊥CD，
∴四边形DGFH是矩形，
∴HF＝DG，DH＝FG，
∵AD＝CD，DH＝AG，
∴CH＝DG，
∴CH＝FH，
∴CF＝DG；
②连接AF，
则A，F，C三点共线，
∴直线DG与CF所夹锐角的大小为45°，
故答案为：CF＝DG；45°；
（2）仍然成立，证明如下：
过D作DH⊥DG，且DH＝DG，连接GH，HC，并延长交DG、CF交于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∵DH⊥DG，
∴∠GDH＝90°，
∴∠GDH＝∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDH，
∴△ADG≌△CDH（SAS），
∴AG＝CH，∠AGD＝∠CHD，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AG＝GF，∠AGF＝90°，
∵∠GDH＝90°，DH＝DG，
∴∠DGH＝∠DHG＝45°，
∴∠CHG＝∠CDH﹣∠DHG＝∠CDH﹣45°，∠HGF＝360°﹣∠AGF﹣∠AGD﹣∠DGH＝360°﹣90°﹣∠AGD﹣45°＝225°﹣∠AGD，
∴∠CHG+∠HGF＝180°，
∴CH∥FG，
∴四边形CHGF是平行四边形，
∴CF＝HG，CF∥HG，
在Rt△DGH中，HG2＝DH2+DG2＝2DG2，
∴，即
∵CF∥HG，
∴∠CKG＝∠DGH＝45°，
即直线DG与CF所夹锐角的度数为45°；
（3）把△ADG绕着点D逆时针旋转120°得到△DCH，
∴AG＝CH，∠AGD＝∠CHD，
∵四边形AEFG是菱形，
∴AG＝FG，
∴CH＝GF，∠AGF＝120°，
∴CH＝FG，
∵∠GDH＝120°，DG＝DH，
∴∠DGH＝∠DHG＝30°，
∴∠CHG＝∠CDH﹣∠DHG＝∠CDH﹣30°，∠HGF＝360°﹣∠AGF﹣∠AGD﹣∠DGH＝360°﹣120°﹣∠AGD﹣30°＝210°﹣∠AGD，
∴∠CHG+∠HGF＝180°，
∴CH∥FG，
∴四边形CHGF是平行四边形，
∴CF＝HG，CF∥HG，
∴＝．
故答案为：．
24．如图1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB'，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当a＝4时．
①如图2．当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值；
②当点B'不落在AC上时，请直接写出△PCB'是直角三角形时t的值；
（2）若直线PB'与直线CD相交于点M，且当t＜3时，∠PAM＝45°．问：当t＞3时，∠PAM的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．
【解答】（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴，
∵翻折∴AB'＝AB＝4，PB'＝PB＝t，
∴PC＝3﹣t，CB′＝AC﹣AB'＝1，
∴在Rt△PCB'中，PC2＝PB'2+CB'2，
∴（3﹣t）2＝t2+12，
∴；
②如图2﹣1中，当∠PCB'＝90°，B'在CD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，
∴，
∴，
在Rt△PCB'中，∵B'P2＝PC2+B'C2，
∴，
∴；
如图2﹣2中，当∠PCB'＝90°，B'在CD的延长线上时，
在Rt△ADB'中，，
∴，
在Rt△PCB'中，则有：，
解得；
如图2﹣3中，当∠CPB'＝90°时，
∵∠B＝∠B′＝∠BPB′＝90°，AB＝AB′，
∴四边形AB'PB为正方形，
∴BP＝AB＝4，
∴t＝4，
综上所述，满足条件的t的值为4s或或；
（2）当t＜3时，如图3﹣1中，
∵∠PAM＝45°，
∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°，
又∵△PAB关于直线PA的对称△PAB'，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵∠ADM＝∠AB'M，AM＝AM，
∴△AMD≌△AMB'（AAS），
∴AD＝AB'＝AB，即四边形ABCD是正方形；
当t＞3时，如图3﹣2中，
设∠APB＝x，
∴∠PAB＝90°﹣x，
∴∠DAP＝x，
∵AB′＝AD，AM＝AM，
∴Rt△MDA≌Rt△B'AM（HL），
∴∠BAM＝∠DAM，
∵作△PAB关于直线PA的对称△PAB'，
∴∠PAB＝∠PAB'＝90°﹣x，
∴∠DAB'＝∠PAB'﹣∠DAP＝90°﹣2x，
∴∠DAM＝∠DAB'＝45°﹣x，
∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．
2019-2020学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分）
1．函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣ B．x≥﹣1 C．x＞﹣ D．x≥﹣
2．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．7，20，24 B．4，5，6 C．，， D．3，4，5
3．下列各式成立的是（ ）
A．3﹣＝3 B．＝2
C．＝﹣＝1 D．﹣＝
4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．测得AB的长为1.6km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B．0.6km C．0.8km D．1.2km
5．如图，若平行四边形ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（6，0），（3，4），则顶点B的坐标是（ ）
A．（9，4） B．（6，4） C．（4，9） D．（8，4）
