2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题（解析版）

2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解出集合、，然后利用交集的定义可计算出集合.

【详解】

由得，即，，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.

2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

【答案】B

【解析】利用复数的除法将复数表示为一般形式，可得出复数，即可判断出复数在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】

因为，所以，.

所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数乘方以及除法的计算，同时也考查了共轭复数以及复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.

3．执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果.

【详解】

该程序的运行过程为：，，，继续循环；，，，继续循环；，，，继续循环；，，，继续循环；，，，跳出循环，输出.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

4．已知等差数列的公差不为0，，且是与的等比中项，则的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，可知，由题意得出，求出的值，可求出和的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列的前项和.

【详解】

设等差数列的公差为，由已知得，解得.所以，，

所以的前项和.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列和的计算，涉及了等差数列求和公式以及等差数列中基本量的计算，考查运算求解能力，属于中等题.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用诱导公式得出，然后利用二倍角的余弦公式可计算出的值.

【详解】

因为，所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

6．若方程有实根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用参变量分离法得出，令，可得出实数的取值范围即为函数的值域，利用二次函数的基本性质求解即可.

【详解】

方程即，

则，设.

，的值域为.

原方程有实根，实数的取值范围为.

故选：D.

【点睛】

本题考查三角方程根的问题，利用换元法转化为二次方程在区间上有根是解题的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.

7．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.

【详解】

由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥，且正方体的棱长为.

如图，底面三角形的面积为，高（点到平面的距离）为，

所以该几何体的体积.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.

8．已知数列是递增的等比数列，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设等比数列公比为，由题意列出关于和的方程组，解出即可.

【详解】

设的公比为，则，由题意得，所以，得，

解得.

因为是递增的等比数列，所以.

因为，所以，所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出有关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.

9．如图所示，是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆的半径为，利用几何关系得出正三角形的高为，然后利用锐角三角函数计算出，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率.

【详解】

如图所示，取边的中线，则三个圆心都在线段上，

设最上面的圆的圆心为，圆与的切点为，

易知，所以.

设圆的半径，，则，所以.所以，而阴影部分的面积为，

所以所求的概率.

故选：B.

【点睛】

本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.

10．已知三棱锥内接于球，，，平面，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先得出为等边三角形，设其中心为，可得知，由正弦定理求出，利用公式可计算出球的半径，然后利用球体的表面积公式可计算出球的表面积.

【详解】

如图，因为，，所以是等边三角形，设其中心为，则平面，因为平面，所以.

由正弦定理得，则，

所以外接球的半径，球的表面积为.

故选：C.

【点睛】

本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.

11．如图所示，在直角坐标系中，和都是等腰直角三角形，，且.若点和点都在抛物线上，则与的面积的比值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，，可得，，再将点、代入抛物线的方程，可得出的值，由此可得出与的面积的比值为，即可得出答案.

【详解】

设，，则点，，

代入抛物线的方程，得，

整理得，解得（负值舍去），故.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

12．设函数是函数的导函数，当时，，则函数的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】构造函数，可得出，利用导数研究函数的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数无零点，从而得出函数的零点个数.

【详解】

设，则.

当时，，

当时，，故，所以，函数在上单调递减；

当时，，故，所以，函数在上单调递增.

所以，所以，函数没有零点，

故也没有零点.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题

13．已知向量，，，则向量与的夹角______.

【答案】

【解析】计算出的值，利用平面向量数量积的定义计算出的值，结合角的取值范围可求出的值.

【详解】

因为，所以，因为，，所以.因为，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.

14．已知双曲线的渐近线方程为，点到右焦点的距离为，则的方程为______.

【答案】

【解析】设双曲线的半焦距为，由求出的值，由双曲线的渐近线方程得出，可求出离心率的值，可计算出、的值，从而得出双曲线的方程.

【详解】

设双曲线的半焦距为，因为点到右焦点的距离为，所以，解得或（舍去）.因为，所以，所以，，所以双曲线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程的求解，同时也涉及了双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中等题.

15．已知函数满足，且在区间上单调递减，则的值为______.

【答案】或

【解析】先由，结合的范围，求出，再由，得出或，可得出或，其中，再由区间的长度不超过半个周期得出的范围，可确定出的可能取值，再结合条件“函数在区间上单调递减”进行检验，可得出的值.

【详解】

因为，所以，因为，所以.

由，得，所以或，所以或，其中.因为，所以，得，

故的可能取值为、、和，

当时，，当时，，

此时，函数在上单调递增，不合乎题意；

同理可知，满足在上单调递减的只有和.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查利用正弦型函数的单调性求参数，在计算出参数的可能值之后，还应将参数的值代入进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

16．设函数，，若，使得，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据题意得出，求出函数在区间上的值域，利用导数求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式，解出即可.

【详解】

，当时，有.

因为，所以，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

，所以当时，.

若，则，.

