高中人教版新课标A第二章 平面向量综合与测试测试题

这是一份高中人教版新课标A第二章 平面向量综合与测试测试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 www.ks5u.com阶段质量检测(二)(A卷　学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝(　　)A．　　　　　　　 　B．C．    D．答案：B2．(全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1), n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)A．－4   B．－3C．－2   D．－1答案：B3．若|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是(　　)A.  B.C.  D.答案：B4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知＝a，＝b，则下列向量中与同向的是(　　)A.　　　　　　　　B.＋C.  D.－答案：A5．已知边长为1的正三角形ABC中，·＋·＋·的值为(　　)A.   B．－C.   D．－答案：D6．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝(　　)A．1∶3   B．3∶1C．1∶2   D．2∶1答案：D7．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)A．内心   B．外心C．垂心   D．重心答案：C8．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)A．1   B．2C.  D.答案：C9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝(　　)A．1　　　 　B．2　　　　C．3　　　　D．4答案：B10.如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是(　　)A.　　　B．9　　　C．－　　　D．－9答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在直角坐标系xOy中，＝(2,1)，＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的值为________．答案：－6或－112．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.答案：113．如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域(不含边界)内运动，且＝x＋y，则x的取值范围是______．当x＝－时，y的取值范围是________．答案：(－∞，0)　14．在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数λ，使得＝λ＋(1－λ)成立，此时称实数λ为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知P1(3,1)，P2(－1,3)，且向量与向量a＝(1,1)垂直，则“向量关于和的终点共线分解系数”为________．答案：－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2；当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝＝2.综上所述，|a－b|为2或2.16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC.(1)以a，b为基底表示向量与；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.解：(1)∵M为DC的中点，∴＝，又＝，∴＝＋＝＋＝a＋b，∵H为AD的中点，BF＝BC，＝，∴＝，＝，∴＝＋＋＝－＋＋＝－＝a－b.(2)由已知得a·b＝3×4×cos 120°＝－6，·＝·＝a2＋a·b－b2＝×32＋×(－6)－×42＝－.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，即(3＋2t)×(－2)＋(5＋t)×(－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.18．(本小题满分14分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；(3)已知D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，∴解得k＝－，λ＝－.(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴＝.设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)，∵＝(－7，－2)，∴解得即点A的坐标为(10,7)．(B卷　能力素养提升)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．化简－＋－得(　　)A．　　　　　　　　 　B．C．    D．0解析：选D　－＋－＝＋－(＋)＝－＝0.2．已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝cos ＝.选C.3．向量＝(4，－3)，＝(2，－4)，则△ABC的形状为(　　)A．等腰非直角三角形B．等边三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形解析：选C　＝－＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而·＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以⊥，又||≠||，所以△ABC是直角非等腰三角形．故选C.4．若1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)A．(0,5)   B．25C．2   D．5解析：选D　∵F1＋F2＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝＝5.5．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)A．4   B．3C．2   D．0解析：选D　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.6．(广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)A.  B.C．1   D．2解析：选C　可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.7．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)A.           B．2C．4      D．12解析：选B　因为|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝2×1×cos 60°＝1.∴|a＋2b|＝＝2.8．如图，非零向量＝a，|a|＝2，＝b，a·b＝1，且⊥，C为垂足，若＝λa，则λ为(　　)A.  B.C.   D．2解析：选C　设a与b的夹角为θ.∵||就是在上的投影|b|cos θ，∴||＝|b| cos θ＝＝λ|a|，即λ＝＝，故选C.9．若e1，e2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)A．30°   B．60°C．90°   D．120°解析：选D　e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－，|a|＝＝＝，|b|＝＝＝，所以a，b的夹角的余弦值为cos〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝120°.故选D.10．在△ABC中，已知向量与满足＋·＝0且·＝，则△ABC为(　　)A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析：选D　非零向量与满足·＝0，即∠A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.又cos A＝·＝，∴∠A＝，所以△ABC为等边三角形，选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·＝________.解析：n·＝n·(－)＝n·－n·＝7－5＝2.答案：212．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝1，则a·b的取值范围为________．解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ，又∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，即a·b∈[－2,2]．答案：[－2,2]13．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.解析：设AC∩BD＝O，则＝2(＋)，·＝·2(＋)＝2·＋2·＝2·＝2·(＋)＝2||2＝18.答案：1814．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析：①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，表明a与b－c向量垂直，不一定有b＝c，所以①不正确；对于②，当a∥b时，1×6＋2k＝0，则k＝－3，所以②正确；结合平行四边形法则知，若|a|＝|b|＝|a－b|，则|a|，|b|，|a－b|可构成一正三角形，那么a＋b与a的夹角为30°，而非60°，所以③错误．答案：②三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知＝a，＝b，对于任意点M关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N.(1)用a，b表示向量；(2)设|a|＝1，|b|＝2，||∈[2，2]，求a与b的夹角θ的取值范围．解：(1)依题意，知A为MS的中点，B为NS的中点．∴＝2，＝2.∴＝－＝2(－)＝2＝2(－)＝2(b－a)．(2)∵||∈[2，2]，∴2∈[12,28]，∴12≤4(b－a)2≤28.∴3≤4＋1－2a·b≤7，∴－1≤a·b≤1.∵cos θ＝＝，∴－≤cos θ≤.∵0≤θ≤π，∴≤θ≤，即θ的取值范围为.16．(本小题满分12分)已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB.求证：AC⊥BC.证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴＝(－1,1)，＝(1,1)，·＝－1×1＋1×1＝0，∴⊥，∴BC⊥AC.17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos 2x)，b＝(1＋sin 2x，1)，x∈R，且y＝f(x)的图象经过点.求实数m的值．解：f(x)＝a·b＝m(1＋sin 2x)＋cos 2x，由已知得f＝m＋cos＝2，解得m＝1.18．(本小题满分14分)(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角；(2)设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在上是否存在点M，使⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴cos θ＝＝＝－，∴θ＝120°.(2)假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)，∴(2－6λ)×(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，∴45λ2－48λ＋11＝0，得λ＝或λ＝.∴＝(2,1)或＝.∴存在M(2,1)或M满足题意.