2020-2021学年第二讲 直线与圆的位置关系二 圆内接四边形的性质与判定定理巩固练习

学业分层测评(七)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．如图2­2­13，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于(　　)

图2­2­13

A．120°　　 B．136°

C．144° D．150°

【解析】　设∠BCD＝3x，∠ECD＝2x，

∴5x＝180°，∴x＝36°，

即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°，

∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°.

【答案】　C

2．如图2­2­14，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为(　　)

图2­2­14

A．30° B．45°　　　

C．50°　　　 D．60°

【解析】　连接OA，OB，

∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，

∴∠BCA＝∠AOB＝30°，

∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.

【答案】　C

3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　)

A．4∶2∶3∶1   B．4∶3∶1∶2

C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对

【解析】　由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．

【答案】　B

4．如图2­2­15，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于(　　)

图2­2­15

A.a   B.a

C.a D.a

【解析】　∵AC为BD的垂直平分线，

∴AB＝AD＝a，AC⊥BD.

∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，

∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，

∴∠CDB＝30°，

∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan 30°·AD＝a.

【答案】　A

5．如图2­2­16所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为(　　)

【导学号：07370035】

图2­2­16

A．4   B．3

C．2 D．1

【解析】　利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4对．

【答案】　A

二、填空题

6．如图2­2­17，以AB＝4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB＝60°，则EF＝________.

图2­2­17

【解析】　如图，连接AE.

∵AB为圆的直径，

∴∠AEB＝∠AEC＝90°.

∵∠ACB＝60°，

∴∠CAE＝30°，

∴CE＝AC.

∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B，

∴△CFE∽△CBA，

∴＝，

∵AB＝4，CE＝AC，∴EF＝2.

【答案】　2

7．四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，＝40°，则∠D＝__________.

【解析】　如图，连接AC.∵＝40°.BC是⊙O的直径，

∴∠ACB＝20°，∠BAC＝90°，

∴∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝70°，

∴∠D＝180°－∠B＝110°.

【答案】　110°

8．如图2­2­18，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为________．

图2­2­18

【解析】　由于∠PBC＝∠PDA，∠P＝∠P，

则△PAD∽△PCB ，∴＝＝.

又＝，＝，∴×＝×，

∴×＝，∴×＝，

∴＝.

【答案】　

三、解答题

9．如图2­2­19，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.

图2­2­19

(1)证明：CD∥AB；

(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．

【证明】　(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，

所以∠EDC＝∠EBA，

故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥A B.

(2)由(1)知，AE＝BE，∠EDF＝∠ECG，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.

连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.

又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，

所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°.

故A，B，G，F四点共圆．

10．如图2­2­20，已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点，通过P作正方形的边的垂线，垂足分别为E，F，G，H.你能判断出E，F，G，H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．

【导学号：07370036】

图2­2­20

【解】　猜想：E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上．证明如下：

如图，连接OE，OF，OG，OH.

在△OBE，△OBF，△OCG，△OAH中，

OB＝OC＝OA.

∵PEBF为正方形，

∴BE＝BF＝CG＝AH，

∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°.

∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.

∴OE＝OF＝OG＝OH.

由圆的定义可知：E，F，G，H在以O为圆心的圆上．

[能力提升]

1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有(　　)

①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；

②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；

③∠A的外角与∠C的外角互补；

④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.

A．1个　　　　 B．2个

C．3个 D．4个

【解析】　由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．

【答案】　B

2．如图2­2­21，以△ABC的一边AB为直径的圆交AC边于D，交BC边于E，连接DE，BD与AE交于点F.则sin∠CAE的值为(　　)

图2­2­21

A.　　　　 B.

C. D.

【解析】　根据圆周角定理，易得∠AEB＝90°，进而可得∠AEC＝90°.

在Rt△AEC中，由锐角三角函数的定义，可得sin∠CAE＝，由圆内接四边形的性质，可得∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，可得△CDE∽△CBA，则有＝，故有sin∠CAE＝.

【答案】　D

3．如图2­2­22，AB＝10 cm，BC＝8 cm，CD平分∠ACB，则AC＝__________，BD＝__________.

图2­2­22

【解析】　∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.

在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，

∴AC＝＝6.

又∵CD平分∠ACB，

即∠ACD＝∠BCD，

∴AD＝BD，

∴BD＝＝5.

【答案】　6　5

4.如图2­2­23，锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．

图2­2­23

(1)求证：四点A，I，H，E共圆；

(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．

【解】　(1)证明：由圆I与边AC相切于点E，

得IE⊥AE，

结合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°.

所以四点A，I，H，E共圆．

(2)由(1)知四点A，I，H，E共圆，得∠IEH＝∠HAI.

在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝∠B＋∠A＝(∠B＋∠A)

＝(180°－∠C)＝90°－∠C.

结合IH⊥AH，得∠HAI＝90°－∠HIA＝∠C，

所以∠IEH＝∠C.

由∠C＝50°，得∠IEH＝25°.