高中人教版新课标A第四讲 数学归纳法证明不等式二 用数学归纳法证明不等式教课内容ppt课件

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【自主预习】贝努利(Bernulli)不等式如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,则有___________.
(1+x)n>1+nx
【即时小测】1.用数学归纳法证明不等式成立,起始值至少应取为　(　　)A.7　　　　　B.8　　　　　C.9　　　　　D.10
【解析】选B.左边的和为 =2-21-n,当n=8时,和为2-2-7>
2.用数学归纳法证明:(n≥2,n∈N*)时第一步需要证明　(　　)
【解析】选C.用数学归纳法证明 (n≥2,n∈N*),第一步应验证不等式为:
【知识探究】 探究点　贝努利不等式1.在应用贝努利不等式时应注意什么?提示:在应用贝努利不等式时要注意应用条件x>-1,且x≠0,n是大于1的自然数.
2.在利用数学归纳法证明贝努利不等式时n的初始值应选什么?提示:因为n为大于1的自然数,故n的初始值为2.
【归纳总结】1.贝努利不等式成立的两个条件一是x的范围是x>-1且x≠0,x∈R.二是n为大于1的自然数.
2.贝努利不等式的推广当指数n推广到任意实数α时,x>-1时,①若0<α<1,则(1+x)α≤1+αx;②若α<0或α>1,则(1+x)α≥1+αx.当且仅当x=0时等号成立.
类型一　用数学归纳法证明有关函数中的不等关系【典例】已知f(x)= .对于n∈N+,试比较f( )与 的大小并说明理由.
【解题探究】解答本例的解题方向是什么?提示:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.
【解析】根据题意f(x)= 所以要比较f( )与 的大小,只需比较2n与n2的大小即可,
当n=1时,21=2>12=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=8<32=9,当n=4时,24=16=42,当n=5时,25=32>52=25,当n=6时,26=64>62=36.
故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2,下面用数学归纳法加以证明.(1)当n=5时,2n>n2显然成立.(2)假设n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立,即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,
2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2(因为(k-1)2>2).由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.综上所述,当n=1或n≥5时,f( )> ;当n=2或n=4时,f( )= ;当n=3时,f( )< .
【方法技巧】利用数学归纳法解决比较大小问题的方法利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.
【变式训练】1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立.那么下列命题总成立的是　(　　)
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)【解析】选D.根据题中条件可知:由f(k)≥k2,必能推得f(k+1)≥(k+1)2,但反之不成立,因为D中f(4)=25>42,故可推得k≥4时,f(k)≥k2,故只有D正确.
2.(2016·淮南高二检测)已知函数f(x)= (其中e为自然对数的底数).证明:当x>0时,对任意正整数n都有f 【证明】当x>0时,f(x)= ,所以f =x2e-x考虑到:x>0时,不等式f (1)当n=1时,设g(x)=ex-x(x>0).因为x>0时,g′(x)=ex-1>0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=1>0,即ex>x(x>0),所以,当n=1时,不等式(*)成立.
(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式(*)成立,即xk0),有h′(x)=(k+1)!·ex-(k+1)xk=(k+1)(k!·ex-xk)>0,
故h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x>0)为增函数,所以h(x)>h(0)=(k+1)!>0,即xk+1<(k+1)!·ex,这说明当n=k+1时不等式(*)也成立,根据(1)(2)可知不等式(*)对一切n∈N*都成立,故原不等式对一切n∈N+都成立.
类型二　数学归纳法证明不等式【典例】已知Sn= (n>1,n∈N+),求证: (n≥2,n∈N+).
【解题探究】本例能否先求Sn,再证明不等式?提示:不能.若先求Sn再证明会比较困难.
【证明】(1)当n=2时,S4= 即当n=2时命题成立.(2)假设n=k(k≥2,n∈N+)时命题成立,即 当n=k+1时,
故当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对n∈N+,n≥2, 都成立.
【延伸探究】1.将本例中所要证明的不等式改为: (n≥2,n∈N+),如何证明?
【证明】(1)当n=2时,左边= 因为 所以左边>右边,原不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即 则当n=k+1时,左边=
所以,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,且n∈N+,不等式都成立.
