2020北京海淀区高三上学期期末考试数学试题含答案

这是一份2020北京海淀区高三上学期期末考试数学试题含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 2020. 01本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，，则集合是 （2）抛物线的焦点坐标为（3）下列直线与圆相切的是（4）已知，且，则（5）在的展开式中，的系数为（6）已知平面向量满足，且，则的值为（7）已知, , 是三个不同的平面，且，，则“”是“”的（8）已知等边△边长为3. 点D在BC边上，且，. 下列结论中错误的是（9）声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（10）若点为点在平面上的正投影，则记. 如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），，. 给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得∥平面；③存在点使得.其中，所有正确结论的序号是第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（11）在等差数列中， ，，则_________. （12）若复数，则=_________. （13）已知点A，点,分别为双曲线 的左、右顶点. 若△ABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_________.（14）已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________.（15）用“五点法”作函数的图象时，列表如下：则_________，_________.（16）已知曲线C：（为常数）.（i）给出下列结论：①曲线C为中心对称图形；②曲线C为轴对称图形；③当时，若点在曲线上，则或.其中，所有正确结论的序号是 .（ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是 .（写出一个即可）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（17）（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.（18）（本小题共13分）如图，在三棱锥中，平面平面，△和△均是等腰直角三角形，，，，分别为, 的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.（19）（本小题共13分）某市《城市总体规划（2016—2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6~1）、良好小区（指数为0.4~0.6）、中等小区（指数为0.2~0.4）以及待改进小区（指数为0 ~0.2）4个等级. 下面是三个小区4个方面指标的调查数据：注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数，其中为该小区四个方面的权重，为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：（Ⅰ）分别判断A，B，C三个小区是否是优质小区，并说明理由；（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.（20）（本小题共14分）已知椭圆的右顶点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点，，直线和分别与直线交于点,．求△与△面积之和的最小值.（21）（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有极小值，求证：的极小值小于.（22）（本小题共14分）给定整数，数列每项均为整数，在中去掉一项, 并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将中的最小值称为数列的特征值.（Ⅰ）已知数列，写出的值及的特征值；（Ⅱ）若，当，其中且 时，判断与的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数 学 2020.01阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（17）解：（Ⅰ） . 因为的单调递增区间为， 令， 得. 所以的单调递增区间为. （Ⅱ）方法1：因为， 所以. 又因为，的最大值为1，所以. 解得. 所以的最小值为. 方法2：由（Ⅰ）知：当且仅当时，取得最大值1. 因为在区间上的最大值为，所以. 所以的最小值为. （18）解：（Ⅰ）在△中，M，N分别为VA，VB的中点，所以为中位线.所以. 又因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）在等腰直角三角形△中，,所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 又因为平面，所以. （Ⅲ）在平面ABC内过点C做垂直于AC，由（Ⅱ）知，平面，因为平面，所以. 如图,以为原点建立空间直角坐标系. 则，，，，.，，. 设平面的法向量为，则 即令则，,所以. 直线与平面所成角大小为，. 所以直线与平面所成角的正弦值为.（19）解：（Ⅰ）方法1:A小区的指数， ,所以A小区不是优质小区; B小区的指数， ,所以B小区是优质小区; C小区的指数， ,所以C小区不是优质小区. 方法2:A小区的指数 ,所以A小区不是优质小区; B小区的指数.B小区是优质小区; C小区的指数 . C小区不是优质小区. （在对A、B、C小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分）（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区个，其它小区个. 依题意ξ的所有可能取值为0，1，2. ； ； . 则的分布列为： . （20）解：（Ⅰ）解：依题意，得 解得， 所以椭圆C的方程为. （Ⅱ）设点，依题意，点坐标为，满足（且）,直线的方程为 令，得，即. 直线的方程为 ，同理可得. 设为与轴的交点. . 又因为，,所以. 当且仅当取等号，所以的最小值为. （21）解：（Ⅰ）由已知得， 因为 ，， 所以直线的方程为. （Ⅱ）（i）当时，，所以（当且仅当且时，等号成立）. 所以在上是单调递增函数. 所以在上无极小值. （ii）当时,一元二次方程的判别式，记是方程的两个根，不妨设.则 所以.此时，随的变化如下：所以的极小值为. 又因为在单调递增， 所以. 所以的极小值为小于.22. 解：（Ⅰ）由题知：; ; . 的特征值为1. （Ⅱ）. 理由如下：由于，可分下列两种情况讨论： eq \o\ac(○,1)当时，根据定义可知：同理可得：所以.所以.  eq \o\ac(○,2)当时，同 eq \o\ac(○,1)理可得： 所以.所以. 综上有：.（Ⅲ）不妨设， ， 显然，， . 当且仅当时取等号； 当且仅当时取等号；由（Ⅱ）可知的较小值为，所以.当且仅当时取等号，此时数列为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有 . 下证：若，，总有. 证明： = . 所以. 因此. 当时，可取到最小值，符合题意. 所以的最小值为. （A）（B）（C）（D）（A）（B）（C）（D）（A）（B）（C）（D）（A）（B）（C）（D）（A）（B）（C）（D）（A）（B）（C）（D）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（A）（B）（C）（D）（A）倍（B）倍（C）倍（D）倍（A）①②③（B）②③（C）①③（D）①② 小区 指标值权重A小区B小区C小区教育与文化（0.20）0.70.90.1医疗与养老（0.20）0.70.60.3交通与购物（0.32）0.50.70.2休闲与健身（0.28）0.50.60.1分组[0,0.2）[0.2,0.4）[0.4,0.6）[0.6,0.8）[0.8,1]频数1020303010题号12345678910答案DBACAABCBD题号111213141516答案02；②③；均可0↗极大值↘极小值↗