江苏省南通市如东县2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（word版，含答案）

这是一份江苏省南通市如东县2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（word版，含答案），共12页。试卷主要包含了命题p等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年度第一学期期末考试
高二数学
一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.一物体做直线运动,其位移s与时间t的关系是则物体在t=2时的瞬时速度为
A.4 B.6 C.8 D.10
2.命题p:“”是命题q:“曲线表示双曲线”的
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.抛物线的焦点是直线x+4y-1=0与坐标轴的交点,则该抛物线的准线方程是
B.x=-1 D.y=-1
4.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日五尺,问日织几何?”意思是:“女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景,则从第一天开始,要使织布机织布的总尺数为165尺,则所需的天数为
A.7 B.8 C.9 D.10
5.若函数在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是
B.[1,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞,-2]
6.已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式恒成立,则m的取值范围是
B.[1,+∞) C.(0,1]
7.在公差不为0的等差数列{an}中,成公比为4的等比数列,则k3=
A､84 B.86 C.88 D.96
8.已知函数f(x)=lnx,若对任意的都有恒成立,则实数k的最大值是
A.-1 B.0 C.1 D.2

二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡
9.如图是函数y=f(x)的导函数的图象,下列结论中正确的是

A.f(x)在[-2,-1]上是增函数 B.当x=3时,f(x)取得最小值
C.当x=-1时,f(x)取得极小值 D.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数
10.等差数列中,是数列的前n项和,则
B.S8是{Sn}中的最大项
C.S9是{Sn}中的最小项 D.|a8|0,b>0时,
C.若则a+b的最大值为2
D.正数a,b满足a+b=2,则的最小值为
12.已知是椭圆和双曲线
的公共焦点,P是他们的一个公共点,且则以下结论正确的是

的最小值为
三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分｡不需写出解答过程,请把答案直接填写
在答题卡相应位置上｡
13.命题“不等式的解集为空集”是真命题,则实数a的取值范围是____.
14.数列满足,则___.
15.已知若对使得，则实数a的取值范围为___.
16.已知双曲线C: (a>0,b>0)的上､下焦点分别为过F1且垂直于y轴的直线与C交于A,B两点,直线分别交x轴于点C,D,若|CF2|+|DF2|=12,则过点的直线的斜率的最大值为_____.此时双曲线的离心率为____.
四､解答题:本大题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡
17.(本小题满分10分)
在①数列为递增的等比数列,且②数列满足③数列满足这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,再完成解答.
问题:设数列的前n项和为_________.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设求数列的前n项和



18.(本小题满分12分)
已知椭圆和直线l:y=2x+m.
(1)当椭圆C与直线l有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求|AB|的最大值.


19.(本小题满分12分)
已知等差数列的公差为正数.a=1,其前n项和为数列为等比数列,且
(1)求数列{an}与的通项公式;
(2)求数列的前n项和
(3)设求数列的前2n项和.



20.(本小题满分12分)
如图,有一个半圆形场馆,政府计划改建为一个方舱医院,改建后的场馆由病床区(矩形ABCD)及左右两侧两个大小相同的休闲区(矩形AHLJ和BEFG)组成,其中半圆的圆心为O,半径为50米,矩形BEFG的一边BG在BC上,矩形AHLJ的一边AH在AD上,点C,D,F,I在圆周上,E,J在直径上,且设.若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元,记病床区及休闲区的总造价为f(θ)(单位:万元).
(1)求f(θ)的表达式;
(2)为进行改建预算,当θ为何值时,总造价最大?并求出总造价的最大值.


21.(本小题满分12分)
已知椭圆,右顶点A(2,0),上顶点为B,左右焦点分别为且过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D,交y轴于点E.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为AD的中点,过点E且与OP垂直的直线交OP于点G,判断直线EG是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.



22.(本小题满分12分)
已知函数,其中a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为l,求a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)若函数f(x)的导函数在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,







2020～2021学年度第一学期期末考试
高二数学参考答案
一、单选题：
1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4． 【答案】D 5．【答案】C
6．【答案】B 7.【答案】B 8．【答案】B
 二、多选题
9．【答案】CD 10．【答案】AB 11.【答案】BCD 12．【答案】BD
三、填空题：
13．【答案】 14． 【答案】 15．【答案】 16．【答案】4，
四、解答题：
17. 在①数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，②数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，③数列{an}满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．
问题：设数列{an}的前n项和为Sn，，_____．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）选① 数列{an}为递增的等比数列，且a2+a3＝12，
设等比数列{an}的公比为q，（q＞0），
则a1q（1+q）＝2q（1+q）＝12，解得q＝2（﹣3舍去）， ……… 3分
所以an＝2n； ………………5分
选② 数列{an}满足Sn+1﹣2Sn＝2，
可得Sn+1+2＝2（Sn+2），数列{Sn+2}是首项为S1+2＝4，
公比为2的等比数列，
则Sn+2＝2n+1，即为Sn＝2n+1﹣2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n， ……………… 3分
a1＝2也满足上式，
所以an＝2n，n∈N*； ……………… 5分
选③ 2na1+2n﹣1a2+…+2an＝nan+1（1），
当n≥2时，2n﹣1a1+2n﹣2a2+…+2an﹣1＝（n﹣1）an（2），
由（2）×2﹣（1）可得2an＝nan+1﹣2（n﹣1）an，即an+1＝2an，
又因为a1＝2，a2＝2a1＝4，也满足上式， ……………… 3分
故数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，
所以an＝2n，n∈N*； ……………… 5分
（2）由（1）可得an＝2n，bn＝
……………… 7分
所以