2.若在本例中,条件变为“设f(n)=(n∈N+),由f(1)=1> ,f(3)>1,f(7)> ,f(15)>2,…”.试问:f(2n-1)与 大小关系如何?试猜想并加以证明.
【解析】数列1,3,7,15,…,通项公式为an=2n-1,数列 ,1, ,2,…通项公式为an= ,所以猜想:f(2n-1)> .
下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,f(21-1)=f(1)=1> ,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即f(2k-1)> ,则f(2k+1-1)=f(2k-1)+
所以当n=k+1时,不等式也成立.据(1),(2)知对任何n∈N+原不等式均成立.
【方法技巧】用数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.
(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.
【变式训练】1.已知f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),经计算得:f(4)>2,f(8)> f(16)>3,f(32)>…观察上述结论,可归纳出一般结论为_________.
【解析】将已知计算结果变形为归纳结论为f(2n)> 答案:f(2n)>
2.证明: (n∈N+,n≥2).【证明】(1)当n=2时,左边=1+ ,右边=2- ,由于 ,故不等式成立.
(2)假设n=k(k∈N+,k≥2)时命题成立,即则当n=k+1时,
即当n=k+1时,命题成立.由(1),(2)知,原不等式对一切n∈N+,n≥2都成立.
【补偿训练】数列{an}中,a1=1,an+1=1+ 求证:当n≥2且n∈N+时, 【证明】(1)当n=2时,a2=1+1=2,且 不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时,有 则当n=k+1时,ak+1= (分析法证明)要证 只需证ak< 即ak< (由假设可知成立),
所以 由(1)(2)知,当n≥2,且n∈N+时, 成立.
类型三　利用数学归纳法证明数列不等式【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1= ,an+2SnSn-1=0(n≥2).(1)判断 是否为等差数列,并证明你的结论.(2)证明 (n≥1且n∈N+).
【解题探究】本例中an与Sn的关系式是什么?提示:当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
【解析】(1) 是等差数列,证明如下:S1=a1= ,所以 =2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2SnSn-1.所以 =2.故 是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)①当n=1时, ,不等式成立.②假设n=k(k≥1)时,不等式成立,即 成立,则当n=k+1时,
即当n=k+1时,不等式成立.由①,②可知对任意n∈N+不等式都成立.
【延伸探究】本例中若将“an+2SnSn-1=0(n≥2)”改为“an+1= (n∈N+)”,那么数列{a2n}的单调性怎样?证明你的结论.
【解析】由a1= ,an+1= ,得a2= ,a4= ,a6= .由a2>a4>a6,猜想:数列{a2n}是递减数列.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,已证命题成立.(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即a2k>a2k+2,
易知an>0,那么:即a2(k+1)>a2(k+1)+2也就是说,当n=k+1时,命题也成立.综上(1)(2)可知,命题成立.
【方法技巧】求解数学归纳法与数列的综合问题的策略(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识,这是解决这类问题的基础.
(2)这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是直接给出,有时是根据条件从前几项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数学归纳法证明.
【变式训练】1.(2014·赣榆县校级期末)已知f(n)= (n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)等于_________.
【解析】因为假设n=k时,f(2k)= 当n=k+1时,f(2k+1)= 所以f(2k+1)-f(2k)= 答案:
2.已知数列 …,Sn为该数列的前n项和,计算得观察上述结果,推测出Sn(n∈N+),并用数学归纳法加以证明.
【解析】推测Sn= (n∈N+).用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,S1= ,等式成立;(2)假设当n=k时等式成立,即Sk= ,那么当n=k+1时,Sk+1=Sk+
也就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知一切n∈N+,等式均成立.
自我纠错　用数学归纳法证明不等式【典例】用数学归纳法证明:(其中n∈N*).
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是证明过程中从n=k到n=k+1的证明错误.正确解答过程如下:
【证明】(1)当n=1时,1<2成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即成立,那么,当n=k+1时,
即当n=k+1时,不等式也成立.综合上述,由(1)(2)知对任意正整数n,不等式 都成立.