高中数学第四讲 数学归纳法证明不等式二 用数学归纳法证明不等式教学设计

课    题：　第15课时    利用平均不等式求最大（小）值

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

1、重要的结论：

已知x，y都是正数，则：

 (1)、如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；

 (2)、如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值。

二、典型例题：

例1、当取什么值时，函数有最小值？最小值是多少？

例2、求函数（）的最小值。

例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算？

分析：

例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上A点的水平距离是，那么电灯距离桌面的高度等于多少时，A点处最亮？（亮度公式：，这里为常数，是电灯到照射点的距离，是照射到某点的光线与水平面所成的角）

分析：

例5、求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？

解一：

∴

解二：当即时

答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）

正确的解法是：

当且仅当即时

例6、若，求的最值。

解：

∵     ∴   

从而  

即。

例7、设且，求的最大值

解：∵    ∴

又

∴

即

例8、已知且，求的最小值

解：

当且仅当即时

三、小结：

四、练习：

1．求下列函数的最值：

1 、    (min=6)

2、   ()

     2．1、时求的最小值，的最小值

2、设，求的最大值(5)

3、若, 求的最大值

4、若且，求的最小值

3．若，求证：的最小值为3

4．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）

2、某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为9千元；汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)?

解：设这种汽车使用n年报废最合算n年汽车的维修总费用为

(万元)

年平均费用y=

当且仅当即n＝10时取等号。

答：这种汽车使用10年报废最合算。