数学高中一年级 第二学期第6章 三角函数综合与测试教学设计

这是一份数学高中一年级 第二学期第6章 三角函数综合与测试教学设计，共30页。教案主要包含了巩固训练等内容，欢迎下载使用。
高一数学春季班（教师版）
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课程编号

课型
同步复习课
课题
期中复习
教学目标

1、 熟练记忆三角相关公式并会灵活运用；
2、 掌握正余弦定理的常见题型解法；
3、 掌握三角函数各种典型问题的解法．

教学重点

1、三角恒等式灵活运用；
2、解三角形综合问题解法；
3、三角函数综合问题解法．

教学安排

版块
时长
1
例题解析
80
2
巩固训练
30
3
师生总结
10
4
课后练习
30

期中复习

知识梳理




一、 弧度制、任意角及其三角比
1、 角度制：圆周角的为1度的角，这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制．
弧度制：我们把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位来度量角的单位制叫做弧度制．它的单位符号是，读作弧度．
角度制与弧度制的换算: 【不必强记公式，只要牢牢把握的关系即可。】
（1）； （2）；
（3）
2、 扇形弧长公式，扇形面积公式：．
3、 在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（或说这个角属于第几象限）；角的终边落在坐标轴上时，且不属于任何象限，我们称它为轴线角．
4、 终边相同的角：两个角的始边重合，终边也重合时，称这两个角为终边相同的角，与角终边相同的角的集合可记为．
注意：终边相同的角不一定相等，它们之间相差360°的整数倍．相等的角终边一定相同．
5、 任意角的三角比可以用其终边上的点的坐标来定义．
设P是角终边上任意一点（点P不能是角的顶点），它的坐标为，则P到坐标原点O的距离，定义正弦，余弦，正切，余切，正割，余割．
当时，无意义；当时，无意义．
6、 三角函数的符号：

二、 同角三角比和诱导公式
1. 同角三角比的三个关系：
（1）倒数关系：；；；
（2）商数关系：；；
（3）平方关系：；；.
【在的两边同除，得 ；
在的两边同除，得 ；】
2. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆：
（1） 对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)。
（2） 任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)。
（3） 阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)。
注意：
1） “同角”的概念与角的表达形式无关，如：
，。
2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。
3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符号。
3. 诱导公式
第一组：
；；
；.
第二组：
；； ；.
第三组：
；；；.
第四组：
；；；.
第五组：
；；；.
第六组：
；；；.
4. 记忆技巧：奇变偶不变，符号看象限
三、 两角和差的正余弦、正切公式及二倍角公式
1. 两角和差展开公式



2. 二倍角公式


降幂公式：，，。
四、 万能公式及辅助角公式
1. 万能公式：
，，
2. 辅助角公式：
，
其中， (通常取)由，确定,
称上述公式为辅助角公式，角为辅助角．
运用公式时注意的问题：在运用公式时，因为常常只记住的取值由确定，所以当为正时就可能出现在一、三象限，而为负时可能出现在第二、四象限，这给求解某闭区间上的取值范围、取最值时的集合等问题时造成了困惑。
要解决此类困惑还是得从公式的推导过程来看，因为是由，得到，所以实际上与的取值确定了为第几象限角，很容易发现当点落在第几象限时，为第几象限角。
五、 正余弦定理
1、正弦定理：（1）中：(为的外接圆的半径)
已知边边角或角角边，一般用正弦定理。
(2)推论：正余弦定理的边角互换功能
① ，，
②，，
③ ==
④
2、余弦定理：
3、三角形面积公式：（1）== （2）= （3）
六、三角函数
1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质及图形特点：
三角函数



定义域



值域



奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性



单调性
在上递增
在上递减
在上递增
在上递减
递增
最值
时，最大值1
时，最小值
时，最大值1
时，最小值
无最大值
无最小值
图像



2.周期函数的定义：对于函数，如果存在非零常数，使对于中让每一个都成立，那么是周期函数，是它的一个周期.
3.函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；
对称轴是直线，凡是该图像与直线的交点都是该图像的对称中心.
4.“五点法”作图法
在精度要求不高的情况下，利用这5个点画出函数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”.
5.反三角函数的性质与图像
反三角函数



定义域



值域



奇偶性
奇函数
非奇非偶
偶函数
单调性
增函数
减函数
增函数
6.反三角常用关系式
（1）

（2）

（3）


例题解析





一、三角比定义与三角恒等式
【例1】扇形的中心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 ．
【难度】★
【答案】见解析
【解析】；设扇形半径为，内切圆半径为。，∴．

【例2】已知角的终边过点，且，则的值为 ．
． ． ． ．
【难度】★
【答案】见解析
【解析】；∵，即，∴，∴，又∵，，∴角的终边应在第三象限，∴，∴．

【例3】已知，，则的值是 ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；法一：∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴。则。
法二：∵，∴，∴，∴，∴，即，∴或，又∵，，，∴，∴。

