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2020年河北省邯郸市邯山区凌云中学中考数学一模试卷 解析版
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这是一份2020年河北省邯郸市邯山区凌云中学中考数学一模试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列运算结果为正数的是（ ）
A．3÷2B．1+（﹣32）C．0×（﹣2017）D．2﹣3
2．把0.00258写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a+n为（ ）
A．2.58B．5.58C．﹣0.58D．﹣0.42
3．下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．三角形B．平行四边形C．抛物线D．圆
4．下列语句写成数学式子正确的是（ ）
A．9是81的算术平方根：±＝9
B．5是（﹣5）2的算术平方根：±＝5
C．±6是36的平方根：＝±6
D．﹣2是4的负的平方根：﹣＝﹣2
5．图中的三视图所对应的几何体是（ ）
A．B．
C．D．
6．若2n+2n+2n+2n＝26，则n＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（ ）
A．tan60°B．﹣1C．0D．12019
8．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A．B．C．1D．
9．若正比例函数y＝（2k﹣1）x的图象上有一点A（x1，y1），且x1y1＜0，则k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＞C．k＜或k＞D．无法确定
10．如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB和BC；
②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C；
③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；
正确的操作步骤是（ ）
A．②①③④B．②①④③C．①②④③D．①④②③
12．如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（3，0），反比例函数y＝图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是（ ）
A．B．3C．D．4
13．如图是由三个边长分别是2，3和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或4B．2或3C．3或4D．1或2
14．如图，在⊙O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
A．1B．﹣3C．5﹣D．
15．如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则tan∠HAB等于（ ）
A．3B．C．2D．
16．如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（ ）
A．n＝1可以，n＝2，3不可B．n＝2可以，n＝1，3不可
C．n＝1，2可以，n＝3不可D．n＝1，2，3均可
二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）
17．若，则x＝ ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝112°，点E是AD的中点，由作图痕迹可得∠ABE＝ ，若AD＝8，则CD＝ ．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，P是矩形ABCD内一点，沿PA、PB、PC、PD把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积为 ；这个四边形周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有化为最简的代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求m的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式，且结果为常数项，求m的值；
（3）当m＝1时，丙同学卡片上的代数式减甲同学卡片上的代数式等于乙同学卡片上的代数式，求丙同学卡片上的代数式．
甲
乙
丙
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
22．（8分）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）求出样本容量，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
23．（9分）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示）；并验证你得到的等式；
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
24．（9分）佳佳与爸爸星期天同时从家出发，沿同一路线各自步行到距家3000米的公园，到达公园后两人立刻按原路返回．已知佳佳的速度为每分钟v米，爸爸的速度为每分钟米．
（1）当v＝60时
①爸爸比佳佳早到公园 分钟．
②设佳佳出发t分钟后，与爸爸之间的距离为y，两人均在去公园的路上之间的距离为y去，两人均在返回路上之间的距离为y回．求y去、y回与t之间的函数关系式．
（2）求爸爸刚返回家中时，佳佳离家的距离．
25．（10分）如图①半⊙O的直径为4，过点作CO⊥AB，且CO＝4，延长OB到点D，使OD＝3，以OC、OD为邻边作矩形ODEC．
