2014年高考数学（理）真题分类汇编：平面向量

这是一份2014年高考数学（理）真题分类汇编：平面向量，共4页。

F1 平面向量的概念及其线性运算
5．[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
5．A
15．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A，B，C为圆O上的三点，若eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为________．
15．90°
7．[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
7．2
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算
4．[2014·重庆卷] 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A．－eq \f(9,2) B．0 C．3 D.eq \f(15,2)
4．C
8．[2014·福建卷] 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
8．B
16．，[2014·山东卷] 已知向量a＝(m，cs 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\r(3)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2)).
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
16．解：(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x＋ncs 2x.
因为y＝f(x)的图像过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\r(3)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(3)＝msin\f(π,6)＋ncs\f(π,6)，,－2＝msin\f(4π,3)＋ncs\f(4π,3)，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(3)＝\f(1,2)m＋\f(\r(3),2)n，,－2＝－\f(\r(3),2)m－\f(1,2)n，))
解得m＝eq \r(3)，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2φ＋\f(π,6))).
设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．
由题意知，xeq \\al(2,0)＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y＝g(x)得，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2φ＋\f(π,6)))＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝eq \f(π,6).
因此，g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2cs 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－eq \f(π,2)≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.
13．[2014·陕西卷] 设0<θ13.eq \f(1,2)
18．，[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，求|eq \(OP,\s\up6(→))|；
(2)设eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
18．解：(1)方法一：∵eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
又eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))
即eq \(OP,\s\up6(→))＝(2，2)，故|eq \(OP,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).
方法二：∵eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
则(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＝0，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝(2，2)，
∴|eq \(OP,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).
(2)∵eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
F3 平面向量的数量积及应用
10．[2014·北京卷] 已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．
10.eq \r(5)
11．[2014·湖北卷] 设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
11．±3
14．[2014·江西卷] 已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cs α＝eq \f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cs β＝________．
14.eq \f(2 \r(2),3)
4．[2014·全国卷] 若向量a，b满足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，则|＝( )
A．2 B.eq \r(2) C．1 D.eq \f(\r(2),2)
4．B
3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．A
12．，[2014·山东卷] 在△ABC中，已知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝tan A，当A＝eq \f(π,6)时，△ABC的面积为______．
12.eq \f(1,6)
8．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝1，eq \(CE,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)，则λ＋μ＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,6) D.eq \f(7,12)
8．C
F4 单元综合
15．[2014·安徽卷] 已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量，，，，和，，，，均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①S有5个不同的值 ②若a⊥b，则Smin与|a|无关
③若a∥b，则Smin与|b|无关 ④若|b|＞4|a|，则Smin＞0
⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为eq \f(π,4)
15．②④
16．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，eq \r(3))，C(3，0)，动点D满足|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最大值是________．
16．1＋eq \r(7)
10．，[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2 B．3 C.eq \f(17\r(2),8) D.eq \r(10)
10．B
8．[2014·浙江卷] 记max{x，y}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x≥y，,y，xA．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
8．D