【最新 北师大版】高考数学一轮复习 高考大题专项一 突破2利用导数研究与函数零点有关的问题学案（含解析）

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突破2　利用导数研究与函数零点有关的问题
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.函数的零点、方程的根、曲线的交点,这三个问题本质上同属一个问题,它们之间可相互转化,这类问题的考查通常有两类:(1)讨论函数零点或方程实数根的个数;(2)由函数零点或方程的根的情况求参数的取值范围.
2.利用导数研究函数零点的方法
方法一:(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)根据函数f(x)的性质作出图像;
(3)判断函数零点的个数.
方法二:(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)分类讨论,判断函数零点的个数.
3.求解导数应用题宏观上的解题思想
(1)借助导函数(正负)研究原函数(单调性),重点是把导函数“弄熟悉”;
(2)为了把导函数“弄熟悉”采取的措施:
①通分;
②二次求导或三次求导;
③画出导函数草图.

关键能力学案突破　

考点
判断、证明或讨论函数零点个数

【例1】设函数f(x)=(x-1)ex-k2x2(其中k∈R).
(1)略;
(2)当k>0时,讨论函数f(x)的零点个数.









解题心得有关函数的零点问题的解决方法主要是借助数形结合思想,利用导数研究函数的单调性和极值,利用函数的单调性模拟函数的图像,根据函数零点的个数的要求,控制极值点函数值的正负,从而解不等式求出参数的取值范围.
对点训练1(2020湖南湘潭三模,理21)设函数f(x)=ln x,g(x)=mx-m2x.
(1)当m=-1时,求函数F(x)=f(x)+g(x)的零点个数;
(2)若存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)k(x-2)在x>1时恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,请说明理由.