……………… 10分
18. 已知椭圆和直线.
（1）当椭圆与直线有公共点时，求实数的取值范围；
（2）设直线与椭圆相交于两点，求的最大值.
解：（1）联立，得.
因为椭圆与直线有公共点，
所以， ……………… 4分
解得.所以实数的取值范围是， ……………… 6分
（2）设，结合（1）的方程，有，
所以
……………… 10分
. ……………… 12分
有（1）知，若椭圆与直线有两个交点，则，所以.
所以当时，取得最大值.
19. 已知等差数列{an}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
（3）设 ，n∈N*，求数列 的前2n项和．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，
等比数列{bn}的公比为q，
因为a1＝1，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，
可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，
解得q＝2，d＝1， ……………… 2分
则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n； ……………… 4分
（2）an•bn＝n•2n，
前n项和Tn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
2Tn＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1， ……………… 6分
两式相减可得﹣Tn

化简可得Tn＝2+（n﹣1）•2n+1； ……………… 8分
（3）由 可得
则前n项和
……………… 10分

则数列 的前2n项和为． ……………… 12分

20. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形ABCD）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形AHLJ和BEFG）组成，其中半圆的圆心为O，半径为50米，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHLJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF＝，设∠BOC＝．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为（单位：万元）．
（1）求的表达式；
（2）为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．

解：（1）由题意半径为50米，显然R＝50，如图示，由图形可知：，
在矩形ABCD中，BC＝Rsinθ，OB＝Rcosθ，
所以游泳池面积为S矩形ABCD＝2OB•BC＝2R2sinθcosθ＝R2sin2θ．
在矩形BEFG中，EF＝Rsin＝，BE＝Rcos﹣Rcosθ＝R（﹣cosθ），
所以休息区面积为：2S矩形BEFG＝2BE•EF＝R2（﹣cosθ），
由每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，
则f（θ）＝t•R2sin2θ+2t•R2（﹣cosθ）
即f（θ）＝×502（sin2θ﹣2cosθ+）（＜θ＜）； ………… 6分
（2）由（1）得＝125（2cos2θ+2sinθ）
＝250（﹣2sin2θ+sinθ）＝﹣250（2sinθ﹣）（sinθ+1），
∵θ∈（，），∴sinθ∈（，1），
令＝0，解得sinθ＝，∵θ∈（，），∴θ＝，
θ，，f（θ）的变化如下：
θ
（，）

（，）

+
0
﹣
f（θ）
递增
极大值
极小值
故θ＝时，总造价f（θ）取极大值（1+2），
即当θ＝时，总造价的最大值是(1+2）万． ……………… 12分


21. 已知椭圆，右顶点，上顶点为B，左右焦点分别为，，且，过点A作斜率为的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设P为AD的中点，过点E且与OP垂直的直线交OP于点G，判断直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
解：（1）由题意得：，
因为在中，，
所以，，，
所以，所以，
所以，，
所以椭圆方程为. ……………… 4分
（2）设直线，*
令，则，所以，
将*代入，整理得，
设，则，
所以，， ………………6分
设，因为为的中点，
所以，，
所以， ……………… 8分
设直线过定点，则，则，，
所以，
即对任意的都成立，
所以，所以，
所以.
所以直线过定点. ……………… 12分
22. 已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）的导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．
解：（1）根据条件，
则当x＝2时，， ……………… 1分
解得a＝2； ………………2分
（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
， ……………… 3分
①a≤0时，2x﹣a＞0，令＞0，解得：x＞1，令＜0，
解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
②0＜a＜2时，令＞0，解得：x＞1或0＜x＜，
令＜0，解得：＜x＜1，
故f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，
③a＝2时，≥0，f（x）在（0，+∞）递增，
④a＞2时，令＞0，解得：x＞或0＜x＜1，令＜0，解得：1＜x＜，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；
综上a≤0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，……………… 6分
0＜a＜2时，f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，
a＝2时，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞2时，f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；
（3）证明：因为，
又因为导函数在（1，e）上存在零点，
所以＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，
且当1＜x＜时，＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，＞0，
f（x）单调递增，
所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，
设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，
则＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，
则，所以在（2，2e）上单调递减，
所以g（x）在（2，2e）上单调递减，
则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），
所以g（x）＞﹣e2，
则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．…………… 12分