高考数学真题专项练习 专题16 平面向量数量积及其应用（教师版）

这是一份高考数学真题专项练习 专题16 平面向量数量积及其应用（教师版），共40页。试卷主要包含了已知向量，满足，，则，已知向量 ， 则ABC=，已知向量，，，则，设四边形为平行四边形，，等内容，欢迎下载使用。
专题16 平面向量数量积及其应用
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011[来源:Z§xx§k.Com]
课标[来源:Z,xx,k.Com]
理10
平面向量的综合应用
利用平面向量数量积计算向量夹角与模问题及命题真假的判定[来源:Zxxk.Com]
文13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积处理向量垂直问题
2012
课标
理13
文15
平面向量数量积性质的应用
平面向量的定义及利用平面向量数量积处理向量模问题
2013
卷1
理13
文13
平面向量数量积的概念及其几何意义
平面向量数量积的概念及运算法则
卷2
理13
文14
平面向量数量积的概念及其几何意义
平面向量数量积的运算法则
2014
卷1
理15
平面向量数量积的概念及其几何意义
中点公式的向量形式及向量的夹角的概念
卷2
文4
理3
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积处理向量模问题
2015
卷1
理5
平面向量的综合应用
主要与双曲线结合考查平面向量数量积的坐标运算
卷2
文4
平面向量数量积的概念及其几何意义
平面向量的坐标运算、平面向量数量积
2016
卷1
理13
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及平面向量模公式
卷2
理3
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂直问题
卷3
理3文3
平面向量数量积的概念及其几何意义
平面向量的数量积的坐标运算及利用平面向量数量积求夹角
卷1
文13
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂直问题
2017
卷1
理13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积计算模
理2
理12
平面向量的综合应用
与平面图形有关的平面向量数量积的最值问题
卷1
文13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积的坐标运算及利用向量数量积处理垂直问题
卷2
文4
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积的模
卷3
理12
平面向量的综合应用
向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质
卷3
文13
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂直问题
2018
卷2
理4文4
平面向量数量积的概念、几何意义及其运算律
平面向量的数量积及其运算律
2019
卷1
理7
文8
平面向量数量积性质的应用
平面向量数量积处理垂直与夹角问题
卷2
理3
平面向量的综合应用
平面向量的减法运算、模公式、平面向量数量积
卷3
理13
平面向量的综合应用
平面向量数量积处理模与夹角问题
卷3
理13
平面向量数量积性质的应用
平面向量坐标的模公式及夹角公式
2020
卷1
理14
平面向量数量积及其运算
向量模长的计算
文14
平面向量数量积的应用
平面向量垂直充要条件的坐标形式，平面向量数量积的应用
卷2
理13
平面向量数量积的应用
向量夹角公式，应用向量数量积处理垂直问题
文15
平面向量数量积定义及性质
平面向量数量积的定义和运算性质，应用平面向量数量积处理向量垂直
卷3
理6
平面向量数量积及其运算
平面向量夹角公式，平面向量数量积的计算以及向量模长的计算

大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021年预测
考点51平面向量数量积的概念及其几何意义
7/24
2021年高考仍将重点单独或与平面图形等知识结合重点平面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数量积计算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中档题或难题，题型为选择或填空．
考点52平面向量数量积性质的应用
9/24
考点53平面向量的综合应用
8/24
十年试题分类*探求规律
考点51平面向量数量积的概念、其几何意义及其运算律
1．（2020全国Ⅲ理6）已知向量满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值．
【解析】，，，．
，因此．故选D．
2．（2020山东7）已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果．
【解析】解法一：的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．
解法二：如图，建立平面直角坐标系，由题意知，，，，设，则，∵，∴，∴的取值范围是．

3．（2018•新课标Ⅱ，理4）已知向量，满足，，则　　
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【解析】向量，满足，，则，故选．
4．（2016新课标，理3）已知向量 ， 则ABC=
(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
【答案】A
【解析】由题意，得，所以，故选A．
5．（2017北京）设， 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为为非零向量，所以的充要条件是．因为，则由可知的方向相反，，所以，所以“存在负数，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件．
6．（2013湖北）已知点、、、，则向量在方向上的投影为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】=（2，1），=（5，5），则向量在向量方向上的射影为

