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试卷 中考必会几何模型:角平分线四大模型
展开角平分线四大模型
模型1 角平分线的点向两边作垂线
如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA
模型分析
利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口
模型实例
(1)如图①,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6,BD=4,那么点D到直线AB的距离是
解答:如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵AD平分∠CAB,∴CD=DE.
∵CB=6,BD=4,∴DE=CD=2,即点D到直线AB的距离是2.
(2)如图②,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AP平分∠BAC
证明:如图,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,
∵∠1=∠2,∴PD=PE,∵∠3=∠4, ∴PE=PF,∴PD=PF
又∵PD⊥AB,PF⊥AC,∴AP平分∠BAC(角平分线的判定)
练习
1、 如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC ,
求证:∠BAD+∠BCD=180°
证明:作DE⊥BC于E,作DF⊥BA的延长线于F,∴∠F=∠DEC=90°,
∵BD平分∠ABC,∴DF=DE,又∵AD=DC,∴△DFA≌DEC,∴∠FAD=∠C
∵∠FAD+∠BAD=180°,∴∠BAD+∠BCD=180°
2.如图,△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP= .
解答:如图所示,作PN⊥BD于N,作PF⊥BA,交BA延长线于F,作PM⊥AC于M
∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线,∴∠ABP=∠CBP,∠DCP=∠ACP,
PF=PN=PM,∵∠BAC=∠ACD-∠ABC,∠BPC=∠PCD-∠PBC(外角性质)
∴∠BAC=2∠PCD-2∠PBC=2(∠PCD-∠PBC)=2∠BPC=80°
∴∠CAF=180°-∠BAC=100°,∵PF=PM
∴AP是∠FAC的角平分线,∴∠CAP=∠PAF=50°
模型2 截取构造对称全等
如图,P是∠MON的平分线上的一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB≌△OPA
模型分析
利用角平分线图形的对称性,在铁的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边,对应角相等,利用对称 性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧
模型实例
(1)如图①所示,在△ABC中,AD是△BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由
解题:PB+PC>AB+AC
证明:在BA的延长线上取点E, 使AE=AB,连接PE,∵AD平分∠CAE
∴∠CAD=∠EAD,在△AEP与△ACP中,∵AE=AB,∠CAD=∠EAD,
AP=AP,∴△AEP≌△ACP (SAS),∴PE=PC
∵在△PBE中:PB+PE>BE,BE=AB+AE=AB+AC,∴PB+PC>AB+AC
(2)如图②所示,AD是△ABC的内角平分线,其它条件不变,试比较PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由
解答:AC-AB>PC-PB
证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ,∴AC-AE=AB-AC=BE
∵AD平分∠BAC ,∴∠EAP=∠BAP ,在△AEP和△ACP中
∴△AEP≌△ABP (SAS) ,∴PE=PB ,∵在△CPE中
CE>CP-PE ,∴AC-AB>PC-PB
练习
- 已知,在△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠ACB的平分线,AC=16,AD=8,
求线段BC的长
解:如图在BC边上截取CE=AC,连结DE,在△ACD和△ECD中
∴△ACD≌△ECD(SAS)
∴AD=DE , ∠A=∠1 ,∵∠A=2∠B,∴∠1=2∠B,
∵∠1=∠B+∠EDB , ∴∠B=∠EDB,
∴EBB=ED , ∴EB=DA=8,BC=EC+BE=AC+DA=16+8=24
- 在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC,
求证:BC=AB+CD
证明:在BC上截取BE=BA,连结DE,∵BD平分∠ABC,BE=AB,BD=BD
∴△ABD≌△EBD(SAS),∴∠DEB=∠A=108°,∴∠DEC=180°-108°=72°
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=(180°-108°)=36°,∴∠EDC=72° ,
∴∠DEC=∠EDC,∴CE=CD ,∴BE+CE=AB+CD,∴BC=AB+CD
3.如图所示,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD,求证:BC=AB+CE
证明:在CB上取点F,使得BF=AB,连结DF,∵BD平分∠ABC,BD=BD
∴△ABD≌△FBD,∴DF=AD=DE,∠ADB=∠FDB,∴BD平分∠ABC
∴∠ABD=20°,则∠ADB=180°-20°-100°=60°=∠CDE
∠CDF=180°-∠ADB-∠FDB=60°,∴∠CDF=∠CDE,在△CDE和△CDF中
∴△CDE≌CDF,∴CE=CF,∴BC=BF+FC=AB+CE
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图,P是∠MON的平分线上一点,AP丄OP于P点,延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.
模型实例
如图.己知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, C£丄BD.垂足为E.求证:BD=2C£.
解答:如图,延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°,∴∠BAD=∠CED.
∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.
∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.
∴CE=EF. ∴BD=2CE.
练习
1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证:∠2=∠1+∠C.
证明:延长AD交BC于F,∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠BDF=90°, ∵∠ABD=∠FBD,
∴ ∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.
2.如图.在△ABC中. ∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线, BE丄AD于点E.
求证:.
(2)证明:延长BE交AC于点F.∵AD为∠BAC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE,
∴∠BAE=∠FAE,则△AEB≌△AEF,∴AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC.
∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C
即∠1=∠C ∴BF=FO=2BE.∴
模型4 角平分线+平行线
模型分析
有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.
模型实例
解答下列问题:
(1)如图①.△ABC中,EF∥BC,点D在EF上,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段EF与BE、CF有什么数量关系?
(2)如图②,BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG. DE//BC交AB于点E,交AC于点F,线段EF与BE、CF有什么数量关系?并说明理由.
(3)如图③,BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线,DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系?
解答:(1) ∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC,∴∠EBD=∠DBC=EDB. ∴EB=ED.
同理:DF=FC. ∴EF=ED+DF=BE+CF.
(2)图②中有EF=BE=CF,BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC.
∴DE=EB.同理可证:CF=DF ∴EF=DE-DF=BE-CF.
(3) EF=BE+CF.
练习
1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC于N点.若BM+CN=9,则线段MN的长为 .
解答:∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB.∵MN//BC,
∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN.
∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.
2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD,AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证:EF=AC.
证明:如图,过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4.
∵DE=CD, ∠5=∠6, ∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM. ∵AB//CM,∴∠2=∠4. ∵∠1=∠2,
∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC
3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证:AD=AB-BC.
证明:延长AD、BE交于点F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.
∵AE平分∠BAD∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB, ∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.
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