2020届陕西省西安地区八校联考高三上学期第一次数学(文)试题（解析版）

2020届陕西省西安地区八校联考高三上学期第一次数学(文)试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据交集运算结果求解即可

【详解】

，，

则

故选：D

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于基础题

2．复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据复数运算的除法法则求解即可

【详解】

，在复平面内对应的点为

故选：A

【点睛】

本题考查复数的除法运算，复数与复平面的对应关系，属于基础题

3．函数的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】先求导，令，再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可

【详解】

由，令得或，

当时，单调递增，当时，函数单调递减，

，画出函数图像，如图所示：

故函数图像有两个零点

故选：C

【点睛】

本题考查导数研究函数零点个数，属于基础题

4．若实数，满足，则的最小值为（    ）

A．-2 B．-3 C．-5 D．0

【答案】A

【解析】根据题意，画出可行域，再根据目标函数与可行域的位置关系求解即可

【详解】

如图所示，画出目标可行域，可转化为，

当交于点时，有最小值，求得，代入得

故选：A

【点睛】

本题考查根据二元一次方程组求目标函数的最小值，属于基础题

5．在一次技能比赛中，共有12人参加，他们的得分（百分制）茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为（    ）

A．89  54.5 B．89  53.5

C．87  53.5 D．89  54

【答案】B

【解析】根据中位数和方差定义求解即可

【详解】

由题可知，中位数为：，先求平均数：

故中位数为：89，方差为53.5

故选：B

【点睛】

本题考查茎叶图的识别，中位数与方差的求法，属于基础题

6．已知（为自然对数的底数），若，则函数是（    ）

A．定义域为的奇函数 B．在上递减的奇函数

C．定义域为的偶函数 D．在上递增的偶函数

【答案】B

【解析】根据题意，结合分段函数，先求出，再求出的具体表达式，进一步分析即可

【详解】

，则，

则，画出反比例函数的图像，显然B项符合

故选：B

【点睛】

本题考查分段函数的求值，函数图像奇偶性增减性的判别，属于基础题

7．已知点到抛物线的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】结合抛物线第一定义和图像即可求解

【详解】

可变形为，则焦点坐标为，由抛物线第一定义，点到抛物线的准线的距离为5，即，即，解得，则抛物线焦点坐标为

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线的基本性质，熟悉抛物线基本表达式特征，明确焦点位置，是解题关键，属于基础题

8．已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，画出大致图像，确定球心在的连线上，再结合几何关系和勾股定理进行求解即可

【详解】

如图，由几何关系可知，，先将三角形转化成平面三角形，

如图：

，由勾股定理解得，，则，由勾股定理可得，即，解得，球体的表面积为：

故选：B

【点睛】

本题考查锥体外接球表面积的求法，解题关键在于找出球心，属于中档题

9．若为实数，则“”是“”成立的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】解不等式可得，是的真子集，故“”是“”成立的必要不充分条件.

故选B.

10．函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先将函数化简，再结合正弦函数增区间的通式求解即可

【详解】

，再令

，解得

故选：A

【点睛】

本题考查正弦型三角函数单调区间的求法，属于基础题

11．已知双曲线：的左焦点为，过且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】可设左焦点的坐标为，直线与曲线的两交点坐标为，代入双曲线方程可解得纵坐标，通过题设的通径可得参数基本关系，再结合即可求解

【详解】

设，直线与曲线的两交点坐标为，将代入，解得，则，解得，又因为，联立得：，即双曲线的渐近线方程为：

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线通径的使用，双曲线的基本性质，无论是椭圆还是双曲线，通径公式都为，属于中档题

12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在，，，的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表.由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为.那么，年龄在的爱看人数比为（    ）

A．0.42 B．0.39 C．0.37 D．0.35

【答案】D

【解析】根据题意，可列出关于的表格，求出，代入，求出，即可求解

【详解】

由题，对数据进行处理，得出如下表格：

求得，，因样本中心过线性回归方程，将代入，得，即，年龄在对应的为，将代入得：，对应的爱看人数比为：0.35

故选：D

【点睛】

本题考查线性回归方程的应用，样本中心过线性回归方程是一个重要特征，属于中档题

二、填空题

13．已知平面向量，，且，则______.

【答案】

【解析】由题，根据，即向量平行的坐标运算即可求出参数

【详解】

，，因为，所以，解得

故答案为：

【点睛】

本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题

14．在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______.

【答案】3975

【解析】根据等差数列下标性质进行求解即可

【详解】

由题，可设，则，

故

故答案为：3975

【点睛】

本题考查等差数列下标性质的应用，属于基础题

15．从1，2，3，5，6，7中任意取三个数，则这三个数的和为偶数的概率为______.

【答案】0.6

【解析】根据题意，采用列举法，表示出所有的情况，再选出符合题意的个数，结合古典概型公式求解即可

【详解】

由题可知，所有可能的情况为：，

，共计20个

其中符合题意的有：

，共计12个

故这三个数的和为偶数的概率为：

故答案为：0.6

【点睛】

本题考查古典概型的计算，正确表示各个数的形式是解题关键，属于基础题

16．金石文化，是中国悠久文化之一.“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是，则该工艺品共有______个面，表面积是______.

【答案】26       

【解析】先由三视图还原出立体图，再结合立体图特点求解表面积即可

【详解】

由立体图可确定该几何体由26个面构成，其中有18个正方形面和8个正三角形面构成，

先研究正视图，若设中间的正方形的边长为，则（正视图长度会被压缩），该正八边形面积为，解得

18个正方形面积为：，8个正三角形的面积为：

故表面积为：

故答案为：26；

【点睛】

本题考查由三视图还原立体图，多面体表面积的求法，还原立体图形、正确理解三视图与立体图线段关系是解题关键，属于难题

三、解答题

17．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，边上的中线的长为.