7．（2011辽宁）已知向量，，，则
A． B． C．6 D．12
【答案】D
【解析】 ∵，由，得，∴，解得．
8．(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为，，则＝
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由菱形的边长为，可知，
．
9．（2015四川）设四边形为平行四边形，，．若点满足
，，则（ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
【答案】C
【解析】，所以 ====9，选C．
10．（2014天津）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因为，所以，因为，所以，，因为，所以，即 ①，同理可得 ②，①+②得．
11．（2012天津）在△ABC中，A=90°，AB=1，设点P，Q满足，，．若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】如图，设 ，则，又 = =，，∴= ==，即，选B．

12．（2020全国Ⅰ文14）设向量，若，则 ．
【答案】5
【思路导引】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果．
【解析】由可得，又∵，
∴，即，故答案为：．
13．（2020全国Ⅱ理13）已知单位向量的夹角为45°，与垂直，则__________．
【答案】
【思路导引】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值．
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：，故答案为：．
14．（2020全国Ⅰ理14）设为单位向量，且，则 ．
【答案】
【思路导引】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解．
【解析】∵为单位向量，∴，
∴，解得：，
∴，故答案为：．
15．（2019•新课标Ⅲ，文13）已知向量，，则，　　．
【答案】
【解析】由题知，，，，
，．
16．（2014新课标Ⅰ，理15）已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 ．
【答案】
【解析】∵，∴O为线段BC中点，故BC为的直径，
∴，∴与的夹角为．
17．（2013新课标Ⅰ，理13文13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____．
【答案】2
【解析】=====0，解得=．
18．（2013新课标Ⅱ，理13文14）已知正方形ABC的边长为2，E为CD的中点，则= ．
【答案】2
【解析】===4-2=2．
19．（2011江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，，， 若，则的值为 ．
【答案】
【解析】由题意知，即，即，化简可求得．
20．（2017天津）在中，，，．若，
，且，则的值为___________．
【答案】
【解析】，，则 ==，解得．
21．（2014天津）已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________．
【答案】
【解析】因为，菱形的边长为2，所以．因为，由，所以，解得．
考点52平面向量数量积性质的应用
1．（2020全国Ⅱ文5）已知单位向量的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．
【解析】由已知可得：．
A：∵，∴本选项不符合题意；
B：∵，∴本选项不符合题意；
C：∵，∴本选项不符合题意；
D：∵，∴本选项符合题意．故选D．
2．（2019•新课标Ⅰ，理7文8）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，，故选．
3．（2017•新课标Ⅱ，文4）设非零向量，满足则　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】非零向量，满足，，即，∴，，故选．
4．（2016新课标，理3）已知向量，且，则m=（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D
【解析】由题知a+b=，所以==0，解得，故选D．
5．（2014新课标Ⅱ，理3文4）设向量满足，，则（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 5
【答案】A
【解析】∵，，∴……①，……②．
由①②得：，故选A．
6．(2018北京)设，均为单位向量，则“”是“⊥”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵，∴，∴
，又，∴，∴；反之也成立，故选C．
7．（2016年山东）已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．–
【答案】B
【解析】由可得，即，所以．故选B．
8．(2015重庆)若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，即，所以，，，选A．
9．（2015陕西）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，设向量、的夹角为，∵，∴A选项正确；对于B选项，∵当向量、反向时，，∴B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出，故D选项正确，综上选B．
10．（2015安徽）是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图由题意，，故，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，所以，故选D．

