2020届吉林省长春六中、八中、十一中等省重点中学高三12月联考数学（理）试题（解析版）

2020届吉林省长春六中、八中、十一中等省重点中学高三12月联考数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先解不等式求出集合M和N,再根据交集的运算求出.

【详解】

解:∵,,

∴.

故选:.

【点睛】

本题考查了交集的运算,指数不等式和一元二次不等式的解法,属基础题.

2．若实数，满足，，则的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先求出-2b的范围,再根据不等式的性质求出a-2b的范围.

【详解】

解:∵,∴,∴.

又∵,∴,

∴的取值范围(-2,3).

故选:A.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质,属基础题.

3．若，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据,利用不等式的性质和取特殊值可得正确选项.

【详解】

解:∵,∴,∴B正确,A错误;

取,,则,故CD错误.

故选:B.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质,属基础题.

4．关于“，则，至少有一个等于”及其逆命题的说法正确的是（     ）

A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真

C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题

【答案】D

【解析】通过举反例,可说明原命题和其逆命题都是假命题.

【详解】

解:若,,则,故原命题为假;

若,,则,故其逆命题为假.

故选:D.

【点睛】

本题考查了命题真假的判断,关键是根据条件举出反例,属基础题.

5．若数列中的项按一定规律变化，则实数最有可能的值是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据数列前几项可知,数列满足从第二项起,每一项与其前一项的差都为3,从而得到x的可能值.

【详解】

解:根据数列可知,从第二项起,每一项与前一项的差等于,

∴.

故选:C.

【点睛】

本题考查了归纳推理和等差数列的定义,属基础题.

6．已知平面向量，，若，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据可得,然后根据商数关系求出的值.

【详解】

解:∵,∴,

∴,∴.

故选:A.

【点睛】

本题考查了向量平行和商数关系,属基础题.

7．若实数，满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由,利用均值不等,可求出的最小值.

【详解】

解:∵,∴由,

得,当且仅当时等号成立,

∴的最小值是.

故选:.

【点睛】

本题考查了利用均值不等式求最值,考查了转化思想,属基础题.

8．若实数，满足不等式组，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据约束条件,画出可行域,然后求出的最大值,即可得到的最大值.

【详解】

解:,不等式组,∴表示的平面区域如下图所示:

令,则,据图可知,当,时,取得最大值,

即,∴,

∴.

故选:.

【点睛】

本题考查了利用线性规划求最值,考查了转化思想和数形结合思想,属基础题.

9．已知二次函数满足，若在区间上单调递减，且恒成立，则实数的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设,根据可得,再根据在区间上单调递减,可知,进一步求出恒成立时,m的取值范围.

【详解】

解:设,

∵,∴,

∴,∴,∴.

又∵在区间上单调递减,∴,

∴是以为对称轴,开口向下的二次函数,

∴由恒成立,得,

∴实数的取值范围[0,6].

故选:.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质和不等式恒成立问题,属基础题.

10．已知数列的前项和，则数列的前项和满足（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先根据,求出数列的通项公式,然后利用错位相减法求出的前n项和.

【详解】

解:∵,∴当时,;

当时,,

又当时,符合上式,∴,

∴,

∴①,

∴②,

①-②,得

,

∴,

∴数列的前项和.

故选:A.

【点睛】

本题考查了根据数列的前n项和求通项公式和错位相减法求数列的前n项和,考查了计算能力,属中档题.

11．函数的图像大致为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对f(x)求导,判断其单调性,然后结合时,,时,选出正确答案.

【详解】

解:由,得,

令,则,∴当x<0或时,;当时,,

∴在和上单调递减,在上单调递增,

又当时,;当时,,且.

故选:.

【点睛】

本题考查了根据函数的解析式确定函数的图象和利用导数研究函数的单调性,考查了数形结合思想,属中档题.

12．下列表述正确的是（    ）

①；

②若，则；

③若，，均是正数，且，，则的值是；

④若正实数，满足，且，则，均为定值

A．①②③ B．②④ C．②③ D．②③④

【答案】D

【解析】利用基本不等式和不等式的基本性质分别判断各项即可.

【详解】

解:①当时,,则,

当且仅当,即时取等号,故.

∵,∴当时,,故①不正确;

②若,则,则,故②正确;

③令,则,,,

∴,∴,∴.

∵,,,∴且,∴.

设,则,

又∵,∴,故③正确;

④,∵,,∴.

∵,∴,又,∴,

解方程组,得,故④正确.

故选:.

【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值和不等式的基本性质,考查了转化思想和方程思想,属中档题.

二、填空题

13．若数列满足，，则__________．

【答案】3

【解析】根据可得,从而得到.

【详解】

解:∵,∴,

∴,∴,

∴,又,

∴.

故答案为:3.

【点睛】

本题考查了利用递推公式求数列中某一项的值,属基础题.

14．若函数，则不等式的解集是__________．

【答案】

【解析】根据,分和两种情况解不等式即可.

【详解】

解:当时,由,得,∴;

当时,由,得,∴,

综上,不等式的解集为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了不等式的解法,考查了分类讨论思想,属基础题.