发现：若点P在半⊙O上，则PE的最大值是 ，PE的最小值是 ．
思考：如图②，将半⊙O绕点B逆时针旋转90°得到半⊙O'，求半⊙O'与矩形ODEC重叠部分图形的面积；
探究：若将矩形ODEC沿着过点C的直线翻折，使得边CE所在直线翻折后的对应直线与半⊙O相切，设切点为Q，求点Q到矩形ODEC的边DE的距离．
26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P．
（1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该抛物线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
①求a的值；
②点Q（m，n）在该二次函数的图象上，若点Q到y轴的距离小于2，请直接写出n的取值范围；
（4）已知A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与线段AB有唯一公共点，直接写出a的取值范围．
2020年河北省邯郸市邯山区凌云中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列运算结果为正数的是（ ）
A．3÷2B．1+（﹣32）C．0×（﹣2017）D．2﹣3
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝1.5，符合题意；
B、原式＝1﹣9＝﹣8，不符合题意；
C、原式＝0，不符合题意；
D、原式＝﹣1，不符合题意．
故选：A．
2．把0.00258写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a+n为（ ）
A．2.58B．5.58C．﹣0.58D．﹣0.42
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.00258用科学记数法表示为：2.58×10﹣3．
故a＝2.58，n＝﹣3，
则a+n＝﹣0.42．
故选：D．
3．下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．三角形B．平行四边形C．抛物线D．圆
【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．
【解答】解：A、两个三角形不一定相似，如等边三角形和直角三角形，故此选项不符合题意；
B、两个平行四边形不一定相似，如矩形和菱形，故此选项不符合题意；
C、两条抛物线不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个圆一定相似，故此选项符合题意；
故选：D．
4．下列语句写成数学式子正确的是（ ）
A．9是81的算术平方根：±＝9
B．5是（﹣5）2的算术平方根：±＝5
C．±6是36的平方根：＝±6
D．﹣2是4的负的平方根：﹣＝﹣2
【分析】根据算术平方根和平方根的定义确定正确的答案即可．
【解答】解：A、9是81的算术平方根记作＝9，故本选项错误；
B、5是（﹣5）2的算术平方根记作＝5，故本选项错误；
C、±6是36的平方根：±＝±6，故本选项错误；
D、﹣2是4的负平方根记作：﹣＝﹣2，故本选项正确．
故选：D．
5．图中的三视图所对应的几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先得出各个图形的三视图，对照给出的三视图，找出正确的答案；或者用排除法．
【解答】解：观察图形可知选项B符合三视图的要求．
故选：B．
6．若2n+2n+2n+2n＝26，则n＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据乘法原理以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：∵2n+2n+2n+2n
＝4×2n
＝22×2n
＝22+n
＝26，
∴2+n＝6，
解得n＝4．
故选：C．
7．如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（ ）
A．tan60°B．﹣1C．0D．12019
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：由题意可得：a+|﹣2|＝+20，
则a+2＝3，
解得：a＝1，
故a可以是12019．
故选：D．
8．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，根据方差公式即可得到结论．
【解答】解：∵平均数是12，
∴这组数据的和＝12×7＝84，
∴被墨汁覆盖三天的数的和＝84﹣（11+12+13+12）＝36，
∵这组数据唯一众数是13，
∴被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，
∴S2＝[（11﹣12）2+（12﹣12）2+（10﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（12﹣12）2]＝，
故选：A．
9．若正比例函数y＝（2k﹣1）x的图象上有一点A（x1，y1），且x1y1＜0，则k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＞C．k＜或k＞D．无法确定
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征看得出y1＝（2k﹣1）x1，进而可得出x1y1＝（2k﹣1）x12，再由x12≥0，x1y1＜0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵正比例函数y＝（2k﹣1）x的图象上有一点A（x1，y1），
∴y1＝（2k﹣1）x1，
∴x1y1＝（2k﹣1）x12．
又∵x12≥0，x1y1＜0，
∴2k﹣1＜0，
∴k＜．
故选：A．
