2024高考数学第一轮复习：专题5.3 平面向量的数量积及其应用（原卷版）

这是一份2024高考数学第一轮复习：专题5.3 平面向量的数量积及其应用（原卷版），共10页。试卷主要包含了平面向量数量积的有关概念，平面向量数量积的运算律，平面几何中的向量方法等内容，欢迎下载使用。
5.3   平面向量的数量积及其应用思维导图 知识点总结1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，        叫作向量a与b的夹角.当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b    ；当θ＝90°时，则称a与b   ，记作   .(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量     叫作向量a和b的数量积，记作     ，即a·b＝     .(3)投影向量设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b    ，向量称为向量a在向量b上的     .向量a在向量b上的投影向量为     2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝＝.(3)夹角：cos θ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.[常用结论]1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.  典型例题分析考向一   数量积的计算例1 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)A.－2  B.－1  C.1  D.2    (2)(2023·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝________.    感悟提升　平面向量数量积的两种运算方法：(1)基底法，当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.  考向二  数量积的应用角度1　夹角与垂直例2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)A.－6  B.－5  C.5  D.6  (2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________.   角度2　平面向量的模例3 (2023·华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，则|a|＝________.    感悟提升　1.求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|＝.(2)利用|a|＝.2.求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.考向三 平面向量与三角的结合应用例4 (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　)A.||＝|| B.||＝||C.·＝· D.·＝·   感悟提升　向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.  基础题型训练 一、单选题1．已知两个平面向量的夹角为，且，则等于（   ）A． B．1 C． D．22．已知向量满足，则（    ）A．－2 B．－1 C．0 D．23．已知向量满足，则（    ）A．2 B． C．8 D．4．在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（    ）A．4 B．8 C． D．5．设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（    ）A． B． C． D．6．已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为（   ）A． B． C．6 D．13 二、多选题7．已知单位向量，，则下列式子正确的是（ 　  ）A． B． C． D．8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D． 三、填空题9．已知，，且与的夹角为，则______．10．在边长为4的等边中，，则___________.11．若向量、满足、，且、的夹角为，则______ ．12．如图，正的外接圆半径为，点是劣弧上的一动点，则的最小值为_________． 四、解答题13．已知向量满足，且，求证．14．设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.15．已知，且向量在向量方向上的投影数量为.（1）求与的夹角；（2）求；（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？16．设且，k、t是两个不同时为零的实数.(1)若与垂直，求k关于t的函数关系式；(2)求出函数的最小值.   提升题型训练 一、单选题1．已知，，设与的夹角为，则（    ）A． B． C． D．2．已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角（    ）A． B． C． D．3．已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则（    ）A．2 B．1 C． D．4．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．5．点M在边长为4的正△ABC内（包括边界），满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．6．的外接圆的圆心为，半径为且，则向量在向量方向上的投影为 A． B． C． D． 二、多选题7．边长为1的菱形中，，已知向量满足，则下列结论中正确的有（    ）A．为单位向量 B．C． D．8．已知是的外心，若，则的取值可能是（    ）A． B．-1 C．1 D． 三、填空题9．若向量，，，则与的夹角为___________.10．已知平面向量、的夹角为，且，，则______．11．在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足，则的取值范围是__________．12．在中，，，则边的长度为__． 四、解答题13．已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：(1)；(2)；(3)．14．已知向量、中至少有一个不为零向量，对于、及向量、，求函数取得最小值时的条件．15．已知,,.（1）求与的夹角；（2）求和.16．如图，边长为2的菱形中，，、分别是，的中点，为、的交点，若（1）试用，表示，，；（2）求的值.