11．(2014山东)已知向量． 若向量的夹角为，则实数（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】由题意得，两边平方化简得，
解得，经检验符合题意．
12．（2014重庆）已知向量，，，且，则实数
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，所以=．解得，选C
13．（2012陕西）设向量=（1，）与=（1，2）垂直，则等于
A． B． C．0 D．－1
【答案】C
【解析】正确的是C．
14．（2012浙江）设，是两个非零向量
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
【答案】C
【解析】 因为，，所以不垂直，A不正确，同理B也不正确；因为，则，所以共线，故存在实数，使得，C正确；若，则，此时，所以D不正确．
15．（2019•新课标Ⅲ，理13）已知，为单位向量，且，若，则，　　．
【答案】
【解析】∵，，
，，．
16．（2017•新课标Ⅰ，理13）已知向量，的夹角为，，，则　　．
【答案】
【解析】向量，的夹角为，且，，
，．
17．（2017•新课标Ⅰ，文13）已知向量，，若向量与垂直，则　　．
【答案】7
【解析】向量，，，向量与垂直，
，解得．
18．（2017•新课标Ⅲ，文13）已知向量，，且，则　　．
【答案】2
【解析】向量，，且，，解得．
19．(2016新课标，理13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= ．
【答案】-2
【解析】由|a+b|2=|a|2+|b|2得，=0，所以，解得．
20．（2016•新课标Ⅰ，文13）设向量，，且，则　　．
【答案】
【解析】，，即，∴．
21．（2012课标，理13）已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||= ．
【答案】．
【解析】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍）
22．（2011新课标，文13）已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直， 则= ．
【答案】1
【解析】∵与为 两个不共线的单位向量，∴||=1，||=1，且与夹角不为0也不为，∴，又∵向量与向量垂直，∴====0，∴=0，∴=1．
23．(2017山东)已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
【答案】
【解析】，
，
，
，解得：．
24．（2015湖北）已知向量，，则 ．
【答案】9
【解析】因为，，所以 ．
25．（2014四川）平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则____________．
【答案】2
【解析1】，因为，，所以，又，所以，即
26．（2013北京）已知向量，夹角为，且，，则 ．
【答案】
【解析】
27．（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），则
（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为____________；
（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为____________．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由，得．设与同向的单位向量为，则且，解得故．即与同向的单位向量的坐标为．
（Ⅱ）由，得．设向量与向量的夹角为，则．
28．（2012安徽）若平面向量，满足：；则的最小值是．
【答案】
【解析】，
∴
29．（2011安徽）已知向量满足，且，，则与的夹角为 ．
【答案】
【解析】设与的夹角为，由题意有，所以，因此，所以．
考点53平面向量的综合应用
1．（2019•新课标Ⅱ，理3）已知，，，则　　
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】，，，，即，则，故选．
2．（2017•新课标Ⅱ，理12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，
设，则，，，则，当，时，取得最小值，故选．

3．（2017•新课标Ⅲ，理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为　　
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【解析】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，
设圆的半径为，，，，，，
圆的方程为，设点的坐标为，，
，，，，，，
，，，其中，∵，∴，故的最大值为3，故选．

4．（2015新课标Ⅰ，理5）已知M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（ ）
（A）（-，） （B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
【答案】A
【解析】由题知，，所以= =，解得，故选A．
5．（2011新课标，理10）已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题
：∈[0，） ：∈(，]
： ∈[0， ） ：∈(，]
其中真命题是
（A）， (B) ， (C) ， (D) ，
【答案】A
【解析】由得，，即＞，即=＞，
∵∈[0，]，∴∈[0，），
由得，，即＜，即=＜，∵∈[0，]，∴∈(，]，故选A．
6．（2016年天津）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，∴，，，
∴，故选B．
7．（2014安徽）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】设，若的表达式中有0个，则，记为，若的表达式中有2个，则，记为，若的表达式中有4个，则，记为，又，所以，，
，∴，故，设的夹角为，
则，即，又，所以．
8．（2014浙江）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
【答案】B
【解析】由于，令，而是任意实数，所以可得的最小值为，
即，则知若确定，则唯一确定．
9．（2013福建）在四边形中，，则该四边形的面积为
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【解析】 因为，所以，所以四边形的面积为，故选C．
10．（2013浙江）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有．则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，设，则，过点作的垂线，垂足为，
在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得，
，，
于是恒成立，相当于恒成立，
整理得恒成立，只需
即可，于是，因此我们得到，即是的中点，故△是等腰三角形，所以．

11．（2013湖南）已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，又设，代入得，又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即．
12．（2013重庆）在平面上，，，．若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为⊥，所以可以A为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设B1(a，0)，B2(0，b)，O(x，y)，则＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1，所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0，由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，即0≤1－x2＋1－y2＜，所以＜x2＋y2≤2，即，所以||的取值范围是，故选D．
13．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，，
． 若点为边上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．

【答案】A
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形中，，，所以，，，设，，所以，，因为，所以，即，解得，即，因为在上，所以，由，得，即，因为，，所以 ==，令，，因为函数在 上单调递减，在上单调递增，所以．所以的最小值为，故选A．

14．(2018浙江)已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】解法一 设为坐标原点，，，，由得，即，所以点的轨迹是以为圆心，l为半径的圆．因为与的夹角为，所以不妨令点在射线()上，如图，数形结合可知．故选A．

解法二 由得．设，，，所以，，所以，取的中点为．则在以为圆心，为直径的圆上，如图，设，作射线，使得，所以 =．故选A．

15．（2017浙江）如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记，，，则

A．