10．如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠ABC+∠ACB＝2（180°﹣130°），再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2（180°﹣130°）＝100°，
∴∠BAC＝80°．
故选：C．
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB和BC；
②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C；
③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；
正确的操作步骤是（ ）
A．②①③④B．②①④③C．①②④③D．①④②③
【分析】根据垂径定理解决问题即可．
【解答】解：由题意正确的操作步骤：②①④③，
故选：B．
12．如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（3，0），反比例函数y＝图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是（ ）
A．B．3C．D．4
【分析】先根据勾股定理求出OD的长，再过点C作CF⊥y轴于点F，根据ASA定理得出△CDF≌△DAO，故可得出C点坐标，求出k的值，再求出OH的长，进而可得出E点坐标．
【解答】解：∵Rt△AOD中，OA＝3，AD＝5，
∴OD＝＝＝4．
过点C作CF⊥y轴于点F，
∵∠CDF+∠ADO＝90°，∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠DCF＝∠ADO，
同理，∠CDF＝∠DAO，
在△CDF与△DAO中，
，
∴△CDF≌△DAO（ASA），
∴CF＝OD＝4，DF＝OA＝3，
∴C（4，7）．
∵反比例函数y＝图象经过点C，
∴k＝4×7＝28，
∴反比例函数的解析式为y＝．
∵OH＝OA+AH＝3+5＝8，
∴点E的横坐标为8，
∴y＝＝，
∴点E的纵坐标是．
故选：C．
13．如图是由三个边长分别是2，3和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或4B．2或3C．3或4D．1或2
【分析】根据题意列方程，即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴（2+3+x）×3﹣x•（3﹣x）＝×（2+3+x）×3﹣2×1，
解得x＝1或x＝2，
故选：D．
14．如图，在⊙O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
A．1B．﹣3C．5﹣D．
【分析】如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．想办法求出OH，IH即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．
∵＝，
∴AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，
∴AH＝＝＝9，
设OA＝OB＝x，
在Rt△BOH中，∵OB2＝OH2+BH2，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，
∴OH＝AH﹣AO＝9﹣5＝4，
∵S△ABC＝•BC•AH＝•（AB+AC+BC）•IH，
∴IH＝＝﹣1，
∴OI＝OH﹣IH＝4﹣（﹣1）＝5﹣，
故选：C．
15．如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则tan∠HAB等于（ ）
A．3B．C．2D．
【分析】设正六边形的边长为a，求出BH长，根据正切值算出BH与AB的比即可．
【解答】解：连接BD，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，
∴BD＝a．
∴BH＝DB+DH＝（+1）a．
在Rt△ABH中，tan∠HAB＝＝+1．
故选：B．
16．如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（ ）
A．n＝1可以，n＝2，3不可B．n＝2可以，n＝1，3不可
C．n＝1，2可以，n＝3不可D．n＝1，2，3均可
【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可．
【解答】解：将左边的阴影四边形绕点E顺时针旋转90°右边的阴影四边形，此时n＝1．
左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时n＝2．
左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时n＝3．
故选：D．
二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）
17．若，则x＝ ﹣ ．
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵，
∴x＝．
故答案为：．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝112°，点E是AD的中点，由作图痕迹可得∠ABE＝ 34° ，若AD＝8，则CD＝ 4 ．
【分析】由作图可知，BE平分∠ABC，利用平行线的性质求出∠ABC，即可求出∠ABE，再证明AB＝AE＝4，即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠C＝112°，
∴∠ABC＝180°﹣112°＝68°，
∴∠ABE＝∠ABC＝34°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝ED＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝4，
∴CD＝AB＝4，