根据题意可知，解得；

若，则，，不符合条件.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数不等式恒成立与能成立的综合问题，解题的关键就是将问题转化为函数最值相关的不等式来求解，同时也涉及了利用导数求函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

17．设数列的前项和为，，，.

（1）求；

（2）数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意得出，可得出当时，，再由求出的值，即可求出的表达式；

（2）求出数列的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列、等比数列的求和公式求出.

【详解】

（1）由题意得时，，所以.

又，得，

所以；

（2）由（1）知，

所以.

【点睛】

本题考查利用求，同时也考查了分组求和法对数列进行求和，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

18．已知的内角、、的对边分别为、、，，，.

（1）求角；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值；

（2）由正弦定理可计算出的值，利用两角和的正弦定理计算出的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.

【详解】

（1）由正弦定理可得，

所以，即.

因为，所以，

，则，故.

因为，所以；

（2）根据正弦定理有，所以.

因为，所以，所以，

所以.

所以的面积.

【点睛】

本题考查利用正弦定理边角互化思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.

19．在直四棱柱中，底面是菱形，，，、分别是线段、的中点.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）连接，交于点，利用菱形对角线的性质得出，由直棱柱的性质得出平面，可得出，由直线与平面垂直的判定定理可证明出平面，由此可证明出；

（2）以为坐标原点，，分别为，轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【详解】

（1）连接，交于点.

因为四边形是菱形，所以.

因为四棱柱是直四棱柱，所以平面.

因为平面，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以；

（2）由（1）知，以为坐标原点，，分别为，轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系.

因为，所以，因为底面四边形为菱形，且，

所以，，又因为、分别是线段、的中点，

所以，，，

所以，.

设平面的一个法向量为，则.

令，得.

易知为平面的一个法向量.

设平面与平面所成的锐二面角为，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量来计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

20．某社区名居民参加年国庆活动，他们的年龄在岁至岁之间，将年龄按、、、、分组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求的值，并求该社区参加年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；

（2）现从年龄在、的人员中按分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，用表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求的分布列和数学期望；

（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地岁至岁之间的市民中抽取名进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为，当最大时，求的值.

【答案】（1），平均年龄；（2）分布列见解析，；（3）.

【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为，求出的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区年国庆活动的居民的平均年龄；

（2）先根据分层抽样得知，所抽取的人中，年龄在的抽取人、年龄在的抽取人，可得出随机变量的可能取值为、、，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量分别取、、时的概率，列出随机变量的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量的数学期望；

（3）设年龄在的人数为，可知，利用独立重复试验的概率公式得出，分析出数列的单调性，可求出的最大值及对应的的值.

【详解】

（1）由频率分布直方图知，解得，

所以该社区参加年国庆活动的居民的平均年龄为

；

（2）年龄在的人数为，年龄在的人数为.

根据分层抽样，可知年龄在的抽取人、年龄在的抽取人.

所以的可能取值为0，1，2，且，，，

所以的分布列为

所以；

（3）由题可知年龄在内的频率为.

设年龄在的人数为，所以.

.

设，

由得，此时；由得，此时.

所以当时，最大.

【点睛】

本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

21．已知椭圆的长轴长与焦距分别为方程的两个实数根.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线过点且与椭圆相交于，两点，是椭圆的左焦点，当面积最大时，求直线的斜率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设椭圆的焦距为，解方程，可求出、的值，进而求出的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的标准方程联立，列出韦达定理，求出的面积关于的表达式，换元，利用基本不等式求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出直线的斜率.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为，由可得，，

所以，，即，.所以，

故椭圆的标准方程为；

（2）设直线的方程为，设、，

与椭圆方程联立得，消去得.

则，所以.

由根与系数的关系知，，

所以.①

令，则①式可化为.

当且仅当，即时，等号成立.

此时，所以直线的斜率为.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求最值时，一般利用基本不等式或函数单调性求解，考查运算求解能力，属于中等题.

22．已知，函数.

（1）若，证明：当时，；

（2）若是的极小值点，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）将代入函数的解析式，得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值为，从而可证明出所证不等式成立；

（2）分、和三种情况讨论，分析函数的导函数在附近符号的变化，结合条件“是的极小值点”，可得出实数的取值范围.

【详解】

（1）若，.

设函数，则.

当时，，当时，，

所以，函数在上单调递增，在上单调递减.

所以在上，.

又因为当时，，所以当时，；

（2）（i）若，由（1）可知当时，，这与是的极小值点矛盾.

（ii）若，对于方程，因为，且，

故方程有两个实根、，且满足.

当时，，

结合（1），可得.

这与是的极小值点矛盾.

（iii）若，设函数.

由于当时，，故与符号相同.

又，所以是的极小值点等价于是的极小值点.

.

由得，或.

如果，则当时，，当且时，，所以不是的极小值点.

如果，则当时，，所以不是的极小值点.

如果，则当时，，当时，，所以是的极小值点，从而是的极小值点，此时.

综上所述，的取值范围是.

【点睛】

本题利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中等题.