数学必修1第一章 集合与函数概念综合与测试精练

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（测试时间：120分钟     满分：150分）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列命题中，正确的是(　　)

A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体

D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱

解析：选D　认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确，B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．

2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是(　　)

A．(1)是棱台　　　　　　　　　 B．(2)是圆台

C．(3)是棱锥   D．(4)不是棱柱

3.如图所示的直观图的平面图形ABCD是(　　)

A．任意梯形　　　　 B．直角梯形

C．任意四边形　　　 D．平行四边形

解析：选B　AB∥Oy，AD∥Ox，故AB⊥AD.又BC∥AD且BC≠AD，所以为直角梯形．

4．下列说法正确的是(　　)

A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形

B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体

C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥

D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　)

A．16π   B．20π

C．24π   D．32π

解析：选C　正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为2，正四棱柱的对角线为2.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R＝2，R＝，S球＝4πR2＝24π.

6． 如图(1)、(2)、(3)为三个几何体的三视图，根据三视图可以判断这三个几何体依次为(　　)

A．三棱台、三棱柱、圆锥

B．三棱台、三棱锥、圆锥

C．三棱柱、正四棱锥、圆锥

D．三棱柱、三棱台、圆锥

解析：选C　由俯视图知(1)，(2)是多面体，(3)是旋转体．再由正视图及侧视图可知(1)是三棱柱，(2)是正四棱锥，(3)是圆锥．

7． 如图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图所示；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图所示；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图所示．其中真命题的个数是(　　)

A．3   B．2

C．1   D．0

解析：选A　只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形的直角边所在的一个侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真．

8.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是(　　)

A．6　　　　　　　 B．3

C．6　　　　　　 D．12

9．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是(　　)

A．1∶2   B．2∶3

C．1∶3   D． 1∶4

解析：选B　设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧＝2πrl，S全＝2πr2＋2πrl，∴S侧∶S全＝2πrl∶(2πr2＋2πrl)＝2∶3.

10.已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为(　　)

A．12　　 B．27

C．36　　 D．6

解析：选C　若将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面边长为a，则a＝3，

∴a＝6，故体积V＝×62×4＝36.

11. (2016安徽合肥高二期中)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为(　　)

A.π B.π C.π D.16π

解析:

答案:B

12.(2015湖南高考)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(　　)

A. B.

C. D.

解析:由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h==2.故该圆锥的体积V=r2h=×12×2.

答案:A

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.圆柱的高是8 cm,表面积是130π cm2,则它的底面圆的半径等于　　　　　cm. 

解析:设圆柱的底面圆的半径为r cm,

则S圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π.

解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5 cm.

答案:5

14.(2016四川德阳高二期中)

如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=　　　　. 

解析:因为D,E分别是AB,AC的中点,所以S△ADE∶S△ABC=1∶4.

又F是AA1的中点,所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍,

即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍,所以V1∶V2==1∶24.

答案:1∶24

15.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,则棱锥O-ABCD的体积为　　　　　. 

解析:依

答案:8

16.

如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是A'A,C'C的中点,则下列判断正确的是　　　　　.(填序号) 

①四边形BFD'E在底面ABCD内的投影是正方形;

②四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是菱形;

③四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影与在面ABB'A'内的投影是全等的平行四边形.

解析:①四边形BFD'E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B,C,D,A,故投影是正方形;②设正方体的边长为2,由AE=1,取D'D的中点G,则四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是四边形AGD'E,因为AE∥D'G,且AE=D'G,所以四边形AGD'E是平行四边形,但AE=1,D'E=,故四边形AGD'E不是菱形;对于③,由②知是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确.

答案:①③

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．(本小题满分12分)如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

18．(本小题满分14分)(2013·河源高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的侧面积S.

解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．

(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.

(2)正侧面及其相对侧面底边上的高为：h1＝＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝ ＝4.

故几何体的侧面面积为：S＝2×＝40＋24.

19.(本小题满分12分)

如图所示的是一个边长为5+的正方形,剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图,求该圆锥的体积.

20. (本小题满分12分)

如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为正三角形,且侧棱垂直于底面.AB=2,AA1=2,从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:

(1)三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长;

(2)从B经过M到C1的最短路线长及此时的值.

解:沿侧棱BB1将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开,得到一个矩形BB1B1'B'(如图).

(1)矩形BB1B'1B'的长为BB'=6,宽为BB1=2.所以三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长为=2.

(2)由侧面展开图可知:当B,M,C1三点共线时,从B经过M到达C1的路线最短.所以最短路线长为BC1==2.显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所以A1M=AM,即=1.所以从B经过M到C1的最短路线长为2,此时的值为1.

21.(本小题满分12分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形,边长分别是4 cm与2 cm,如图,俯视图是一个边长为4 cm的正方形.

(1)求该几何体的全面积;

(2)求该几何体的外接球的体积.

解:(1)由题意可知,该几何体是长方体,

22.(本小题满分12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).

(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;

(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;

(3)哪个方案更经济些?

解:(1)若按方案一,仓库的底面直径变成16 m,则仓库的体积为V1=S·h=×π××4=(m3).