故答案为34°，4．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，P是矩形ABCD内一点，沿PA、PB、PC、PD把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积为 30 ；这个四边形周长的最小值为 26 ．
【分析】过P作PH⊥AB于H，反向延长HP交CD于G，由矩形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据矩形的面积公式得到这个四边形的面积＝AB•BC＝＝30，当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，这个四边形周长的值最小，根据勾股定理得AC＝BD＝13，于是得到结论．
【解答】解：过P作PH⊥AB于H，反向延长HP交CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴HG⊥CD，PH+PG＝BC，
∴这个四边形的面积＝AB•BC＝＝30，
当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，这个四边形周长的值最小，根据勾股定理得，AC＝BD＝13，
∴这个四边形周长的最小值为26，
故答案为：30，26．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有化为最简的代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求m的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式，且结果为常数项，求m的值；
（3）当m＝1时，丙同学卡片上的代数式减甲同学卡片上的代数式等于乙同学卡片上的代数式，求丙同学卡片上的代数式．
甲
乙
丙
【分析】（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知mx2＝0，据此求解即可；
（2）根据题意列出算式2x2﹣3x+1﹣（mx2﹣3x﹣2），然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；
（3）根据题意列出算式2x2﹣3x+1+x2﹣3x﹣2，合并同类项即可．
【解答】解：（1）乙同学卡片上的代数式为一次二项式，则mx2＝0，
∴m＝0；
（2）2x2﹣3x+1﹣（mx2﹣3x﹣2）
＝2x2﹣3x+1﹣mx2+3x+2
＝（2﹣m）x2+3，
由题意得结果为常数项，
∴2﹣m＝0，即m＝2；
（3）2x2﹣3x+1+x2﹣3x﹣2＝3x2﹣6x﹣1，
∴丙同学卡片上的代数式为3x2﹣6x﹣1．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2，
∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3．
22．（8分）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）求出样本容量，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）根据B、E两组的发言人数的比求出B组发言人数所占的百分比，再根据条形统计图中B组的人数为10，列式计算即可求出被抽取的学生人数，然后求出C组、F组的人数，补全直方图即可；
（2）根据扇形统计图求出F组人数所占的百分比，再用总人数乘以E、F两组人数所占的百分比，计算即可得解；
（3）分别求出A、E两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，
∴B组发言的人数占20%，
由直方图可知B组人数为10人，
所以，被抽查的学生人数为：10÷20%＝50人，
C组人数为：50×30%＝15人，
B组人数所占的百分比为：×100%＝20%，
F组的人数为：50×（1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%），
＝50×（1﹣90%），
＝50×10%，
＝5，
∴样本容量为50人．补全直方图如图；
（2）F组发言的人数所占的百分比为：10%，
所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：500×（8%+10%）＝90人；
（3）A组发言的学生：50×6%＝3人，所以有1位女生，2位男生，
E组发言的学生：50×8%＝4人，所以有2位女生，2位男生，
列表如下：
画树状图如下：
共12种情况，其中一男一女的情况有6种，
所以P（一男一女）＝＝．
23．（9分）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为 （a+b）2＝a2+2ab+b2 （用含a，b的代数式表示）；并验证你得到的等式；
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）图②的正方形的边长为（a+b），是由1张A卡片，1张B卡片，2张C卡片拼成的，根据面积法可得答案；
（2）计算（2a+b）（a+2b）的结果可得答案；
（3）设AC＝a，BC＝b，可得出a+b＝6，a2+b2＝20，由（1）的结论可求出ab，进而求出三角形的面积．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2，
验证：（a+b）2＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张，
（3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6，
∵S1+S2＝20，
∴a2+b2＝20，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴20＝62﹣2ab，
∴ab＝8，
∴S阴影＝ab＝4．
