高中数学2.2 等差数列第2课时同步训练题

这是一份高中数学2.2 等差数列第2课时同步训练题，共6页。试卷主要包含了2　第2课时等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝( )
A．64 B．30
C．31 D．15
[答案] D
[解析] 解法一：∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6＋a9＝16,a4＝1))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a1＋13d＝16,a1＋3d＝1))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－5,d＝2))，∴a11＝a1＋10d＝15.
解法二：∵6＋9＝4＋11，
∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15.
2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14B．21
C．28D．35
[答案] C
[解析] ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.
又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0
C．a3＋a100≤0D．a51＝0
[答案] D
[解析] 由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，
∴a51＝0.
4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1B．1
C．3D．7
[答案] B
[解析] ∵{an}是等差数列，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2，
a20＝a4＋16d＝33－32＝1.
5．在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为( )
A．eq \f(b－a,n) B．eq \f(a－b,n＋1)
C．eq \f(b－a,n＋1)D．eq \f(b－a,n－1)
[答案] C
[解析] ∵a1＝a，an＋2＝b，
∴公差d＝eq \f(an＋2－a1,n＋2－1)＝eq \f(b－a,n＋1).
6．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )
A．120 B．105
C．90 D．75
[答案] B
[解析] ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，
∵d>0，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.
二、填空题
7．等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝__________.
[答案] 18
[分析] 利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d的值．
[解析] 解法1：根据题意，有
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，
∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.
∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18.
解法2：根据等差数列性质，可得
a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.
8．已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__________.
[答案] 15
[解析] ∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋eq \f(1,2))(a3＋a15)＝eq \f(5,2)×6＝15.
三、解答题
9．已知等差数列{an}的公差d>0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式．
[解析] 由等差数列的性质，得
a3＋a7＝a4＋a6＝－4，
又∵a3a7＝－12，
∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．
又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2.
∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.
∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.
10．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
[解析] 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，
(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94
⇒2a2＋10d2＝47.①
又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±eq \f(3,2)代入①得a＝±eq \f(7,2)，故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.
一、选择题
1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( )
A．0B．37
C．100D．－37
[答案] C
[解析] ∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴{an＋bn}也是等差数列．
又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，
∴{an＋bn}的公差为0，
∴数列{an＋bn}的第37项为100.
2．数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列{eq \f(1,an＋1)}是等差数列，则a4等于( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,6)
[答案] A
[解析] 令bn＝eq \f(1,an＋1)，则b2＝eq \f(1,a2＋1)＝eq \f(1,3)，b6＝eq \f(1,a6＋1)＝1，
由条件知{bn}是等差数列，
∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝eq \f(2,3)，
∴d＝eq \f(1,6)，∴b4＝b2＋2d＝eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,6)＝eq \f(2,3)，
∵b4＝eq \f(1,a4＋1)，∴a4＝eq \f(1,2).
3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根B．有两个相等实根
C．有两个不等实根D．不能确定有无实根
[答案] A
[解析] ∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，
即3a5＝9，∴a5＝3，
方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．
4．下列命题中正确的个数是( )
(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；
(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；
(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；
(4)若a，b，c成等差数列，则eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)可能成等差数列．
A．4个B．3个
C．2个D．1个
[答案] B
[解析] 对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．
对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；
对于(3)，∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2B．
∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4
＝2(kb＋2)，(3)正确；
对于(4)，a＝b＝c≠0⇒eq \f(1,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,c)，(4)正确，综上选B．
二、填空题
5．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则eq \f(a2－a1,b3－b2)＝________.
[答案] eq \f(5,4)
[解析] 设两个等差数列的公差分别为d1，d2，
由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋4d1，,y＝x＋5d2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4d1＝y－x，,5d2＝y－x，))
解得eq \f(d1,d2)＝eq \f(5,4)，即eq \f(a2－a1,b3－b2)＝eq \f(d1,d2)＝eq \f(5,4).
6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
[答案] 15eq \r(3)
[解析] 设△ABC的三边长为a－4，a，a＋4(a>4)，
则eq \f(a2＋a－42－a＋42,2aa－4)＝－eq \f(1,2)，
解得a＝10，三边长分别为6,10,14.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×6×10×eq \f(\r(3),2)＝15eq \r(3).
三、解答题
7．在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，eq \r(a)、eq \r(b)、eq \r(c)也成等差数列，求证△ABC为正三角形．
[证明] ∵eq \r(a)＋eq \r(c)＝2eq \r(b)，平方得a＋c＋2eq \r(ac)＝4b，又∵a＋c＝2b，∴eq \r(ac)＝b，故(eq \r(a)－eq \r(c))2＝0，
∴a＝b＝C．故△ABC为正三角形．
8．设数列{an}是等差数列，bn＝(eq \f(1,2))an又b1＋b2＋b3＝eq \f(21,8)，b1b2b3＝eq \f(1,8)，求通项an.
[解析] ∵b1b2b3＝eq \f(1,8)，又bn＝(eq \f(1,2))an，∴(eq \f(1,2))a1·(eq \f(1,2))a2·(eq \f(1,2))a3＝eq \f(1,8).
∴(eq \f(1,2))a1＋a2＋a3＝eq \f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，
∴b1b3＝eq \f(1,4)，b1＋b3＝eq \f(17,8)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝2,b3＝\f(1,8)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝\f(1,8),b3＝2))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1,a3＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3,a3＝－1))，
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.