（1）求角、的大小；

（2）求的面积.

【答案】（1），  （2）

【解析】（1）将展开，结合余弦定理即可求得，

再由可得，结合三角形内角和公式可求得；

（2）结合（1）可判断为等腰三角形，结合余弦定理即可求得，再结合正弦面积公式即可求解

【详解】

（1）由，得.

∴.

∵，∴，

由，得，

∴，由此得.

又，∴，即.

（2）由（1）知，，则，

在中，由余弦定理，得

，

解得.

故.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题

18．已知四棱锥中，底面四边形为平行四边形，为的中点，为上一点，且（如图）.

（1）证明：平面；

（2）当平面平面，，时，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析   （2）

【解析】（1）要证平面，即证平面的一条线段，可连接，交于点，通过相似三角形证明即可；

（2）采用等体积法进行转化，，平面平面，可通过几何关系先求出点到平面的距离，再结合求得点到平面的距离，结合体积公式即可求解；

【详解】

（1）证明：取的中点，连接，，，连接.

∵四边形为平行四边形，，分别为，的中点，

∴根据平行线分线段成比例定理得，

又，得，

∴，又在平面内，不在平面内，

∴平面.

（2）

由题意，得，，

.连接，（为的中点），

则，，且，.

∵平面平面，，在平面内，.

∴平面，

∵，得点到平面的距离就是，

又，

∴到平面的距离为.

∴.

【点睛】

本题考查线面平行的证明，锥体体积的求法，属于中档题

19．已知数列的前项和为，设.

（1）若，，且数列为等差数列，求数列的通项公式；

（2）若对任意都成立，求当为偶数时的表达式.

【答案】（1）   （2）（为偶数）

【解析】（1）根据题意求出公差，即可求出通项公式；

（2）由，当时，，两式作差可得，再令，则，结合前项和公式即可求解；

【详解】

（1）∵，，，

∴，

，

设等差数列为的公差为，则.

∴数列的通项公式为.

（2）对任意，都成立，即    ①

当时，②

①-②得.

令，则，

∴，

故（为偶数）.

【点睛】

本题考查等差数列的基本求法，由与求数列前项和，对运算能力有较高要求，属于中档题

20．已知函数在区间上单调递减.

（1）求的最大值；

（2）若函数的图像在原点处的切线也与函数的图像相切，求的值.

【答案】（1）-1   （2）

【解析】（1）通过求导，再将函数在上单调递减作等价转化，可得在上恒成立，求得，即可求解；

（2）可先求出过原点的切线方程，再设函数的图像在处的切线为，根据点斜式得出，又，结合点经过，即可求解

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵函数在区间上为减函数.

∴即，在上恒成立，

当时，，则当即时，取最小值-1.

∴，

∴的最大值为-1.

（2）的定义域为，的定义域为.

由，得.

∴函数的图像在原点处的切线方程为，

由，得，

设函数的图像在处的切线为，

则：    ①.且过原点，，

将，代入①，解得.

∴.

【点睛】

本题考查用导数和函数增减性求解参数问题，具体切线方程中参数的求法，学会等价转化，分离参数是解决参数类问题常用方法，属于中档题

21．已知，，顺次是椭圆：的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆的离心率，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率的直线过点，直线与椭圆交于，两点，试判断：以为直径的圆是否经过点，并证明你的结论.

【答案】（1）   （2）经过，证明见解析

【解析】（1）根据题意，列出相应表达式，再结合，即可求解；

（2）可联立直线和椭圆的标准方程，结合韦达定理表示出两根和与积的关系，再由向量证明即可；

【详解】

（1）解：由題意得，，，.

∴即，

设椭圆的半焦距为，得方程组，解得，

∴椭圆的方程为.

（2）方法一：以为直径的圆经过点.理由如下：

∵椭圆：，.直线的斜率，且过点.

∴直线：，

由消去，并整理得，

，直线与椭圆有两个交点.

设，，则，.

∵

.

∴以为直径的圆经过点.

方法二：同方法一，得，.

∴

.

设的中点为，则，.

∴.

∴以为直径的圆经过点.

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求法，韦达定理、向量法在解析几何中的应用，属于中档题

22．在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）若直线与曲线有公共点，求的取值范围.

【答案】（1）普通方程为，极坐标方程为   （2）

【解析】（1）由得，代入，化简即可求得曲线的普通方程，再结合，即可求解的曲线的极坐标方程；

（2）设直线方程为，由直线与曲线有公共点可得圆心到直线距离，可解得，进而求得的取值范围

【详解】

（1）显然，参数，由得，

代入并整理，得，

将，代入，得，

即.

∴曲线的普通方程为，

极坐标方程为.

（2）曲线的直角坐标方程为，曲线是以为圆心，半径为2的圆.

当时，直线：与曲线没有公共点，

当时，设直线的方程为.

圆心到直线的距离为.

由，得.

∴，即的取值范围为.

【点睛】

本题考查曲线的普通方程和极坐标方程的求法，直线与圆的位置关系，属于中档题

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若存在，使成立，求的取值范围.

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）采用取绝对值方法可求得的分段函数，分三组方程求解即可；

（2）存在，使成立，即求出在区间的最大值，使得即可求解的取值范围

【详解】

解：（1）∵，

∴不等式等价于下列不等式组，

①或②或③，

由①得，得，由②得，得；

由③得，得.

∴不等式的解集为.

（2）在区间上，当时，；

当时，；

当时，.

∴在区间上，.

由存在使成立，得，得或.

∴的取值范围为.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，存在性问题的等价转化，属于中档题