高中数学1.1命题及其关系课时练习

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课时提升作业(二)

四种命题

(15分钟　30分)

一、选择题(每小题4分，共12分)

1.已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是　(　　)

A.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3

B.若a+b+c=3，则a2+b2+c2<3

C.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3

D.若a+b+c≥3，则a2+b2+c2=3

【解析】选A.因为命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”，故选A.

2.下列命题的逆命题为真命题的是　(　　)

A.若xy≠0，则x，y不都为零

B.正多边形都相似

C.若m>0，则x2+x-m=0有实根

D.若x是无理数，则x-是有理数

【解析】选D.A中逆命题为“若x，y不都为零，则xy≠0”，假命题；B中逆命题为“相似的多边形都是正多边形”，假命题；C中逆命题为“若x2+x-m=0有实根，则m>0”，假命题；D中逆命题为“若x-是有理数，则x是无理数”，真命题.

3.(2015·长春高二检测)若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的　(　　)

A.逆命题        B.否命题

C.逆否命题       D.以上都不正确

【解题指南】设命题p为“若s，则t”的形式，分别写出q，r，再判断q与r条件与结论的关系，从而作出选择.

【解析】选B.设命题p为：“若s，则t”，则命题q为：若t，则s，命题r是：若t，则s，由此知q为r的否命题.

二、填空题(每小题4分，共8分)

4.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆命题是

___________________________________________________________，

否命题是___________________________________________________，

逆否命题是__________________________________________________.

【解析】逆命题是：“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数”.

否命题：“各位数字之和不是3的倍数的正整数不能被3整除”.

逆否命题是：“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数”.

答案：能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数

各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除

不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数

5.(2015·烟台高二检测)下列命题：

①“等边三角形三内角都为60°”的逆命题；

②“若k>0，则x2+2x-k=0有实根”的逆否命题；

③“全等三角形的面积相等”的否命题；

④“若ab≠0，则a≠0”的否命题；

其中真命题的序号为________.

【解析】①逆命题“三内角都为60°的三角形为等边三角形”，真命题；②逆否命题“若x2+2x-k=0没有实根，则k≤0”，因为Δ=4+4k<0，所以k<-1，满足k≤0，所以是真命题；③否命题“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；④否命题“若ab=0，则a=0”是假命题，故只有①②是真命题.

答案：①②

【补偿训练】(2015·西安高二检测)对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是　(　　)

A.它的逆命题是真命题

B.它的否命题是真命题

C.它的逆否命题是假命题

D.它的否命题是假命题

【解析】选D.命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”的逆命题为“若an≠0，则数列{an}是等比数列”为假命题，故A错.否命题为“若数列{an}不是等比数列，则an=0”，显然是假命题，如an=2n(n∈N*)不是等比数列，对应an≠0，故选D.

三、解答题

6.(10分)写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.

(1)在△ABC中，若BC>AC，则∠A>∠B；

(2)相等的两个角的正弦值相等.

【解析】(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC；真命题.

否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则∠A≤∠B；真命题.

逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则BC≤AC；真命题.

(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题.

否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题.

逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题.

【补偿训练】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

(1)当m>时，mx2-x+1=0无实根.

(2)当abc=0时，a=0或b=0或c=0.

【解析】(1)逆命题：当mx2-x+1=0无实根时，m>；真命题；

否命题：当m≤时，mx2-x+1=0有实根；真命题；

逆否命题：当mx2-x+1=0有实根时，m≤；真命题.

(2)逆命题：当a=0或b=0或c=0时，abc=0；真命题；

否命题：当abc≠0时，a≠0且b≠0且c≠0；真命题；

逆否命题：当a≠0且b≠0且c≠0时，abc≠0；真命题.

(15分钟　30分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2015·中山高二检测)下列判断中不正确的是　(　　)

A.命题“若A∩B=B，则A∪B=A”的逆否命题为真命题

B.“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题

C.“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题

D.“若x∈N*，则(x-1)2>0”是假命题

【解题指南】逐个写出命题，作出判断，从中选取不正确的.

【解析】选C.A中，逆否命题“若A∪B≠A，则A∩B≠B”是真命题，正确；B中，否命题“不是矩形的四边形的两条对角线不相等”是假命题，正确；C中，逆命题“已知a，b，m∈R，若a<b，则am2<bm2”是假命题.所以C错误.D中，因为x=1时，(1-1)2=0，所以是假命题，正确.

2.(2015·昆明高二检测)有下列命题：

①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的否命题；

②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；

③“若x≤3，则x2-x-6>0”的否命题；

④“对顶角相等”的逆命题.

其中真命题的个数是　(　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

【解析】选B.①的否命题为“若x+y≠0，则x，y不互为相反数”为真命题.

②的逆否命题为“若x2≤y2，则x≤y”为假命题，如x=0，y=-1时，02≤(-1)2，但0>-1.

③该命题的否命题为“若x>3，则x2-x-6≤0”，为假命题；

④该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题.

【拓展延伸】命题的四种形式及其真假的判断

(1)四种形式：写出命题的四种形式，需要确定原命题的条件和结论，交换条件与结论可得到逆命题，否定条件与结论可得到否命题，既交换条件与结论，又否定条件与结论可得到逆否命题.

(2)真假的判断：判断命题的真假时，需要结合命题所含的相关知识点进行推理判断，或用举反例法说明是假命题.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.(2015·沈阳高二检测)“若a∉M或a∉P，则a∉(M∩P)”的逆否命题是________________________.

【解析】命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，题中“a∉M或a∉P”的否定是“a∈M且a∈P”.

答案：若a∈(M∩P)，则a∈M且a∈P

【补偿训练】命题“若a·b不为零，则a，b都不为零向量”的逆否命题是____

_________________________.

【解析】逆否命题是“若a，b至少有一个为零向量，

则a·b为零”.

答案：若a，b至少有一个为零向量，则a·b为零

4.命题“当a>0时，函数y=ax+b的值随x的增大而增大”的否命题是__________.

【解析】命题的条件是x增大，结论是函数y=ax+b的值增大，命题的否命题是：当a>0时，若x不增大，则函数y=ax+b的值也不增大.

答案：当a>0时，若x不增大，则函数y=ax+b的值也不增大

【误区警示】原命题有两个条件：“a>0”和“x增大”，其中“a>0”是前提，在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时，把“a>0”置于“若”字的前面，把“x增大”作为原命题的条件，不能把“a>0”和“x增大”都当成条件.

三、解答题

5.(10分)(2015·苏州高二检测)在公比为q的等比数列{an}中，前n项的和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am，am+2，am+1成等差数列.

(1)写出这个命题的逆命题.

(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？

【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题，然后根据等差数列和等比数列的性质判断何时为真命题，何时为假命题.

【解析】(1)逆命题：在公比为q的等比数列{an}中，前n项的和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列.

(2)由{an}为等比数列，所以an≠0，q≠0.

由am，am+2，am+1成等差数列，得2am+2=am+am+1，

所以2am·q2=am+am·q，所以2q2-q-1=0.

解得q=-或q=1.

当q=1时，an=a1(n=1，2，…)，

所以Sm+2=(m+2)a1，Sm=ma1，Sm+1=(m+1)a1，

因为2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1，

即2Sm+2≠Sm+Sm+1，

所以Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列.

即q=1时，原命题的逆命题为假命题.

当q=-时，2Sm+2=2·，

Sm+1=，Sm=，

所以2Sm+2=Sm+1+Sm，

所以Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，

即q=-时，原命题的逆命题为真命题.

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