【例4】若，则（ ）
． ． ． ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；．

【例5】已知为锐角，且，则 ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；∵为锐角，∴，∴
，∴
．

【例6】已知，则 ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；
，∴．

【例7】若，且，则 ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；
，又∵，∴，∴。∴
．


【巩固训练】
1、若是第二象限角，那么和都不是（ ）
．第一象限角 ．第二象限角 ．第三象限角 ．第四象限角
【难度】★
【答案】见解析
【解析】；∵是第二象限角，∴是第一或三象限角，为第三象限角，∴为第四象限角，故和都不是第二象限角。

2、下列关系式中正确的是（ ）
． ．
． ．
【难度】★
【答案】见解析
【解析】；在单位圆中画出、、分别所对应的三角函数线可得．

3、已知，则（ ）
． ． ． ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；∵，∴，∴
．

4、记，那么（ ）
． ． ． ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；，则，故．

5、已知，则（ ）
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；∵，∴
∴．

、已知，则（ ）
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；．

7．若，，则的取值范围是（ ）
． ． ． ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；
，，，又∵，∴．
二、解三角形
【例8】在中，角、、对应的边分别为、、，若，，，则角的大小为 ．
【难度】★★
【答案】；∵，∴，又∵，∴。又∵，∴，又∵，∴或（舍）．

【例9】在锐角中，，，则的值等于 ，的取值范围为 ．
【难度】★★
【答案】；；由正弦定理可得，∵，∴，∴。又∵锐角，∴
，∴．

【例10】在中，角、、对应的边分别为、、，若，则 ．
【难度】★★
【答案】；法一：
。
法二：
，则．

【例11】在中，下列结论：①若，则此三角形为钝角三角形；②若，则此三角形为等腰三角形；③若，则；④，其中正确的个数为 ．
【难度】★★★
【答案】4；，故此三角形为钝角三角形，①正确；
，又∵，∴，故②正确；∵，∴，又∵，∴，故③正确；∵，即，∴，即，故④正确．

【例12】在锐角中，角、、对应的边分别为、、，若，则的值是 ．
【难度】★★★
【答案】；∵，∴，则。．




【例13】如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，该救援船到达点需要多长时间？





【难度】★★★
【答案】，

又∵，∴（海里），∴
，∴（海里），
∴时间（小时）。答：救援船到达点需要小时．


【巩固训练】
1、在中，，则中最大角
【难度】★★
【答案】或
【解析】运用余弦定理
2、 在中，若，则=
【难度】★★
【答案】
【解析】余弦定理

3、中，分别为的对边，，则
_____
【难度】★★
【答案】

4、设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【难度】★★
【答案】B

5、三条直线两两平行、、，到的距离为1，到的距离为2，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为 。
【难度】★★
【答案】

（第2题图）
A
B
C
D
6、某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．
设
（1）求灯柱AB的高（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与
灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
【难度】★★
【答案】（1）；（2）当时，所用材料最小长度为米


三、三角函数
【例14】已知函数，（其中,,）的周期为，且图像上一个最低点为，则=_____．
【难度】★★
【答案】
【解析】注意的范围

【例15】为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）
(A) 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
(C) 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
【难度】★★
【答案】B
【解析】注意先平移再伸缩的易错点。
【例16】已知函数，．
（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（2）求函数的单调递增区间．
【难度】★★
【答案】（1）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．
所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（2）

．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）．


【例17】函数的图象为C,如下结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号).
①图象C关于直线对称;
②图象C关于点对称;
③函数)内是增函数;
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
【难度】★★
【答案】①②③
【解析】平移变换时的系数必为1

【例18】函数，对任意实数在区间上取到的次数不少于4次且不多于8次，则的值为 .
【难度】★★
【答案】

【例19】（2015奉贤一模理27文27）已知函数，求的最小正周期，并求在区间上的最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】
，
因为，所以，
当时，即时，的最大值为，
当时，即时，的最小值为．

【巩固训练】
1．如图，函数（其中）的图像与轴交于点．
（1）求的值；
（2）设是图像上的最高点，是图像上与轴的交点，求．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．

2．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像 （ ）
（A）向右平移个单位长度（B）向右平移个单位长度
（C）向左平移个单位长度（D）向左平移个单位长度
【难度】★★
【答案】D

3．设函数图像的一条对称轴是直线。
（1）求；
（2）求函数的单调增区间；
（3）画出函数在区间上的图像。
【难度】★★
【答案】（1）的图像的对称轴，

（2）由（1）知
由题意得
所以函数
（3）由
x
0





y

－1
0
1
0


故函数








4．已知函数，
（1）求的最小正周期及取得最大值时的集合；
（2）求证：函数的图像关于直线对称．
【难度】★★
【答案】（1）；；
（2）提示：证明即可．

5．为了使y=sinωx（ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是 ．
【难度】★★
【答案】

