2021年高考艺术生数学基础复习 考点11 平面向量的坐标运算（教师版含解析）

考点11  平面向量的坐标运算

一．平面向量的坐标运算

1.向量加法、减法、数乘及向量的模

设＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，

λ＝(λx1，λy1)，||＝.

2.向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0.，共线⇔x1y2－x2y1＝0.

4．向量的夹角

(1)已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB就是向量与的夹角，向量夹角的范围是[0，π]

(2)夹角cos θ＝＝

5．平面向量的数量积

拓展：向量数量积不满足：

①消去律，即·＝·⇏＝

②结合律，即(·)·⇏·(·)．

6．向量数量积的运算律

(1)·＝·.

(2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)＝λ·.

(3)(＋)·＝·c＋·

7．向量在平面几何中的应用

考向一 向量坐标的加减法

【例1】(2020·全国高三专题练习)已知点则与同方向的单位向量为( )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】,所以与同方向的单位向量为，故选A.

【举一反三】

1.(2020·全国高三专题练习)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为(　　)

A．(－8,1) B．

C． D．(8，－1)

【答案】B

【解析】设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，

所以，解得，即， 故选B.

2．(2020·四川资阳市·高三)已知，，，，则向量(    ).

A． B． C．4 D．6

【答案】C

【解析】，，所有.故选：C

考向二 向量坐标的垂直平行运算

【例2】(1)(2020·河津中学高三月考)向量，若，则k的值是(    )

A．1 B． C．4 D．

(2)(2020·海口市·海南中学高三月考)3.设向量，，，且，则(    )

A． B． C． D．

【答案】(1)B(2)A

【解析】(1)因为所以，

因为，所以 ，所以故选：B

(2)因为，，所以，

当时，则有，解得.故选：A.

【举一反三】

1．(2020·贵州安顺市·高三)已知向量，若，则实数的值为(    )

A． B．-3 C． D．3

【答案】B

【解析】，，，则有，解得：.故选：B

2．(2020·宁县第二中学)已知平面向量，，若，则实数(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，即，又，，故，解得.故选：B.

3．(2020·永安市第三中学高三期中)已知向量，，若，且，则实数(   )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为向量，，则，

又，所以，解得 .故选：D．

4．(2020·西藏拉萨市)设，向量，，，且，，则_____________.

【答案】0

【解析】因为向量，，，且，，所以，得，

，解得，所以.故答案为：0

考向三 模长

【例3】(1)(2021·全国高三专题练习)已知，，则(  )

A．2 B． C．4 D．

(2)(2020·舒兰市实验中学校高三学业考试)若，则(    )

A．0 B． C．4 D．8

【答案】(1)C(2)B

【解析】(1)由题得=(0,4)所以．故选C

(2)因为.所以.故选：B.

【举一反三】

1．(2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学)已知向量，，则(    )

A． B．2 C． D．50

【答案】A

【解析】由题意得，所以，故选：A

2．(2020·黑龙江大庆市·大庆中学)已知向量，，若，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】已知向量，，且，则，解得，因此，.故选：B.

3．(2020·静宁县第一中学高三)已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则(    )

A．25 B．7 C．5 D．

【答案】D

【解析】因为平面向量，为单位向量，且向量向量，的夹角为，

所以，故.故选：D

4．(2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学)设为单位向量，且，则___________.

【答案】

【解析】∵为单位向量，

∴，∴．

∴．故答案为：．

考向四  数量积及投影

【例3】(1)(2020·南京航空航天大学附属高级中学高三期中)已知平面向量，，则与的夹角为______.

(2)(2020·莆田第十五中学高三)已知，，，则在方向上的投影等于_______.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)，，，

设与的夹角为，则，

又，所以，则与的夹角为.故答案为：

(2)设，的夹角为，

解得，则在方向上的投影等于故答案为：

【举一反三】

1．(2020·济南旅游学校)已知向量，．则向量，的夹角______．

【答案】

【解析】令向量与的夹角为，，由，，

所以，，，

所以，故向量，的夹角为，

故答案为：.

2(2020·全国福建省漳州市)已知，，若，则与的夹角为________.

