2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

这是一份2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题  一、单选题1．设集合,，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】先对集合B化简,再求交集.【详解】解：，所以,故选:A.【点睛】本题考查了集合的化简以及交集运算,属于基础题．2．已知,为第三象限角,则 A． B． C． D．【答案】A【解析】已知等式利用诱导公式化简求出的值,根据为第三象限角,利用同角三角函数间基本关系求出的值,即可确定出的值.【详解】解：,即,为第三象限角,，则，故选:A.【点睛】此题考查了诱导公式和同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键,属于基础题.3．设等差数列的前项和为，若，，则(     )A． B． C． D．【答案】B【解析】先设等差数列的公差为，根据，求出首项和公差，即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得；因此.故选B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，只需依题意求出首项和公差即可，属于基础题型.4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用偶函数和增函数的性质判断即可得出答案．【详解】解：因为A的定义域为不关于原点对称,故不是偶函数,则A错误;因为在单调递减,lnx在单调递增,由复合函数的性质可知,在单调递减,故B错;函数是偶函数,且在单调递增,故C正确;由的图象知在不单调,故D错.故选:C.【点睛】本题考察了常见函数的基本性质,属于基础题.5．函数的图象是(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】由函数解析式,此函数是一个指数型函数,且在指数位置带有绝对值号,先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定符合题意的答案．【详解】解：由,即由解析式可以看出,函数图象先是反比例函数的一部分,接着是直线的一部分,考察四个选项,只有A选项符合题意.故选:A.【点睛】本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的,属于一般难度的题.6．已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（  ）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【解析】首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值.【详解】由 ，可得，进而可得 ， .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.7．己知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,再比较大小,即可得到结论.【详解】解：由题意:对任意,,在上为减函数；函数是偶函数关于y轴对称；,,故选:C.【点睛】本题考查利用函数的基本性质比较大小,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用,属于基础题.8．函数的图象可由的图象如何得到(    )A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式进行化简,结合三角函数的图象变换关系进行判断即可．【详解】解：，，即的图象可由的图象向右平移个单位得到，故选:D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换关系,利用诱导公式进行化简,结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键,属于基础题.9．已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由解析式可得函数的第一部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，而红线与y轴的焦点坐标为1-a，且只需0≤1-a＜1，即 即可故选B。10．下列四个命题：函数的最大值为1；“，”的否定是“”；若为锐角三角形，则有；“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．其中错误的个数是(    )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断.【详解】解：由,得的最大值为,故错误;“,”的否定是“”,故正确;为锐角三角形,,则，在上是增函数,,同理可得，,,故正确;,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴,可得函数在区间内单调递增;若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得,,“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确．其中错误的个数是1.故选:A.【点睛】本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题．11．设m、k为整数，方程在区间内有两个不相等的实数根，则的最小值为(    )A． B． C．3 D．8【答案】C【解析】本题为一元二次方程的实根分布问题,分别讨论和,根据一元二次函数的图象依次根据开口方向,对称轴,判别式,区间端点列出不等式组,得到满足的条件,所求的最小值为线性规划问题，画出满足条件的可行域,数形结合解这个线性规划问题即可．【详解】解：设，要使已知方程在区间内有两个不同的根，即的图象在区间内与x轴有两个不同的交点， 由题意可得：或，即或(经分析此种不情况不存在最小值故舍);化简得,在直角坐标系中作出满足不等式可行域, 可行域阴影部分如图所示,设,则直线经过图中的可行域中的整点时,取得最小值,即．故选:C.【点睛】本题是一元二次方程实根分布问题和线性规划问题的结合,运用数形结合思想,是中档题.12．某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：函数在上单调递减，在上单调递增；点是函数图象的一个对称中心；函数图象关于直线对称；存在常数，使对一切实数x均成立，其中正确命题的个数是(    )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】判断函数的奇偶性,再由导数研究单调性判断正误;找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误;说明不恒成立,判断错误;找出一个常数M,使对一切实数均成立即可.