高中人教版新课标A2.3抛物线同步达标检测题

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)

A．有且仅有一条　　　　 B．有且仅有两条

C．有无穷多条 D．不存在

【解析】　由定义，知|AB|＝5＋2＝7，因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．

【答案】　B

2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)

A．2 B．2

C．2 D．2

【解析】　设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝＝＝2.故选B.

【答案】　B

3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)

A．1　　　　B．2   C．4　　　　D．8

【解析】　由y2＝x得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选A.

【答案】　A

4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A．x＝1 B．x＝－1

C．x＝2 D．x＝－2

【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在抛物线上，得y＝2px1，①

y＝2px2，②

由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1＋y2＝4，直线AB的斜率为1，故2p＝4，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－＝－1.

【答案】　B

5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若O·A＝－4，则点A的坐标为(　　) 【导学号：26160061】

A．(2，±2) B．(1，±2)

C．(1,2) D．(2,2)

【解析】　设A(x，y)，则y2＝4x，①

O＝(x，y)，A＝(1－x，－y)，O·A＝x－x2－y2＝－4，②

由①②可解得x＝1，y＝±2.

【答案】　B

二、填空题

6．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．

【解析】　可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，

设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，

则由消去x得y2－4y＋4m＝0.

∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.

又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，

则所求的最小距离为.

【答案】　

7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．

【解析】　设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，

∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，

当m＝0时，y＋y最小为32.

【答案】　32

8．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.

【解析】　设过抛物线焦点的直线为y＝k，

联立得

整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，

x1＋x2＝，x1x2＝.

|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24，

代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0

得12x2－13x＋3＝0，

解之得x1＝，x2＝，又|AF|＜|BF|，

故|AF|＝x1＋＝.

【答案】　

三、解答题

9．求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．

【解】　如图所示，若直线的斜率不存在，

则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，

由得

即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．

若直线的斜率存在，

则设直线为y＝kx＋1，代入y2＝2x得：

k2x2＋(2k－2)x＋1＝0，

当k＝0时，直线方程为y＝1，与抛物线只有一个交点．

当k≠0时，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0⇒k＝.此时，直线方程为y＝x＋1.

可知，y＝1或y＝x＋1为所求的直线方程．

故所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.

10．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．

【解】　由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，

焦点F，直线l：x＝，

∴A，B两点坐标为，，

∴|AB|＝2|p|.

∵△OAB的面积为4，

∴··2|p|＝4，∴p＝±2.

∴抛物线方程为y2＝±4x.

[能力提升]

1．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)

A. B．6

C．12 D．7

【解析】　∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，

∴F，

∴AB的方程为y－0＝tan 30°，

即y＝x－.

联立得x2－x＋＝0.

∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.

由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12.

【答案】　C

2．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，O为原点，若||＝||，且抛物线的焦点恰好为△AOB的垂心，则直线AB的方程是(　　)

A．x＝p B．x＝p

C．x＝p D．x＝3p

【解析】　∵||＝|O|，

∴A，B关于x轴对称．

设A(x0，)，B(x0，－)．

∵AF⊥OB，F，

∴·＝－1，

∴x0＝p.

【答案】　C

3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．

【解析】　由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1或k<－1.

【答案】　(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4．已知直线l：y＝x＋，抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若O·O＝0(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程.               【导学号：26160062】

【解】　(1)直线l：y＝x＋.①

过原点且垂直于l的直线方程为y＝－2x.②

由①②，得x＝－.

∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，

∴－＝－×2，∴p＝2.

∴抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)．

由O·O＝0，得x1x2＋y1y2＝0.

又y＝4x1，y＝4x2，

解得y1y2＝－16.③

直线ON：y＝x，即y＝x.④

由③④及y＝y1，得点N的轨迹方程为x＝－4(y≠0)．