15．已知函数满足，若，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】根据知,f(x)的周期为10,从而得到,再根据,解出不等式即可.

【详解】

解:∵,∴f(x)的周期为10,又,

∴,

∴由不等式,得,∴,

∴不等式的解集为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了函数的周期性和对数不等式的解法,考查了转化思想,属基础题.

16．已知以区间上的整数为分子，以为分母的数组成集合，其所有元素的和为；以区间上的整数为分子，以为分母组成不属于集合的数组成集合，其所有元素的和为；……依此类推以区间上的整数为分子，以为分母组成不属于，…的数组成集合，其所有元素的和为，若数列前项和为，则__________．

【答案】

【解析】根据题意可得,从而得到,然后求出-即可.

【详解】

解:据题意,得,,

,

…,

,

∴,

∴,

∴.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了数列前n项和的求法和归纳推理,考查了计算和推理能力,属中档题.

三、解答题

17．已知函数.

（1）若当时，函数的值域为，求实数，的值；

（2）在（1）条件下，求函数图像的对称中心.

【答案】（1），；（2）

【解析】(1)根据求出f(x)值域,再结合的值域为得到关于a,b的不等式,然后求出a,b即可;

(2)根据(1)求出f(x)的解析式,再根据正弦函数的对称中心,利用整体法求出f(x)的对称中心.

【详解】

解:(1)∵,∴,∴,

又∵,∴,

∴,

∵函数的值域为,∴,,

∴,.

(2)由(1)知,,

令,则,

∴在(1)条件下,函数图像的对称中心为.

【点睛】

本题考查了三角函数的值域和三角函数对称中心的求法,考查了整体思想和方程思想,属中档题.

18．已知函数

（1）若函数的值域为，求实数的值；

（2）若对任意的成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）1；（2）

【解析】(1)根据函数的值域为,可得,从而求出a的值;

(2)对任意的成立等价于对任意的成立,因此只需,然后求出的最小值即可得到a的范围.

【详解】

解:(1)∵函数的值域为,

∴,∴.

(2)∵对任意的成立,

∴对任意的成立,

∴对任意的成立,∴只需.

∵当时,,

∴.

∴实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查了根据函数的值域求参数的值和不等式恒成立问题,考查了转化思想和计算能力,属中档题.

19．已知各项均为正数的等比数列的首项为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)根据数列的首项为,且,可得关于和公比的不等式组,解出和可得数列的通项公式;

(2)根据条件分别利用等比数列和等差数列的前n项和公式,求出的前项和为,的前n项和,再用列项相消法求出,然后比较与的大小即可.

【详解】

解:(1)由题意,设,则,

解得或(舍),

∴,即.

(2)由(1)知,∴.

∵,∴,

∴,

∴,

又∵,,

∴.

【点睛】

本题考查了数列通项公式的求法,等差数列的前n项和公式,等比数列的前n项和公式和裂项相消法求数列的前n项和,考查了方程思想和计算能力,属中档题.

20．已知在中，角，，的对边分别是，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值。

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)根据,利用正弦定理将边化为角,进一步求出角;

(2)根据条件由余弦定理,可得,再结合,求出bc的范围,进一步求出面积的最大值.

【详解】

解:(1)∵,∴,

又∵,∴,

∴,∴,

∵,∴,

又,∴

(2)由(1)知,,

∵,∴由余弦定理,有,∴.

∵, ∴,

∴,当且仅当时等号成立,

∴,

∴三角形的面积的最大值为.

【点睛】

本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式和均值不等式,考查了转化思想和计算能力,属中档题.

21．已知等差数列的所有项和为，且该数列前项和为，最后项的和为.

（1）求数列的项数；

（2）求的值.

【答案】（1）50；（2）30

【解析】(1)根据条件结合等差数列的性质可得,再根据的所有项和为,即可求出项数n的值;

(2)根据(1)求出的首项和公差d,然后将用和d表示,再求出其值.

【详解】

解:(1)由题意,得,,

∴,

根据等差数列性质,可知,

∴,∴,

又的所有项和为,∴,

∴,即数列的项数为.

(2)由(1)知,,即,∴,

∴

.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质和前n项和公式,考查了转化思想和方程思想,属基中档题.

22．已知函数.

（1）求函数在区间上的最值；

（2）求证：且.

【答案】（1），；（2）见解析

【解析】(1)对f(x)求导,然后判断f(x)的单调性,再求出f(x)在区间上的最值即可;

(2)根据(1)可得,然后令,可得,再利用放缩法证明不等式成立即可.

【详解】

解:(1)∵,∴,

令,得;令,得,

∴在上单调递减,在上单调递增,

∴在上单调递减,在上单调递增,

∴当时,,

又,,

∴,

∴,∴当时,,

∴在区间上的最小值为2,最大值为.

(2)由(1)知,,∴,当且仅当时等号成立,

∴,当且仅当时等号成立,即.

令,得,

∴,,,…,,

∴

即且

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和利用放缩法证明不等式,考查转化思想和推理能力,属难题.