高中数学人教版新课标A选修1-21.2独立性检验的基本思想及其初步应用达标测试

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课时提升作业(二)

　独立性检验的基本思想及其初步应用

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.(2015·大连高二检测)在一项学生近视情况的调查中,某校男生150名中有80名近视,女生140名中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力　(　　)

A.平均数与方差     B.回归分析     C.独立性检验     D.概率

【解析】选C.判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验.

2.对于班级与成绩2×2列联表如表所示:

表中数据m,n,p,q的值应分别为　(　　)

A.70,73,45,188             B.17,73,45,90

C.73,17,45,90             D.17,73,45,45

【解析】选B.m=7+10=17,n=35+38=73,p=7+38=45,q=m+n=90.

3.利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时,通过查阅临界值表来确定推断“X与Y有关系”的可信度,如果k>5.024,那么就推断“X和Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过　(　　)

A.0.25     B.0.75       C.0.025     D.0.975

【解析】选C.因为P(k>5.024)=0.025,故在犯错误的概率不超过0.025的条件下,认为“X和Y有关系”.

4.下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图中可以看出　(　　)

A.性别与喜欢理科无关

B.女生中喜欢理科的百分比为80%

C.男生比女生喜欢理科的可能性大些

D.男生不喜欢理科的百分比为60%

【解析】选C.本题考查学生的识图能力,从图中可以分析,男生喜欢理科的可能性比女生大一些.

二、填空题(每小题4分,共8分)

5.(2015·广安高二检测)某校在高二文理分科时,对学生数学成绩是否优秀和所选科类进行了调查,具体数据如下:

根据上述数据,如果判断“科类与数学是否优秀有关系”,那么这种判断出错的概率为　　　　　.

【解析】由于k=≈4.844>3.841,因此这种判断出错的概率约为0.05.

答案:0.05

6.为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系,现随机抽取50名学生,得到2×2列联表:

则在犯错误的概率不超过　　　　的前提下认为“喜欢足球与性别有关”.

【解析】因为根据表中数据,得到K2的观测值k=≈8.333≥7.879.

由于P(K2≥7.879)≈0.005,

所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢足球与性别有关”.

答案:0.005

三、解答题(每小题8分,共16分)

7.(2015·菏泽高二检测)某人酷爱买彩票,一次他购买了1000注的彩票,共有50注中奖,于是他回到家对彩票的号码进行了分析,分析后又去买了1500注的彩票,有75注中奖,请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影响.

【解析】根据题意可知购买1000注的彩票,中奖50注,未中奖的有950注;购买1500注的彩票,中奖75注,未中奖的有1425注.列出对应的2×2列联表如下:

由表中数据,得K2的观测值为

k==0.

因为0<2.706,所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关.

【补偿训练】在某校对有心理障碍的学生进行测试得到如下列联表:

试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大?

【解析】对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量,,.其观测值分别为k1,k2,k3.

由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表

可得k1=≈0.863<2.706,

同理,k2=≈6.366>5.024,

k3=≈1.410<2.706.

因此,在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为说谎与性别有关,没有充分的证据显示焦虑、懒惰与性别有关.

【拓展延伸】解决一般的独立性检验问题的步骤

(1)通过列联表确定a,b,c,d,n的值,根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0.

(2)利用K2=求出K2的观测值k.

(3)如果k≥k0,就推断“两个分类变量有关系”,这种推断犯错误的概率不超过α;否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“两个分类变量有关系”.

8.(2015·张家界高二检测)为了解某班关注NBA是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表:

已知在全班48人中随机抽取1人,抽到关注NBA的学生的概率为.

(1)请将上面的表补充完整(不用写计算过程),并判断是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为关注NBA与性别有关.说明你的理由.

(2)现记不关注NBA的6名男生中某两人为a,b,关注NBA的10名女生中某3人为c,d,e,从这5人中选取2人进行调查,求至少有一个不关注NBA的人被选取的概率.

【解题指南】(1)先根据已知条件把列联表补充完整,由公式计算K2即可.

(2)先列举从5人中选2人的基本事件,再列举至少有一人不关注NBA的事件,即可求得概率.

【解析】(1)列联表补充如下:

由公式得K2=≈4.286,

因为4.286>3.841,故在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为关注NBA与性别有关.

(2)从5人中选2人的基本事件有:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10种,

其中至少有一人不关注NBA的有:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be共7种,故所求的概率为P=.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k,下列说法正确的是(　　)

A.k越大,“X与Y有关系”的可信程度越小

B.k越小,“X与Y有关系”的可信程度越小

C.k越接近于0,“X与Y没有关系”的可信程度越小

D.k越大,“X与Y没有关系”的可信程度越大

【解析】选B. k越大,“X与Y没有关系”的可信程度越小,则“X与Y有关系”的可信程度越大,k越小,“X与Y有关系”的可信程度越小.

2.(2015·广州高二检测)春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄悄吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:

附:K2=,则得到的正确结论是　(　　)

A.在犯错误的概率不超过0.010的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过0.010的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

【解析】选C.由K2=≈3.030,借助临界值表,因为K2>2.706,即得P(K2≥2.706)=0.10,所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如表所示:

由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关:　　　　(填“是”或“否”).

【解题指南】利用与判断二者是否有关系.

【解析】因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目,而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目,即=,=,两者相差较大,所以经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的.

答案:是

4.(2015·娄底高二检测)针对时下的“韩剧热”,某校团委对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”做了一次调查,其中女生人数是男生人数的,男生喜欢韩剧的人数占男生人数的,女生喜欢韩剧的人数占女生人数的,若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关,则男生至少有　　　　　人.

【解析】设男生人数为x,依题意可得列联表如下:

若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关,则k>3.841,

即k==>3.841,

解得x>10.24,

因为为整数,所以若在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为是否喜欢韩剧和性别有关,则男生至少有12人.

答案:12

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2015·漳州高二检测)某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽取500件,量其内径尺寸的结果如下表(表1为甲厂,表2为乙厂):

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率.

(2)由以上统计数据画出2×2列联表,并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

表1

表2

【解析】(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率估计为=72%,

乙厂抽查的产品中有320件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为=64%.

(2)列联表如表所示:

由表中数据得

k=

≈7.35>6.635,

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

【拓展延伸】独立性检验与反证法的异同点

(1)独立性检验的思想来自于统计学的假设检验思想,它与反证法类似,假设检验和反证法都是先假设结论不成立,然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结构是否成立.

(2)二者“矛盾”的含义不同,反证法中的“矛盾”是指不符合逻辑的事件的发生;而假设检验中的“矛盾”是指不符合逻辑的小概率事件的发生,即在结论不成立的假设下,推出利用结论成立的小概率事件的发生.

6.(2015·邯郸高二检测)在对人们休闲方式的调查中,已知男性占总调查人数的,其中有一半的休闲方式是运动,而女性只有的休闲方式是运动.经过调查员计算,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可认为“性别与休闲方式有关”,那么被调查的人中最少有多少人的休闲方式是运动?

【解析】设总共调查n人,则被调查的男性人数应为n,其中有人的休闲方式是运动;被调查的女性人数应为,其中有人的休闲方式是运动,列出2×2列联表如下:

由表中数据,得k==.

要使调查员在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“休闲方式与性别有关”,则k≥3.841.

所以≥3.841.

解得n≥138.276.又∈N*,所以n≥140.

所以被调查的人中,以运动为休闲方式的最少有140×=56(人).

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