指点迷津(一)　在导数应用中如何构造函数

在有关导数的应用中,无论是求函数的单调性、求极值最值,证明不等式、求参数的范围,还是讨论函数的零点,都需要从给定的已知条件中构造出一个或两个函数进行研究,构造的得当能降低难度,减少运算量,但有很多同学不知道如何构造,下面对如何构造函数给出归类和总结.
1.作差直接构造法
【例1】函数f(x)=(x-2)ex+12ax2-ax.设a=1,当x≥0时,f(x)≥kx-2,求k的取值范围.
分析由f(x)≥kx-2,令g(x)=f(x)-kx+2=(x-2)ex+12x2-x-kx+2.
2.局部构造法
【例2】已知函数f(x)=axlnxx-1.当a=1时,判断f(x)有没有极值点.
分析当a=1时,f(x)=xlnxx-1,则f'(x)=x-lnx-1(x-1)2,令g(x)=x-lnx-1.
【例3】已知函数f(x)=ln(x-a)x.若a=-1,证明:函数f(x)是(0,+∞)上是减少的.
分析当a=-1时,函数f(x)的定义域是(-1,0)∪(0,+∞),所以f'(x)=xx+1-ln(x+1)x2,令g(x)=xx+1-ln(x+1).
3.作差局部构造法
【例4】已知函数f(x)=ln x-a(x-1),a∈R.当x≥1时,f(x)≤lnxx+1恒成立,求a的取值.
分析f(x)-lnxx+1=xlnx-a(x2-1)x+1,令g(x)=xlnx-a(x2-1)(x≥1).
4.分离参数构造法
【例5】在例4中,当x≥1时f(x)≤lnxx+1恒成立等价于ln x-lnxx+1≤a(x-1),
(1)当x=1时,显然恒成立,∴a∈R.
(2)当x>1时,上式等价于lnxx-1-lnxx2-1≤a⇔lnxx-1-lnxx2-1max≤a,令F(x)=lnxx-1-lnxx2-1.
【例6】已知函数f(x)=ax-lnxx,a∈R.若f(x)≥0,求a的取值范围.
分析函数的定义域为(0,+∞),由f(x)≥0得ax-lnxx≥0,即a≥lnxx2.
令g(x)=lnxx2.
5.特征构造法
【例7】若x>0,证明:ln(x+1)x>xex-1.
分析因为xex-1=lnexex-1=ln(ex-1+1)ex-1,故原不等式等价于ln(x+1)x>ln(ex-1+1)ex-1,令f(x)=ln(x+1)x,由例3知f(x)=ln(x+1)x是(0,+∞)上是减少的,故要证原不等式成立,只需证明:当x>0时,xx1时,不等式f(x1)x2-f(x2)x1x2.
分析当x∈(0,+∞)时,要证lnex-1x>x2,
只需证ex-1>xex2,
令F(x)=ex-1-xex2,
F'(x)=ex2ex2-1-x2,
由ex>x+1可得,ex2>1+x2,则x∈(0,+∞)时,F'(x)>0恒成立,即F(x)在(0,+∞)上递增,
∴F(x)>F(0)=0,
即ex-1>xex2,
∴lnex-1x>x2.
7.换元后构造
【例10】已知函数f(x)=ln x-kx,其中k∈R为常数.若f(x)有两个相异零点x1,x2(x12.
分析证lnx2-lnx1x2-x1(x2+x1)>2,
即证lnx2-lnx1>2(x2-x1)x2+x1,
只要证lnx2x1>2(x2-x1)x2+x1.
设t=x2x1(t>1),
则只要证lnt>2(t-1)t+1(t>1).
令g(t)=lnt-2(t-1)t+1.
8.放缩后局部构造
【例11】已知函数f(x)=ax2+x-1ex.证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.
分析当a≥1时,f(x)+e=ax2+x-1ex+e≥x2+x-1ex+e=(x2+x-1+ex+1)e-x.
设g(x)=x2+x-1+ex+1,则g'(x)=2x+1+ex+1.
9.作差与分离变量的综合构造法
【例12】已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x(a∈R),g(x)=(1-a)x,若存在x∈[1,e]使得f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围.
分析不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解,即x2-2x+a(lnx-x)≥0在区间[1,e]上有解.
因为当x∈[1,e]时,lnx≤1≤x(不同时取等号),x-lnx>0,所以a≤x2-2xx-lnx在区间[1,e]上有解.
令h(x)=x2-2xx-lnx.
10.主元构造法
主元构造法,就是将多变元函数中的某一个变元看作主元(即自变量),将其他变元看作常数,来构造函数,然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.
【例13】已知函数g(x)=xln x,设00,因此F(x)在(a,+∞)上为增加的,从而当x=a时,F(x)有极小值F(a).
因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,
即g(a)+g(b)-2ga+b2>0.
设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,
则G'(x)=lnx-lnx+a2-ln2=lnx-ln(x+a),
当x>0时,G'(x)a,所以G(b)0,解得x0.
∴f(x)在(-∞,lnk)和(0,+∞)上递增,在[lnk,0]上递减.
由f(0)=-1,当x∈(-∞,0)时,f(x)≤f(x)max=f(lnk)=(lnk-1)k-k2ln2k=-k2[(lnk-1)2+1]0.
又f(x)在[0,+∞)上递增,
∴f(x)在[0,+∞)上有唯一的零点,
∴函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有唯一的零点.
②当k>1时,令f'(x)>0,解得xlnk,
∴f(x)在(-∞,0)和(lnk,+∞)上递增,在[0,lnk]上递减.
当x∈(-∞,lnk)时,f(x)≤f(x)max=f(0)=-10,
∴g(t)在(2,+∞)上递增,得g(t)>g(2)=e2-2>0,即f(k+1)>0.
∴f(x)在[lnk,+∞]上有唯一的零点,故函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有唯一的零点.
综合①②可知,当k>0时,函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有且只有一个零点.
对点训练1解(1)F(x)=lnx-x-12x,
即F(x)=lnx+12x-12(x>0),
则F'(x)=1x-12x2=2x-12x2,
令F'(x)=0,解得x=12.
当x∈0,12,F'(x)2时,令h'(x)=2x-m2x20;
当x∈α,π2时,g'(x)0.从而,f(x)在区间0,π2上没有零点.
③当x∈π2,π时,f'(x)0,f(π)1,所以f(x)0.
①当a≤0时,aex-10得x>ln1a,由f'(x)0,当x>0时,g'(x)0.
所以f(x)在(-∞,lna)上递减,在(lna,+∞)上递增,故当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a(1+lna).
①若01e,则f(lna)0,所以f(x)在(-∞,lna)上存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,
所以当x>4且x>2ln(2a)时,
f(x)=ex2·ex2-a(x+2)>eln(2a)·x2+2-a(x+2)=2a>0.
故f(x)在(lna,+∞)上存在唯一零点.
从而f(x)在(-∞,+∞)上有两个零点.
综上,a的取值范围是1e,+∞.
例4解(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
令f'(x)=0,得x=0或x=a3.
若a>0,则当x∈(-∞,0)∪a3,+∞时,f'(x)>0;
当x∈0,a3时,f'(x)0,解得x>ek,令g'(x)0,函数h(k)递增,当k>ln2时,h'(k)