高中数学人教版新课标A选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式当堂检测题

 www.ks5u.com第一讲  不等式和绝对值不等式

1.1  不等式

1.1.3  三个正数的算术—几何平均不等式

A级　基础巩固

一、选择题

1．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　)

A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4

解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3 ＝3 ＝3＝3，当且仅当xy＝x2，即x＝1时，等号成立．

答案：C

2．若a＞b＞0，则a＋的最小值为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

解析：因为a＋＝(a－b)＋b＋≥

3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，

所以a＋的最小值为3.

答案：D

3．设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg x＋lg z的取值范围是(　　)

A．(－∞，lg 6]   B．(－∞，3lg 2]

C．lg 6，＋∞)   D．3lg 2，＋∞)

解析：因为lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，

而xyz≤＝23，

所以lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．

答案：B

4．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(　　)

A．3  B．2  C．12  D． 12

解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝12.

当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．

答案：C

5．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：当logxy＝－2，得x－2＝y，即x2y＝1，且x＞0，y＞0，

x＋y＝x＋x＋y≥3  ＝.

当且仅当x＝y时等号成立．

答案：A

二、填空题

6．已知正数a，b满足ab2＝1，则a＋b的最小值是________．

解析：因为a，b是正数，ab2＝1，

所以a＋b＝a＋＋≥3  ＝.

故a＋b的最小值是，

当且仅当即时取到最小值．

答案：

7．函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值是________．

解析：f(x)＝×4x(5－2x)(5－2x)≤

＝，

当且仅当4x＝5－2x，即x＝时，等号成立．

故函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值为.

答案：

8．设x，y，z＞0且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值是_________．

解析：因为6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，

所以x2y3z≤1，当且仅当＝y＝4z，

即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．

所以x2y3z取得最大值1.

答案：1

三、解答题

9．θ为锐角，求y＝sin θ·cos2θ的最大值．

解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤＝.

当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin θ＝时取等号．

所以ymax＝.

10．已知a，b，c为正数，求证：

(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.

证明：因为a，b，c为正数，

所以a＋b＋c≥3，a2＋b2＋c2≥3

所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥3·3＝9.

所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc，

当且仅当a＝b＝c时等号成立．

B级　能力提升

1．若数列{an}的通项公式是an＝，则该数列中的最大项是(　　)

A．第4项   B．第6项

C．第7项   D．第8项

解析：an＝＝＝

因为n2＋＋≥3  ＝48，

当且仅当n2＝，即n＝4时，等号成立，

所以an≤，该数列的最大项是第4项．

答案：A

2．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为__________，最小值为________．

解析：因为y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8＝8×＝，

所以y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tan x＝±时取等号．

所以ymax＝，ymin＝－.

答案：　－

3．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥，如图所示．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

解：设OO1为x m，则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为＝，于是底面正六边形的面积为6××()2＝(8＋2x－x2)，

帐篷的体积为V(x)＝(8＋2x－x2)·＝(4－x)(x＋2)(x＋2)＝(8－2x)(x＋2)(x＋2)≤＝16.

当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．

即当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时帐篷的体积最大．