【详解】解：,,当时,,在上单调递增,又，是偶函数,因此在上为减函数,故正确;,,,故点不是函数图象的一个对称中心,故错误；,,若，则恒成立即,不满足对任意恒成立,函数图象不关于直线对称,故错误；取即可说明结论是正确的，故正确．正确命题的个数是2．故选:B.【点睛】本题考查三角函数的基本性质,考查函数的对称性与最值,训练了利用导数研究函数的单调性,是中档题.  二、填空题13．已知函数是幂函数，且是上的减函数，则m的值为______．【答案】2【解析】根据函数是幂函数列方程求得m的值，再讨论是否满足是上的减函数．【详解】解：函数是幂函数,则,即,解得或;当时,,函数是上的减函数,满足题意;当时,,函数不是上的减函数,不满足题意;所以的值为2．故答案为:2．【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,属于基础题．14．已知定义在R上的奇函数满足：当时，，则______．【答案】2【解析】利用函数的性质以及奇函数的定义,逐层从里面脱括号即可得到答案．【详解】解：因为在R上的奇函数,当时,，,,;所以答案为:2．【点睛】本题考查了函数的奇函数性质,属于基础题．15．设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.【详解】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.，即函数在上的最小值为-1.函数为直线，当时，，显然不符合题意；当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.故实数m的取值范围是.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.16．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则______．【答案】1【解析】本题先要根据题意画出图象,找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数的图象相切点,然后代入运算，即可得到结果．【详解】解：由题意画出图象如下：根据题意,很明显,在D点处，直线与函数的图象相切，D点即为切点．则由在点D处,，而，且，．．故答案为:1．【点睛】本题主要考查数形结合法的具体应用,以及直线与曲线相切的概念,并运用导数进行计算和三角函数计算的能力．本题属中档题．17．命题p：实数a满足：的定义域为R；命题q：函数在上单调递减；如果命题为真命题，为假命题，求实数a的取值范围．【答案】【解析】根据命题为真命题,为假命题,则一真一假.先得出的等价不等式，然后分真假和假真两种情况讨论，得出结果即可．【详解】解：命题为真命题，为假命题；一真一假．命题：实数a满足：的定义域为R；则恒成立，即，；故：;命题：函数在上单调递减;；,故：;若真假，则，解得；若假真，则，解得；综上所述，实数的取值范围是．【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式恒成立问题,考查了等价转化方法、复合命题的真假判断方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 三、解答题18．已知函数．求在区间上的最大值和最小值；若，求的值．【答案】（1），；（2）【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．由x的范围求得相位的范围，则函数最值可求；由已知求得，再由诱导公式及倍角公式求的值．【详解】解：,．,,,则，；由,得,．．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．19．已知数列是递增的等差数列，，是方程的根．求数列的通项公式；求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】由二次方程的解法可得，，由等差数列的通项公式可得首项和公差，进而得到所求通项公式；求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】解：数列是递增的等差数列,设公差为,，是方程的根,可得,,则,,解得,,则;(2)由(1)得所以,则则前n项和．【点睛】本题考查等差数列的通项公式,数列的裂项相消求和,考查化简运算能力,属于一般难度的题．20．中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本万元，当年产量不足60台时，万元；当年产量不小于60台时，万元若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．求年利润万元关于年产量台的函数关系式；当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】（1）（2）当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元【解析】根据条件，利润为分段函数，分别表示即可；分别求出各段上利润y的最大值，利用二次函数最值和基本不等式求最值方法即可．【详解】解：设利润为y万元,由题得,当时,;当时,,则;由得，当时，，所以时y取最大值为1100万元；当时，有，当且仅当时即时取等，此时y最大值为1300万元，综上：当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元．【点睛】本题考查实际问题中分段函数的应用，涉及二次函数求最值、基本不等式求最值等知识点，属于中档题．21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求A和B的大小；若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．【答案】（1），（2）【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小．利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值．【详解】解：，由正弦定理得：，，，可得，即;,,由．由余弦定理可得：，，．如图所示:设，,在中由正弦定理,得,由可知,,所以:,同理,由于,故，此时．故的面积的最小值为．【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知函数．当时，求函数的最小值；若时，，求实数a的取值范围．【答案】（1）最小值为1（2）【解析】当时,代入解析式,求导判断函数的单调性,求出的最小值即可．若时,,即,构造函数,讨论的单调性,求出使得的最小值大于等于零的的取值范围即可．【详解】解:当时,函数的解析式为,则:, 时恒成立,函数在上单调递增;时,则函数在区间单调递减，函数的最小值为：．若时，，即令，则；令，则；函数在区间上单调递增，．若，则，即，函数在区间上单调递增，．式成立．若，则．．故，使得．则当时，．即．函数在区间上单调递减；，即式不恒成立．综上所述：实数a的取值范围是．【点睛】本题考查了函数的单调性与最值，渗透了构造函数思想，转化思想，及分类讨论的思想方法，属于难题．