2023届江苏省南通市如东县中高三上学期12月阶段测试数学试题（Word版含答案）

这是一份2023届江苏省南通市如东县中高三上学期12月阶段测试数学试题（Word版含答案），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
如东县中2022-2023学年高三上学期12月阶段测试数学试题答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B2．已知，则在复平面内，其共轭复数所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用复数的运算化简复数，可得其共轭复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】因为，则，则，所以，，因此，复数所对应的点位于第四象限.故选：D.3．山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意, 设明间的宽度为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列, 公比为,同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为,则由可得所以总宽度为故选: 4．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】数形结合，由第4个正零点小于等于1，第4个正最值点大于1可解.【详解】，因为，所以，又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，由图像得：，解得：，所以实数的取值范围是.5．已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（    ）A．1 B．2 C．4 D．【答案】B【详解】，故函数关于对称，又在上严格递增；即当且仅当时取得.6．，则（    ）A． B．2 C．4 D．12【答案】C7．过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，，若，则双曲线离心率的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程：，即，设点，可得，分别联立两组直线方程可得，，，∵，∴，∴，由题意，所以，即，所以，即∴.8．已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为奇函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以的图象关于直线对称．因为为偶函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以函数的图象关于点对称．所以，，，所以，函数为周期函数，且周期为，则有，，所以．故选：B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（）
A．                     B．200名党员员工测试分数的众数约为87.5 C．得分在的人数为4人    D．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85【答案】ABD【详解】，得，A正确；200名党员员工测试分数的众数约为87.5，B正确；得分在的人数为，C错误；∵(0.025+0.035+0.040)×5=0.1×5=0.5，所以估计200名党员员工测试分数的中位数为85，D正确．10．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若为钝角三角形，则C．若，则有两解D．若三角形为斜三角形，则【答案】ACD【解析】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，所以，，故A选项正确；对于B选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，B选项错误；对于C选项，，则，如图：所以有两解，C选项正确；对于D，因为，所以因为，所以，所以，所以D正确.11．甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（    ）A．不同的安排方法共有240种B．甲志愿者被安排到学校的概率是C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是【答案】ABD【解析】甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，则共有种安排方法，故A正确；甲志愿者被安排到A学校，若甲学校只有一个人，则有种安排方法，若甲学校只有2个人，则有种安排方法，所以甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，故B正确；若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C错误；甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，故D正确.12．已知抛物线，点，过M作抛物线的两条切线，其中A，B为切点，直线与y轴交于点P，则下列结论正确的有（）A．点P的坐标为 B．C．的面积的最大值为 D．的取值范围是【答案】AC【解析】由题意，设，由，可得，所以点处的切线的斜率为，点处的切线的斜率为，设过点的切线方程为，联立方程组，可得，由，可得，又由，则，所以不垂直，所以B不正确；由，所以的直线方程为，即，将代入直线的方程，可得，由知，方程成立，所以点在直线上，所以A正确；由点在直线上，可设直线的方程为，则点到的距离为，且，所以，因为，可得，所以的最大值为，所以C正确；由，所以，由，可得，所以，因为，可得，又由，设，可得，即，解得或，即的取值范围是，所以D不正确.故选：AC.三、填空题:共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知角α的顶点与坐标原点O重合，角的始边与x轴非负半轴重合，点P是α的终边与单位圆的交点．若在x轴上的投影向量的坐标为，则.【答案】14．已知数列满足，，，则的前项积的最大值为.【答案】215．在平面直角坐标系中，圆，若圆上存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是.【答案】【解析】为的中点，且，为直角三角形，，若，为切线，且，则，在中，，，，则，过点向圆引的两条切线的夹角不小于时，满足题意，则圆心到的距离不大于，即，解得.故选：C.16．已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，令，则，即在上有解，即在上有解即在上有解，设，，则，当时，，故在为增函数，当时，，故在为减函数，而，故在上的值域为，故即，故选：D.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤17．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，边上的中垂线交于点，求的长.解：选①，由，可得，即，所以，又，所以，所以，所以，选②，由，可得，即，所以，所以，又因，所以，选③，因为，所以，又，所以，则，所以，所以，如图，设边上的中垂线垂足为点，因为垂直平分，所以，又，所以，在中，，所以，即.18.等差数列的前项和为，且.数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求.【详解】（1）因为数列为等差数列，且，所以，解得.又因为, 得，当时,.又因为所以，所以，；（2）====令则所以，所以，综上，19．如图1，已知为等边三角形，四边形为平行四边形，，把沿向上折起，使点E到达点P位置，如图2所示；且平面平面．（1）证明：；（2）在（1）的条件下求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：如图，设的中点为F，连接．∵为等边三角形，∴．又平面平面，平面平面，∴平面．∵平面，∴．∵，∴，∴．又，∴平面．又∵平面，∴．（2）由（1）知平面，则平面平面．设中点为O，连接，则．又平面平面，平面平面，∴平面．设中点为，连接．∵，∴，故以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，∴，．设平面的法向量为，由得取，则设平面的法向量为，由得取，则，∴二面角的余弦值为20．有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中(3个白球和2个黑球)轮流摸出1球(摸后不放回)，摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.（1）分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望.【解析】（1）设“3轮获胜”为事件A，“5轮获胜”为事件B3轮：白黑黑：，黑白黑：，所以，5轮：最后一球为黑球：，所以，（2）由（1）得先摸球者获胜的概率为. X的所有可能取值为：0､1､2､3，，，，，分布列为：X0123P. 21．已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，可得，即，又由过且垂直于长轴的椭圆的弦长为，可得，联立方程组，可得：，，所以，故椭圆的标准方程为.（2）设的内切圆半径为，可得，又因为，所以，要使的内切圆面积最大，只需的值最大，由题意直线斜率不为，设，，直线，联立方程组，整理得，易得，且，，所以，设，则，设，可得，所以当，即时，的最大值为，此时，所以的内切圆面积最大为. 22．已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，设，，函数有两个极值点、．①求的取值范围；②若，求的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为，.①当时，，由可得或，由可得，此时函数的增区间为、，减区间为；②当时，且不恒为零，此时函数的增区间为；③当时，，由可得或，由可得，此时函数的增区间为、，减区间为.综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为；当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为、，减区间为.（2）①当时，，其中，因为函数有两个极值点，则有两个变号的零点，所以，直线与函数的图象有两个交点（非切点），，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则的极小值为，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点（非切点），因此，；②由于的两个变号零点分别为、，得，所以，令，把代入中可得，所以，令，，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则，则，所以，函数，设，则，其中，构造函数，其中，则，①当时，即当时，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，则，合乎题意；②当时，则对任意的，，所以，函数在上为增函数，则，合乎题意；③当时，则，设方程的两根为、，且，则，所以，必有，当时，，此时函数单调递减，则，不合乎要求.综上，，所以，，故.