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED'的大小为（ ）
A．27° B．32° C．36° D．40°
8．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
9．如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
10．如图，正方形ABCD中，延长CB至E使CB＝2EB，以EB为边作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K．则下列说法：①△ANH≌△GNF；②∠DAM＝∠NFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S四边形DMKH＝2：7．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分）
11．已知四边形ABCD是周长为32的平行四边形，若AB＝6，则BC＝ ．
12．若x＝+1，y＝﹣1，则（x+y）2＝ ．
13．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的大小为 ．
14．观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣）；
＝1+＝1+（﹣）；
＝1+＝1+（﹣）……
请利用你发现的规律，计算：
+++……+其结果为 ．
15．如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，BE，CF交于点O，连接AO．若AB＝2，AO＝2，则BC＝ ．
16．如图，一副三角板ABC和EDF拼合在一起，边AC与EF重合，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC＝6cm．当点E从点A出发沿AC向下滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC向右滑动．当点E从点A滑动到点C时，连接BD，则△BCD的面积最大值为 cm2．
三、解答题（共72分）
17．计算：
（1）×÷2；
（2）2﹣6+3．
18．如图，在▱ABCD中，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，连接CH和AG，求证：∠1＝∠2．
19．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：
①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形．
21．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，请在此网格中仅用无刻度的直尺画图（保留连线痕迹）．
（1）画出线段BE，使BE∥AC，且BE＝AC；
（2）画出以AC为边的正方形ACMN；
（3）在（1）的条件下，画出直线PQ，使PQ平分四边形ABED的面积（作出一条即可）．
22．阅读材料，请回答下列问题．
材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S＝①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝）
材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）：
（1）若已知三角形的三边长分别为4，5，7，请分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试，写出推导过程．
23．（1）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：线段DG与CF的数量关系为 ；直线DG与CF所夹锐角的大小为 ．
（2）如图②，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）把图②中的正方形都换成菱形，且∠BAD＝∠GAE＝60°，如图③，直接写出DG：CF＝ ．
24．如图1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB'，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当a＝4时．
①如图2．当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值；
②当点B'不落在AC上时，请直接写出△PCB'是直角三角形时t的值；
（2）若直线PB'与直线CD相交于点M，且当t＜3时，∠PAM＝45°．问：当t＞3时，∠PAM的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题3分）
1．函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣ B．x≥﹣1 C．x＞﹣ D．x≥﹣
解：依题意，得2x+1≥0，
解得x≥﹣．
故选：D．
2．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．7，20，24 B．4，5，6 C．，， D．3，4，5
解：∵72+202＝49+400＝449≠576＝242，故选项A中三条线段不能构成直角三角形；
∵42+52＝16+25＝41≠36＝62，故选项B中三条线段不能构成直角三角形；
∵（）2+（）2＝3+4＝7≠5＝（）2，故选项C中三条线段不能构成直角三角形；
∵32+42＝9+16＝25＝52，故选项D中三条线段不能构成直角三角形；
故选：D．
3．下列各式成立的是（ ）
A．3﹣＝3 B．＝2
C．＝﹣＝1 D．﹣＝
解：A、3﹣＝2，故此选项错误；
B、＝＝2，故此选项正确；
C、＝＝，故此选项错误；
D、﹣＝3﹣＝，故此选项错误；
故选：B．
4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．测得AB的长为1.6km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B．0.6km C．0.8km D．1.2km
