数学选修1-1第一章 常用逻辑用语综合与测试练习

第一章　章末检测 (B)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．

1．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是(　　)

A．ab＝0                     B．a＋b＝0

C．a＝b                      D．a2＋b2＝0

2．若“a≥b⇒c>d”和“a<b⇒e≤f”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“c≤d”是“e≤f”的(　　)

A．必要非充分条件

B．充分非必要条件

C．充分必要条件

D．既非充分也非必要条件

3．在下列结论中，正确的是(　　)

①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；

②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；

③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；

④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．

A．①②                    B．①③

C．②④                    D．③④

4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的(　　)

A．充分不必要条件         B．必要不充分条件

C．充要条件               D．既不充分也不必要

5．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则(　　)

A．p真q真               B．p假q真

C．p真q假               D．p假q假

6．条件p：x>1，y>1，条件q：x＋y>2，xy>1，则条件p是条件q的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

7．2x2－5x－3<0的一个必要不充分条件是(　　)

A．－<x<3                B．－<x<0

C．－3<x<                D．－1<x<6

8．“x＝2kπ＋ (k∈Z)”是“tan x＝1”成立的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分条件

D．既不充分也不必要条件

9．下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x∈R，lg x＝0          B．∃x∈R，tan x＝1

C．∀x∈R，x3>0            D．∀x∈R,2x>0

10．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)

A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

11．下列命题中为全称命题的是(　　)

A．圆内接三角形中有等腰三角形

B．存在一个实数与它的相反数的和不为0

C．矩形都有外接圆

D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行

12．以下判断正确的是(　　)

A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题

B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x∈N，x3>x”

C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin 2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件

D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．下列命题中________为真命题．(填序号)

①“A∩B＝A”成立的必要条件是“AB”；

②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；

③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；

④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．

14．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是

__________________________________，这是__________命题．

15．若“∀x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．

16．给出下列四个命题：

①∀x∈R，x2＋2>0；

②∀x∈N，x4≥1；

③∃x∈Z，x3<1；

④∃x∈Q，x2＝3.

其中正确命题的序号为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．

(1)矩形的对角线相等且互相平分；

(2)正偶数不是质数．

18．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．

(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；

(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．

19.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

20．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于∀x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．

21.(12分)下列三个不等式：

①2－x2＋ax－>1；

②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；

③a>x2＋.

若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．

22．(12分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．

第一章　常用逻辑用语(B)

答案

1．D　[若a2＋b2＝0，即a＝b＝0时，f(－x)＝(－x)|－x＋0|＋0＝－x|x|＝－f(x)，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的充分条件．又若f(x)为奇函数即f(－x)＝－x|(－x)＋a|＋b＝－(x|x＋a|＋b)，则必有a＝b＝0，即a2＋b2＝0，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的必要条件．]

2．B　[由a≥b⇒c>d可得c≤d⇒a<b，又a<b⇒e≤f，所以c≤d⇒e≤f；而e≤f⇒c≤d显然不成立，故“c≤d”是“e≤f”的充分非必要条件．]

3．B

4．B　[∵a＝1且b＝2⇒a＋b＝3，

∴a＋b≠3⇒a≠1或b≠2.]

5．B　[由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．]

6．A　[由我们学习过的不等式的理论可得p⇒q，但x＝100，y＝0.1满足q：x＋y>2，xy>1，但不满足q，故选项为A.]

7．D　[由2x2－5x－3<0，解得－<x<3，记为P，则①P⇔A，②BP，B是P的充分非必要条件，③，C既不是P的充分条件，也不是P的必要条件，④PD，D是P的必要不充分条件．]

8．A　[tan＝tan ＝1，所以充分；

但反之不成立，如tan ＝1.]

9．C

10．A　[举例：a＝1.2，b＝0.3，

则a＋b＝1.5<2，∴逆命题为假．]

11．C

12．D　[∵“负数的平方是正数”即为∀x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确；

又∵对全称命题“∀x∈N，x3>x”的否定为“∃x∈N，x3≤x”，∴B不正确；

又∵f(x)＝sin 2ax，当最小正周期T＝π时，有＝π，∴|a|＝1a＝1.

故“a＝1”是“函数f(x)sin 2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．]

13．②④

解析　①A∩B＝A⇒A⊆B但不能得出AB，

∴①不正确；

②否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；

③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；

④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．

14．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数　假

15．(－∞，－1)

解析　由Δ＝(－2)2－4×(－m)<0，得m<－1.

16．①③

17．解　(1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．

否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．

逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．

(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．

否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．

逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．

18．解　(1)p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．

p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．

非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．

∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，

∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假．

(2)p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形．

p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．

非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．

∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真．

19．证明　充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2

＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)

＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)

∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

又ab≠0，即a≠0且b≠0，

∴a2－ab＋b2＝2＋b2>0.

∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.

必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，

∴a3＋b3＋ab－a2－b2

＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

综上可知，当ab≠0时，

a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

20．解　|f(x)|≤1⇔－1≤f(x)≤1⇔－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．   ①

当x＝0时，a≠0，①式显然成立；

当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－在x∈(0,1]上恒成立．

设t＝，则t∈[1，＋∞)，

则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需

⇒－2≤a≤0，

又a≠0，故－2≤a<0.

综上，所求实数a的取值范围是[－2,0)．

21．解　对于①，2－x2＋ax－>1，即－x2＋ax－>0，故x2－ax＋<0，Δ＝a2－25，所以不等式的解集为空集，实数a的取值范围是－5≤a≤5.

对于②，当a＝3时，不等式的解集为{x|x>1}，不是空集；当a≠3时，要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1>0的解集为空集．

则解得－2≤a≤2.

对于③，因为x2＋≥2＝2，

当且仅当x2＝1，即x＝±1时取等号．

所以，不等式a>x2＋的解集为空集时，a≤2.

因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2≤a≤2.

所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是

{a|a<－2或a>2}．

22．解　∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，

则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，

∴|x1－x2|＝＝，

当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，

由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，

∴a≥6或a≤－1.

所以命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.

命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，

当a>0时，显然有解；

当a＝0时，2x－1>0有解；

当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，

∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，

从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.

又命题q为假命题，∴a≤－1.

综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.