24．（9分）佳佳与爸爸星期天同时从家出发，沿同一路线各自步行到距家3000米的公园，到达公园后两人立刻按原路返回．已知佳佳的速度为每分钟v米，爸爸的速度为每分钟米．
（1）当v＝60时
①爸爸比佳佳早到公园 12.5 分钟．
②设佳佳出发t分钟后，与爸爸之间的距离为y，两人均在去公园的路上之间的距离为y去，两人均在返回路上之间的距离为y回．求y去、y回与t之间的函数关系式．
（2）求爸爸刚返回家中时，佳佳离家的距离．
【分析】（1）①根据“时间＝路程÷速度”列式计算即可；
②分别求出爸爸去公园所用时间，佳佳去公园所用时间，爸爸到家所用时间即可求解；
（2）根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）①3000÷（60×）﹣3000÷60＝12.5（分钟），
故答案为：12.5；
②爸爸去公园所用时间为：（分钟），佳佳去公园所用时间：3000÷60＝50（分钟），爸爸到家所用时间：3000×2÷（60×）＝75分钟，
故当时，y去＝80t﹣60t＝20t；
当50＜t≤75时，y回＝80×50﹣3000+（80﹣60）（t﹣50）＝20t；
（2）设爸爸刚返回家中时，佳佳离家还有x米，依据题意得，
解得x＝1500，
经检验：x＝1500是原方程的解．
所以，爸爸返回家中时，佳佳离家还有1500米．
25．（10分）如图①半⊙O的直径为4，过点作CO⊥AB，且CO＝4，延长OB到点D，使OD＝3，以OC、OD为邻边作矩形ODEC．
发现：若点P在半⊙O上，则PE的最大值是 ，PE的最小值是 3 ．
思考：如图②，将半⊙O绕点B逆时针旋转90°得到半⊙O'，求半⊙O'与矩形ODEC重叠部分图形的面积；
探究：若将矩形ODEC沿着过点C的直线翻折，使得边CE所在直线翻折后的对应直线与半⊙O相切，设切点为Q，求点Q到矩形ODEC的边DE的距离．
【分析】发现：当P、E、O三点共线时，PE取得最小值；当P与点A重合时，PE取得最大值，即可求解；
思考：连接O'M、O'N，则四边形OFDB是矩形，则O'F＝BD＝OD﹣OB＝3﹣2＝1，则，即∠O'MF＝30°，进而求解；
探究：当点Q在OC上方时，证明四边形HECG是矩形，则HG＝OD＝3，而∠OCQ＝30°，，故，即可求解；当点Q在OC的下方时，同理可得：∠OCQ＝30°，，即可求解．
【解答】解：
发现：当P、E、O三点共线时，PE取得最小值，
由CO＝4，OD＝3知，OE＝5，故PE的最小值为5﹣2＝3；
当P与点A重合时，PE取得最大值，即为＝＝，
故答案为：，3；
思考：如图1，设半圆O'交DE与M、N两点，过点O'作O'F⊥MN于点F，
连接O'M、O'N，则四边形OFDB是矩形，
∴O'F＝BD＝OD﹣OB＝3﹣2＝1，
∴，
∴∠O'MF＝30°，
∴，
∴，
∵AB∥DE，
∴∠BO'M＝∠O'MF＝30°，
同理可得∠AO'N＝30°，
∴半圆O'与矩形ODEC重叠部分图形的面积为；
探究：如图2，当点Q在OC上方时，连接CQ、OQ，
∵CQ是半圆的切线，Q是切点，
∴∠OQC＝90°，
∵OQ＝2，OC＝4，
∴，∠OCQ＝30°，
过点Q作QG∥CE交OC于点G，延长GQ交DE于点H，
则四边形HECG是矩形，
∴HG＝OD＝3，
∵∠OCQ＝30°，，
∴，
∴．
如图3，当点Q在OC的下方时，连接OQ，
过点Q作QG∥CE交OC于点G，延长QG交DE于点H，
同理可得：∠OCQ＝30°，，
综上所述：点Q到矩形ODEC的边DE的距离为或．
26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P．
（1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该抛物线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
①求a的值；
②点Q（m，n）在该二次函数的图象上，若点Q到y轴的距离小于2，请直接写出n的取值范围；
（4）已知A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与线段AB有唯一公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）求得对称轴为直线x＝1，代入解析式即可求得顶点P为（1，﹣4a）；
（2）把解析式变形为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3），令x2﹣2x﹣3＝0，即可解得x1＝﹣1，x2＝3，从而判定抛物线过定点（﹣1，0），（3，0）；
（3）①由题意可知﹣4a＝3，解得a＝﹣；
②由点P到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；
（3）分两种情况讨论，借助图象即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）当时，y＝﹣4a，
∴顶点P为（1，﹣4a）；
（2）是，理由如下：
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3），
令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴该抛物线过定点（﹣1，0），（3，0）；
（3）①∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
∴﹣4a＝3，
解得：；
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∵x＝﹣2时，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣
∴﹣＜n＜3．
（4）y＝ax2﹣2ax﹣3a，
①当抛物线开口向上时，
∵抛物线与线段AB只有一个公共点，
∴抛物线顶点在直线y＝﹣2上，
∴﹣4a＝﹣2，
解得a＝；
②当抛物线开口向下时，
把（5，﹣2）代入得﹣2＝25a﹣10a﹣3a，
解得a＝﹣，
综上，抛物线与线段AB只有一个公共点时，a的取值范围或．
