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    试卷 中考必会几何模型:角平分线四大模型

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    这是一份试卷 中考必会几何模型:角平分线四大模型,共8页。试卷主要包含了如图等内容,欢迎下载使用。

    角平分线四大模型

    模型1 角平分线的点向两边作垂线

       如图,P是∠MON的平分线上一点,过点PPAOM于点APBON于点B,则PBPA

    模型分析

    利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口

    模型实例

    1)如图①,在△ABC中,∠C90°AD平分∠CABBC6,BD4,那么点D到直线AB的距离是         

    解答:如图,过点DDEAB于点E,∵AD平分∠CAB,CDDE.

    CB6,BD4,DECD2,即点D到直线AB的距离是2.

     

    2)如图②,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AP平分∠BAC

     

    证明:如图,过点PPDAB于点DPEBC于点EPFAC于点F

    ∵∠1=∠2,∴PDPE,∵∠3=∠4, PEPF,∴PDPF

    又∵PDABPFAC,∴AP平分∠BAC(角平分线的判定)

     

     

    练习

    1   如图,在四边形ABCD中,BCABADDC,BD平分∠ABC

    求证:∠BAD+∠BCD180°

       

    证明:作DEBCE,作DFBA的延长线于F,∴∠F=∠DEC90°,

    BD平分∠ABC,DFDE,又∵ADDC,∴△DFADEC,∴∠FAD=∠C

    ∵∠FAD+∠BAD180°,∴∠BAD+∠BCD180°

     

    2.如图,△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P,若∠BPC40°,则∠CAP           .

    解答:如图所示,作PNBDN,作PFBA,交BA延长线于F,作PMACM

    BPCP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线,∴∠ABP=∠CBP,DCP=∠ACP

    PFPNPM,∵∠BAC=∠ACD-∠ABC,∠BPC=∠PCD-∠PBC(外角性质)

    ∴∠BAC2PCD2PBC2(PCD-∠PBC)2BPC80°

    ∴∠CAF180°-∠BAC100°,∵PFPM

    AP是∠FAC的角平分线,∴∠CAP=∠PAF50°

     

     

    模型2  截取构造对称全等

    如图,P是∠MON的平分线上的一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OBOA,连接PB,则△OPB≌△OPA

    模型分析

    利用角平分线图形的对称性,在铁的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边,对应角相等,利用对称 性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧

    模型实例

    1)如图①所示,在△ABC中,AD是△BAC的外角平分线,PAD上异于点A的任意一点,试比较PBPCABAC的大小,并说明理由

    解题:PB+PCAB+AC
    证明:在BA的延长线上取点E, 使AEAB,连接PEAD平分CAE
    ∴∠CADEAD在△AEP与△ACPAEABCADEAD,

    APAP∴△AEP≌△ACP SASPEPC
    PBE中:PB+PEBE,BEAB+AEAB+ACPB+PCAB+AC

     

    2)如图②所示,AD是△ABC的内角平分线,其它条件不变,试比较PCPBACAB的大小,并说明理由

    解答:AC-AB>PC-PB

    证明:ABC, AC上取一点E,使AE=AB AC-AE=AB-AC=BE
    AD平分BAC ∴∠EAP=BAP AEPACP
    ∴△AEP≌△ABP (SAS) PE=PB CPE
    CE>CP-PE AC-AB>PC-PB

     

    练习

    1. 已知,在△ABC中,∠A2B,CD是∠ACB的平分线,AC16,AD8,

    求线段BC的长

    解:如图在BC边上截取CEAC,连结DE,在△ACD和△ECD

    ∴△ACD≌△ECD(SAS)

    ADDE A=∠1 ,∵∠A2B,∴∠12B

    ∵∠1=∠B+∠EDB  ∴∠B=∠EDB

    EBBED EBDA8BCECBEACDA16824

    1. 在△ABC中,ABAC,A108°,BD平分∠ABC

    求证:BCABCD

    证明:在BC上截取BEBA,连结DE,∵BD平分∠ABC,BEAB,BDBD

    ∴△ABD≌△EBD(SAS),∴∠DEB=∠A108°,∴∠DEC180°108°72°

    ABAC,∴∠C=∠ABC(180°108°)36°,∴∠EDC72°

    ∴∠DEC=∠EDC,∴CECD ,∴BECEABCD,∴BCABCD

     

