2020届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末考试数学（理）试题

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

2020届高三元月联考

理 科 数 学 试 题

本试卷共2页，共23题（含选考题）满分150分，考试用时120分钟

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．

3．填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交．

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数满足，则在复平面上对应的点位于

  A．第一象限        B．第二象限         C．第三象限           D．第四象限

2．已知全集，集合，集合，则

A．           B．             C．        D．

3．已知，则  

   A．      B．        C．            D.

4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（    ）盏．

A．2 B．3 C．26 D．27

5．若直线截得圆的弦长为，则的最小值为

A． B． C． D．

6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数的图象大致是

7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到．

A．     B．            C．     D．

8．若向量与的夹角为，，，则＝

A.               B．1               C．4               D．3

9．如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,, 为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A． B． C． D．

10．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是

A． B．  C．  D．

11．是球的直径，、是该球面上两点，，，棱锥的体积为，则球的表面积为

A.      B.         C.          D.

12.关于函数，下列说法正确的是

 （1）是的极小值点；

 （2）函数有且只有1个零点；

  （3）恒成立；

  （4）设函数，若存在区间，使在上的值域是

，则.

    A．(1) (2)           B．(2)(4)           C．(1) (2) (4)             D．(1)(2)(3)(4)

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知曲线，则其在点处的切线方程是      ▲        ．

14．已知是等比数列的前项和，成等差数列，，则   ▲   ．

15．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为    ▲     ．

16．在平面直角坐标系中，双曲线的上支与焦点为的抛物线交于两点．若，则该双曲线的渐近线方程为   ▲    ．

三．解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）

在中，角、、所对的边分别为、、，且，．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，，求及的面积.

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，和都是正三角形，，

E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D.

（Ⅰ）证明：直线⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．

（Ⅰ）写出张先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；

（Ⅱ）若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；

20．（本小题满分12分）

已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数，.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线经过曲线的焦点且与曲线相交于两点，设线段的中点为，求的值.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若成立，求实数的取值范围.

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2020届高三元月联考理科数学参考答案

一、选择题：

二、填空题：

13．         14．1              15．              16.

三．解答题：

17. 解：（Ⅰ），   ，

由正弦定理可得，  …………………………………………………2分

     又，，，………………………………………………4分

     ，， 所以，故. …………………………………6分    （Ⅱ），，由余弦定理可得：

，即…………………………………8分

       解得或（舍去），故. ……………………………………………………10分

所以.  ………………………………………12分

18.解：（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF//AB，

在正三角形PAC中，PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，

∴PE⊥平面ABC，∴且PE⊥AB，又PD⊥AB，PEPD=P，

∴AB⊥平面PED， 又//，

∴，又，，

∴直线⊥平面.…………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，

∴BE⊥平面PAC，…………………………………………………………………………………7分

以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在

的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，

则,,………………8分

,,

设为平面PAB的一个法向量，

则由得

，令，得，即………………………………10分

设二面角的大小为，则,

，

即二面角的正弦值为. …………………………………………………………12分

19． 解法一：（Ⅰ）当时，   ………………………………………………2分

           当时，……………………………4分

得： ………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率………………7分

可取，，，.  

， 

的分布列为

                              …………………………………………………………10分

   …………………………………………12分

或依题意，……………………………………………………12分

20．解：（Ⅰ）由题意可知：， 得，

      故椭圆的标准方程为………………………………………………………………4分

（Ⅱ）设，，将代入椭圆方程，

消去得，

所以，即…………①

由根与系数关系得，则，…………………………………… 6分

所以线段的中点的坐标为．………………………………………………8分

又线段的垂直平分线的方程为，

由点在直线上，得，

即，所以…………②…………………………………………10分

由①②得，

所以，即或，

所以实数的取值范围是．…………………………………………………12分

21．解：（Ⅰ）依题意知函数的定义域为，且  . ……………………1分

（1）当时， ，所以在上单调递增.

（2）当时，由得：， 

则当时；当时.

所以在单调递增，在上单调递减.  ………………………………………3分

综上，当时，在上单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减.…………………………4分

（Ⅱ）不是导函数的零点. 证明如下：

当时，.           

∵，是函数的两个零点，不妨设，

  ，两式相减得：

即： ，  又.…………………………………………6分

则. 

设，∵，∴，

令，. …………………………………………8分

又，∴，∴在上是増 函数，

则，即当时，，从而，

又所以，

故，所以不是导函数的零点.  ……………………………………12分

22．解：（Ⅰ）∵直线的参数方程为（为参数），

∴直线的普通方程为 ……………………………………………………………2分

由，得，即，

∴曲线的直角坐标方程为 ………………………………………………………………4分

（Ⅱ）∵直线经过曲线的焦点

∴，直线的倾斜角．………………………………………………………5分

∴直线的参数方程为（为参数）…………………………………………………7分

代入，得…………………………………………………………………8分

设两点对应的参数为．

∵为线段的中点，∴点对应的参数值为．

又点，则………………………………………………………………10分

23． 证明：(Ⅰ) 

…………………………………………5分

（Ⅱ）由得：，

，  …………………………………………………7分

①当时，不等式无解； 

②当时，不等式，即， ，所以……………9分

综上，实数的取值范围是……………………………………………………………… 10分