【答案】

【解析】，，，解得，即

又与的夹角的范围是，则与的夹角为

故答案为：

3．(2020·深州长江中学高三期中)若向量，，，则，的夹角的度数为_________．

【答案】

【解析】设向量，的夹角为()，

，∴，∴，∴，

又，，∴，∴，∴故答案为：0°．

1．(2020·吉林市教育学院高三期中)下列向量中不是单位向量的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】A.   B. C. D. 为单位向量故选：B．

2．(2020·贵州贵阳一中高三月考)已知向量，向量与共线，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知：和不共线，所以和可以作为一组基底，

而与共线，所以，故选：C．

3．(2020·胶州市教育体育局教学研究室高三期中)已知向量，，若，则实数的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，向量，，

可得，，

因为，所以，解得.故选：A.

4．(2020·湖南衡阳市一中高三期中)向量，满足，，则向量与的夹角为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，因为，且，

所以，

可得，所以向量，的夹角为.故选：D.

5．(2020·山西省榆社中学高三)已知向量，，则在上的投影是(    )

A．4 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】由题意，向量，，可得，

所以在上的投影是.故选：D.

6．(2020·黑龙江高三月考)已知向量，，，若，则向量在上的投影为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以，

因为，所以，即，

所以向量在上的投影为

，

故选：B

7．(2020·四川省绵阳南山中学高三月考)已知向量，，则与的夹角为()

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为向量，，

所以,

又因为,所以,故选B.

8．(2020·深州长江中学高三期中)向量，，，则(    )

A．2 B． C．2或 D．或3

【答案】C

【解析】由，，得

所以，即，解得或．故选：C．

9．(2021·福建省)已知向量，，若//，则________．

【答案】

【解析】因为//，则，得，所以.故答案为：.

10．(2020·宁夏银川市·银川一中)已知向量，，若，，三点共线，则实数_____.

【答案】或

【解析】，，三点共线，，使， ，

解得：或.故答案为：或.

11．(2020·宁夏固原市·固原一中高三月考)若向量且，实数_______.

【答案】

【解析】由得，，解得.故答案为：.

11(2020·福建省泰宁第一中学高三)已知向量，，如果，那么的值为_________.

【答案】

【解析】向量，，如果，

则，解得，

即，解得，

所以.

故答案为：

12．(2020·山西高三月考)已知向量，，．若，则__________．

【答案】2

【解析】因为向量，，所以，又．且，

所以，解得，故答案为：2．故答案为：

13．(2020·宁县第二中学高三期中)已知平面向量，，若，则实数__________.

【答案】

【解析】因为向量，，若，则，解得.

故答案为：.

14．(2020·辽宁葫芦岛市·高三月考)已知，，若，则________.

【答案】

【解析】由题意，向量，，因为，可得，则.故答案为：.

15．(2020·山西吕梁市·高三期中)若，，且，则__________.

【答案】

【解析】因为，，，所以，解得.故答案为：.

16．(2020·上海徐汇区·高三一模)已知，，若∥，则＝_________________．

【答案】－1或3

【解析】，，即，

解得：或.故答案为：或

17．(2020·贵州安顺市·高三)已知向量，若，则实数__________．

【答案】

【解析】由题意，又，∴，解得．故答案为：．

18．(2020·辽宁高三期中)设，是两个互相垂直的单位向量，则________.

【答案】

【解析】，是两个互相垂直的单位向量，，，

则.故答案为：.

19．(2020·威远中学校高三月考)已知向量，，且，则__________.

【答案】8

【解析】因为，，且，所以，解得，故答案为：8.

20．(2020·江西高三其他模拟)已知向量，，若，则_____.

【答案】8

【解析】因为，，所以；

因为所以；解得：.故答案为：

21．(2020·河南开封市·高三一模)已知向量，，满足，则_________.

【答案】

【解析】∵，∴，解得(舍去)．

故答案为：．

22．(2020·四川宜宾市·高三)已知向量，，向量与向量的夹角为，则___________.

【答案】0

【解析】，则，结合条件可知： 故答案为：0

23．(2020·静宁县第一中学高三月考)已知向量，，若，则实数等于________.

【答案】7

【解析】因为向量，，所以，

因为，所以，

解得，故答案为：7

24．(2020·梅河口市第五中学高三月考)已知向量，若，则__________或__________.

【答案】       

【解析】；∵；∴；

解得m＝﹣3或1．此时或则或故答案为：；