6．求函数的最小值．
【难度】★★
【答案】，
令则，
时在上单调递减，
时在上单调递增，在上单调递增，
时在上单调递减
时在上单调递减，在上单调递增，
，


四、反三角函数
【例20】函数的反函数为_____．
【难度】★★
【答案】
【解析】利用反正弦函数的定义可得

【例21】函数的值域是（ ）
（A）（B）（C）（D）
【难度】★★
【答案】因为及在上均为单调递增函数，所以在上为增函数，由此得：，
即，选取（D）

【例22】计算下列各式的值：
（1）；（2）
【难度】★★
【答案】


【例23】下列方程与同解的是
①;②;③
【难度】★★
【答案】②③
【解析】①中


【巩固训练】
1．函数的定义域为_____，值域为_____．
【难度】★★
【答案】，

2．函数的反函数的最大值是_____，最小值是_____．
【难度】★★
【答案】，

3．，_____．
【难度】★★
【答案】

4．解下列三角方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．

反思总结
【解析】


1.同角三角比:
① 特别注意题干中的角的关系与角的范围；
② 熟记基本关系与诱导公式的口诀；其中诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”的含义如下:诱导公式的左边为的正弦(正切)或余弦余切的三角比，当k为奇数时，右边的三角比名称正余互换；当k为偶数时，右边的三角比名称不改变；将视为锐角，后分析角所处象限，随后判断公式左边的三角比在该象限的符号是正是负，将其作为公式右边的符号.
2. 两角和差及倍角公式：
① 三角函数式化简:
⑴ 发现差异:观察角、函数运算间的差异(如角的关系、角的范围)，即差异分析；
⑵ 寻找联系:运用相关公式，找出差异之间的内在联系；
⑶ 合理转化:选择恰当的公式，促使差异的转化；
② 化简目标:项数最少、函数种类最少、分母中不含有三角函数，能求值的尽可能求值；
一般方法:⑴角的变换:拆角、拼角；⑵名的变换: 化弦或化切；
⑶次数的变换:升、降幂公式；⑷形的变换:同一函数形式，注意运用代数运算；
③ 求值、化简、证明的一般思路:
⑴切割化弦；⑵遇多元，想消元；⑶遇差异，想联系； ⑷遇高次，想降次；
⑸遇特角，想求值；⑹想消元，引辅角.
3. 易错、易漏点:
① 特别注意正切公式成立时角满足的条件；注意三角公式中角的范围、三角比的符号；注意倍角公式的相对性；
② 半角公式中的号，应根据角所在的象限判断；
③ 注意三角公式中基本公式(包括拓展中的积化和差与和差化积公式)均源于两角和差的余弦、正弦公式推导出，应当特别重视；对于公式，应掌握正用、逆用、变形使用.
4. 三角函数主要方法:
① 求三角函数的定义域、值域、单调区间、最值、周期等的问题中通常都要先把表达式化简，尽量使表达式成为关于一个角的一个函数名的一次表达式，同时一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化；
② 对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图像时只要作出一个周期的图像，就可根据周期性作出整个函数的图像.
③ 求函数的单调区间，只需求的相反区间即可.
5. 三角函数易错、易漏点:
① 解决三角函数的有关问题，最主要是掌握好函数的基本性质，同时注意到三角函数自身的一些特性(定义域等要求)；求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为的形式，否则很容易出现错误；
② 函数的单调性是在定义域(或其某个子区间)上考虑的，要比较两个三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小.



课后练习



1、已知的终边经过点，且，，则的取值范围是 ．
【难度】★
【答案】

2、若，是方程的两根，则 ．
【难度】★★
【答案】

3、已知，那么 ．
【难度】★★
【答案】4

4、的三边a、b、c和面积，满足，试计算= 。
【难度】★★
【答案】

5、已知内接于单位圆，则长为的三条线段（）
（A）能构成一个三角形，其面积大于面积的一半
（B）能构成一个三角形，其面积等于面积的一半
（C）能构成一个三角形，其面积小于面积的一半
（D）不一定能构成一个三角形
【难度】★
【答案】C

6、设，，，，则 ．
【难度】★★
【答案】

7、函数的单调递减区间是 ．
【难度】★★
【答案】

8、把函数的图像平移，得到函数的图像，则向右平移 ，向上平移 ．
【难度】★
【答案】

9、方程的解的个数是 ．
【难度】★
【答案】51个

10、若，，则的取值范围是_____．
【难度】★★
【答案】

11、中，，则的形状为 （ ）
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形
（C）直角三角形 （D）不能确定形状
【难度】★
【答案】A

12、扇形的中心角为，半径为，在扇形中作内切圆及与圆外切、与、相切的圆．问为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？
【难度】★★
【答案】，面积最大值是

13、已知，、是方程的两根，求的值．
【难度】★★
【答案】

14、如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.
（1）求索道的长;
（2）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
【难度】★★
【答案】C
B
A
（1）；（2）乙出发分钟时；（3）乙的速度要控制在的范围内。