    3.如图所示,在△ABC中,∠A100°,ABC40°,BD是∠ABC的平分线,延长BDE,使DEAD,求证:BCABCE

    证明:在CB上取点F,使得BFAB,连结DF,∵BD平分∠ABCBDBD

    ∴△ABD≌△FBD,∴DFADDE,ADB=∠FDB,∴BD平分∠ABC

    ∴∠ABD20°,则∠ADB180°20°100°60°=∠CDE

    CDF180°-∠ADB-∠FDB60°,∴∠CDF=∠CDE,在△CDE和△CDF

    ∴△CDECDF,∴CECF,∴BCBFFCABCE

     

    模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形

    如图,P是∠MON的平分线上一点,APOPP点,延长APON于点.B,则△AOB是等腰三角形.

    模型分析

    构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一,也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.

    模型实例

    如图.己知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, C£BD.垂足为E.求证:BD=2C£.

    解答:如图,延长CEBA交于点F,CEBDE, BAC=90°,∴∠BAD=CED.

    ∴∠ABD=ACF.又∵AB=AC, BAD=CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF. BD=CF.

    BD平分∠ABC, ∴∠CBE=FBE. BE=BE,∴△BCE≌△BFE.

    CE=EF. BD=2CE.

     

    练习

    1.如图.在△ABC.BE是角平分线.ADBE.垂足为D.求证:∠2=1+C.

     

    证明:延长ADBCF,ADBE, ∴∠ADB=BDF=90°, ∵∠ABD=FBD,

    2=BFD. ∵∠BFD=1+C,∴∠2=1+C.

    2.如图.在△ABC. ABC=3C,AD是∠BAC的平分线, BEAD于点E.

    求证:.

     

     (2)证明:延长BEAC于点F.AD为∠BAC的角平分线,∴∠BAD=CAD.AE=AE,

    ∴∠BAE=FAE,则△AEB≌△AEF,∴AB=AF, BE=EF, 2=3.AC-AB=AC-AF=FC.

    ∵∠ABC=3C,∴∠2+1=3+1=1+C+1=3C.21=2C 

    即∠1=C BF=FO=2BE.

     

    模型4 角平分线+平行线

    模型分析

    有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.

    模型实例

    解答下列问题:

    (1)如图①.ABC中,EFBC,DEF,BDCD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段EFBECF有什么数量关系?

    (2)如图②,BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG. DE//BCAB于点E,AC于点F,线段EFBECF有什么数量关系?并说明理由.

    (3)如图③,BDCD为外角∠CBM、∠BCN的平分线,DE//BCAB延长线于点E.AC延长线于点F,直接写出线段EFBECF有什么数关系? 

     

    解答:(1) EF//BC,∴∠EDB=DBC.BD平分∠EBC,∴∠EBD=DBC=EDB. EB=ED.

    同理:DF=FC. EF=ED+DF=BE+CF.

    (2)图②中有EF=BE=CFBD平分∠BAC,∴∠ABD=DBC.DE//BC、∴∠EDB=DBC.

    DE=EB.同理可证:CF=DF EF=DE-DF=BE-CF.

    (3) EF=BE+CF.

     

     

     

    练习

    1.如图. 在△ABC,ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点EMNBCABM. ACN.BM+CN=9,则线段MN的长为    .

     

    解答:∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,MBE=EBC,∠ECN=ECB.MN//BC,

    ∴∠EBC=MEB, NEC=ECB. ∴∠MBE-MEB, NEO=ECN.BM=ME, EN=CN.

    MN=ME+EN,MN=BM+CN.BM+CN=9,MN=9.

    2. 如图. 在△ABC,AD平分∠BAC.EF分別在BDAD,EFAB.DE=CD,求证:EF=AC.

     

    证明:如图,过点CCMABAD的延长线于点M,ABEF,CMEF.∴∠3=4.

    DE=CD, 5=6, ∴△DEF≌△DCM.EF=CM. AB//CM,∴∠2=4. ∵∠1=2,

    ∴∠1=4.CM=AC.EF=AC

    3.如图.梯形ABCD,ADBC,ECD,AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证:AD=AB-BC.

       

    证明:延长ADBE交于点F.ADBC,∴∠2=F. ∵∠1=2,∴∠1=F.AB=AF.

    AE平分∠BADBE=EF. ∵∠DEF=CEB, ∴△DEF≌△CEB.DF=BC.AD=AF-DF=AB-BC.

     

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