解：由题意可知，△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴MC＝AB＝×1.6＝0.8（km）．
故选：C．
5．如图，若平行四边形ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（6，0），（3，4），则顶点B的坐标是（ ）
A．（9，4） B．（6，4） C．（4，9） D．（8，4）
解：在▱ABCO中，O（0，0），A（6，0），
∴OA＝BC＝6，
又∵BC∥AO，C（3，4），
∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴B（3+6，4），
即（9，4）；
故选：A．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝1，OB＝OD＝BD＝4，
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，
∴O'C＝OA＝1，O'B'＝OB＝4，∠CO'B'＝90°，
∴AO'＝AC+O'C＝3，
∴AB'＝＝5；
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED'的大小为（ ）
A．27° B．32° C．36° D．40°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝54°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝74°，
∴∠AED＝106°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，
∴∠AED＝∠AED'＝106°，
∴∠FED'＝∠AED'﹣∠AEC＝106°﹣74°＝32°，
故选：B．
8．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
解：连接DE，
∵，
，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选：D．
9．如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
解：∵矩形长为10宽为5，
∴矩形的对角线长为：＝＝5，
∵矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，
∴该正方形的边长不小于5，
∵11＜5＜12，
∴该正方形边长的最小正数n为12．
故选：C．
10．如图，正方形ABCD中，延长CB至E使CB＝2EB，以EB为边作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K．则下列说法：①△ANH≌△GNF；②∠DAM＝∠NFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S四边形DMKH＝2：7．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵四边形EFGB是正方形，
∴FG＝BE，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴BC＝AD＝2AH，
∵CB＝2EB
∴AH＝FG，
∵∠HAN＝∠FGN＝90°，∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∵∠HAN＝∠FGN＝90°，
∴AD∥FM，
过点H作HP⊥MG于点P，则AG＝HP，HD＝PM，
∵FG＝AH＝HD，
∴FG＝PM，
∴FP＝MG，
∵∠HPF＝∠AGM＝90°，
∴△PHF≌△GAM（SAS），
∴∠HFP＝∠AMG，
∵AD∥FM，
∴∠DAM＝∠AMG，
∴∠DAM＝∠NFG，故②正确；
∵△ANH≌△GNF，
∴∠AHN＝∠GFN，NF＝NH，
∴∠KAH＝∠KHA，
∴KA＝KH，
∵∠KAH+∠KAN＝90°，∠KHA+∠KNA＝90°，
∴∠KAN＝∠KNA，
∴AK＝NK＝KH，
∴FN＝2NK，故③正确；
∵FN＝NH，
∴，
∵NK＝KH，
，
∵，
∴，
∴S△AFN：S四边形DMKH＝2：7，故④正确．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知四边形ABCD是周长为32的平行四边形，若AB＝6，则BC＝ 10 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴2（AB+BC）＝32，
∴AB+BC＝16，
∴BC＝16﹣6＝10；
故答案为：10．
12．若x＝+1，y＝﹣1，则（x+y）2＝ 12 ．
解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，
∴（x+y）2
＝（2）2
＝12，
故答案为：12．
13．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的大小为 64° ．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝26°，
∴∠BCA＝∠DAC＝26°，
∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°．
故答案为：64°．
14．观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣）；
＝1+＝1+（﹣）；
＝1+＝1+（﹣）……
请利用你发现的规律，计算：
+++……+其结果为 2019 ．
解：由题意可得：
原式＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+……+1+（﹣）
＝2019+1﹣
＝2019．
故答案为：2019．
15．如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，BE，CF交于点O，连接AO．若AB＝2，AO＝2，则BC＝ 2 ．
解：在AC上取一点G，使得CG＝AB，连接OG，
∵∠ABO＝90°﹣∠AHB，∠OCG＝90°﹣∠OHC，∠OHC＝∠AHB，
∴∠ABO＝∠OCG，
∵OB＝OC，CG＝AB，
∴△OGC≌△OAB（SAS），
∴OG＝OA＝2，∠BOA＝∠GOC，
∵∠GOC+∠GOH＝90°，
∴∠GOH+∠BOA＝90°，
即：∠AOG＝90°，
∴△AOG是等腰直角三角形，AG＝4，
∴AC＝AG+GC＝4+2＝6，
又∵AB＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
故答案为：2．
16．如图，一副三角板ABC和EDF拼合在一起，边AC与EF重合，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC＝6cm．当点E从点A出发沿AC向下滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC向右滑动．当点E从点A滑动到点C时，连接BD，则△BCD的面积最大值为 3 cm2．
解：∵AC＝6cm，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，
∴BC＝2cm，AB＝4cm，DE＝DF＝3，
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，
∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°，
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'，
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS），
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM，
∴CD'平分∠ACM，
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
如图，连接BD'，
∵S△CD'B＝，
当F'D'⊥BC时，S△CD'B有最大值，此时F'D'＝3，
∴S△CD'B最大值＝＝3．
则△BCD的面积最大值为3cm2．
故答案为：3．
三、解答题（共72分）
17．计算：
（1）×÷2；
（2）2﹣6+3．
解：（1）原式＝3×5÷2
＝3×5××
＝；
（2）原式＝4﹣2+12
＝．
18．如图，在▱ABCD中，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，连接CH和AG，求证：∠1＝∠2．
【解答】证明：∵AH⊥BD，CG⊥BD，
∴AH∥CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，
在△ADB和△CBD中，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴S△ABD＝S△BCD，
∴AH＝CG，
∴四边形AGCH为平行四边形，
∴CH∥AG，
∴∠1＝∠2．
19．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
解：设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：
①当AM的值为 3 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 6 时，四边形AMDN是菱形．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∴在△NDE和△MAE中，△NDE≌△MAE（AAS），
∴NE＝ME，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）①当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝6，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝AD＝3，
∴AM＝AE＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴EM＝AE，
∵NE＝EM＝MN，
∴MN＝AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形．
故答案为：3；
②当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵AB＝AD＝6，AM＝6，
∴AD＝AM，
∵∠DAB＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴ME⊥AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形．
故答案为：6．
21．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，请在此网格中仅用无刻度的直尺画图（保留连线痕迹）．
（1）画出线段BE，使BE∥AC，且BE＝AC；
（2）画出以AC为边的正方形ACMN；
（3）在（1）的条件下，画出直线PQ，使PQ平分四边形ABED的面积（作出一条即可）．
解：（1）如图所示BE即为所作；
（2）如图所示ACMN即为所作；
（3）如图所示，作线段AB的中点G，作直线CG，直线CG即为所作直线PQ．
22．阅读材料，请回答下列问题．
材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S＝①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝）
材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）：
（1）若已知三角形的三边长分别为4，5，7，请分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试，写出推导过程．
解：（1）设a＝4，b＝5，c＝7，
由公式①得S＝＝4，
由②得，故；
（2）可以，过程如下：
由平方差公式，①中根号内的式子可化为，
通分，得，
由完全平方公式，得，
由平方差公式，得③，
由，得2p＝a+b+c，
代入③，得，
所以．
23．（1）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：线段DG与CF的数量关系为 CF＝DG ；直线DG与CF所夹锐角的大小为 45° ．
（2）如图②，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）把图②中的正方形都换成菱形，且∠BAD＝∠GAE＝60°，如图③，直接写出DG：CF＝ ．
解：（1）①延长EF交DC于H，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB∥CD，EF⊥AB，
∴EH⊥CD，
∴四边形DGFH是矩形，
∴HF＝DG，DH＝FG，
∵AD＝CD，DH＝AG，
∴CH＝DG，
∴CH＝FH，
∴CF＝DG；
②连接AF，
则A，F，C三点共线，
∴直线DG与CF所夹锐角的大小为45°，
故答案为：CF＝DG；45°；
（2）仍然成立，证明如下：
过D作DH⊥DG，且DH＝DG，连接GH，HC，并延长交DG、CF交于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∵DH⊥DG，
∴∠GDH＝90°，
∴∠GDH＝∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDH，
∴△ADG≌△CDH（SAS），
∴AG＝CH，∠AGD＝∠CHD，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AG＝GF，∠AGF＝90°，
∵∠GDH＝90°，DH＝DG，
∴∠DGH＝∠DHG＝45°，
∴∠CHG＝∠CDH﹣∠DHG＝∠CDH﹣45°，∠HGF＝360°﹣∠AGF﹣∠AGD﹣∠DGH＝360°﹣90°﹣∠AGD﹣45°＝225°﹣∠AGD，
∴∠CHG+∠HGF＝180°，
∴CH∥FG，
∴四边形CHGF是平行四边形，
∴CF＝HG，CF∥HG，
在Rt△DGH中，HG2＝DH2+DG2＝2DG2，
∴，即
∵CF∥HG，
∴∠CKG＝∠DGH＝45°，
即直线DG与CF所夹锐角的度数为45°；
（3）把△ADG绕着点D逆时针旋转120°得到△DCH，
∴AG＝CH，∠AGD＝∠CHD，
∵四边形AEFG是菱形，
∴AG＝FG，
∴CH＝GF，∠AGF＝120°，
∴CH＝FG，
∵∠GDH＝120°，DG＝DH，
∴∠DGH＝∠DHG＝30°，
∴∠CHG＝∠CDH﹣∠DHG＝∠CDH﹣30°，∠HGF＝360°﹣∠AGF﹣∠AGD﹣∠DGH＝360°﹣120°﹣∠AGD﹣30°＝210°﹣∠AGD，
∴∠CHG+∠HGF＝180°，
∴CH∥FG，
∴四边形CHGF是平行四边形，
∴CF＝HG，CF∥HG，
∴＝．
故答案为：．
24．如图1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB'，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当a＝4时．
①如图2．当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值；
②当点B'不落在AC上时，请直接写出△PCB'是直角三角形时t的值；
（2）若直线PB'与直线CD相交于点M，且当t＜3时，∠PAM＝45°．问：当t＞3时，∠PAM的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．
【解答】（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴，
∵翻折∴AB'＝AB＝4，PB'＝PB＝t，
∴PC＝3﹣t，CB′＝AC﹣AB'＝1，
∴在Rt△PCB'中，PC2＝PB'2+CB'2，
∴（3﹣t）2＝t2+12，
∴；
②如图2﹣1中，当∠PCB'＝90°，B'在CD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，
∴，
∴，
在Rt△PCB'中，∵B'P2＝PC2+B'C2，
∴，
∴；
如图2﹣2中，当∠PCB'＝90°，B'在CD的延长线上时，
在Rt△ADB'中，，
∴，
在Rt△PCB'中，则有：，
解得；
如图2﹣3中，当∠CPB'＝90°时，
∵∠B＝∠B′＝∠BPB′＝90°，AB＝AB′，
∴四边形AB'PB为正方形，
∴BP＝AB＝4，
∴t＝4，
综上所述，满足条件的t的值为4s或或；
（2）当t＜3时，如图3﹣1中，
∵∠PAM＝45°，
∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°，
又∵△PAB关于直线PA的对称△PAB'，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵∠ADM＝∠AB'M，AM＝AM，
∴△AMD≌△AMB'（AAS），
∴AD＝AB'＝AB，即四边形ABCD是正方形；
当t＞3时，如图3﹣2中，
设∠APB＝x，
∴∠PAB＝90°﹣x，
∴∠DAP＝x，
∵AB′＝AD，AM＝AM，
∴Rt△MDA≌Rt△B'AM（HL），
∴∠BAM＝∠DAM，
∵作△PAB关于直线PA的对称△PAB'，
∴∠PAB＝∠PAB'＝90°﹣x，
∴∠DAB'＝∠PAB'﹣∠DAP＝90°﹣2x，
∴∠DAM＝∠DAB'＝45°﹣x，
∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．
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