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
13
12
2x2﹣3x+1
mx2﹣3x﹣2
发言次数n
A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
13
12
2x2﹣3x+1
mx2﹣3x﹣2
发言次数n
A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18
1．下列运算结果为正数的是（ ）
A．3÷2B．1+（﹣32）C．0×（﹣2017）D．2﹣3
2．把0.00258写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a+n为（ ）
A．2.58B．5.58C．﹣0.58D．﹣0.42
3．下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．三角形B．平行四边形C．抛物线D．圆
4．下列语句写成数学式子正确的是（ ）
A．9是81的算术平方根：±＝9
B．5是（﹣5）2的算术平方根：±＝5
C．±6是36的平方根：＝±6
D．﹣2是4的负的平方根：﹣＝﹣2
5．图中的三视图所对应的几何体是（ ）
A．B．
C．D．
6．若2n+2n+2n+2n＝26，则n＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（ ）
A．tan60°B．﹣1C．0D．12019
8．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A．B．C．1D．
9．若正比例函数y＝（2k﹣1）x的图象上有一点A（x1，y1），且x1y1＜0，则k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＞C．k＜或k＞D．无法确定
10．如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB和BC；
②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C；
③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；
正确的操作步骤是（ ）
A．②①③④B．②①④③C．①②④③D．①④②③
12．如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（3，0），反比例函数y＝图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是（ ）
A．B．3C．D．4
13．如图是由三个边长分别是2，3和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或4B．2或3C．3或4D．1或2
14．如图，在⊙O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
A．1B．﹣3C．5﹣D．
15．如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则tan∠HAB等于（ ）
A．3B．C．2D．
16．如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（ ）
A．n＝1可以，n＝2，3不可B．n＝2可以，n＝1，3不可
C．n＝1，2可以，n＝3不可D．n＝1，2，3均可
二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）
17．若，则x＝ ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝112°，点E是AD的中点，由作图痕迹可得∠ABE＝ ，若AD＝8，则CD＝ ．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，P是矩形ABCD内一点，沿PA、PB、PC、PD把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积为 ；这个四边形周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有化为最简的代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求m的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式，且结果为常数项，求m的值；
（3）当m＝1时，丙同学卡片上的代数式减甲同学卡片上的代数式等于乙同学卡片上的代数式，求丙同学卡片上的代数式．
甲
乙
丙
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
22．（8分）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）求出样本容量，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
23．（9分）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示）；并验证你得到的等式；
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
24．（9分）佳佳与爸爸星期天同时从家出发，沿同一路线各自步行到距家3000米的公园，到达公园后两人立刻按原路返回．已知佳佳的速度为每分钟v米，爸爸的速度为每分钟米．
（1）当v＝60时
①爸爸比佳佳早到公园 分钟．
②设佳佳出发t分钟后，与爸爸之间的距离为y，两人均在去公园的路上之间的距离为y去，两人均在返回路上之间的距离为y回．求y去、y回与t之间的函数关系式．
（2）求爸爸刚返回家中时，佳佳离家的距离．
25．（10分）如图①半⊙O的直径为4，过点作CO⊥AB，且CO＝4，延长OB到点D，使OD＝3，以OC、OD为邻边作矩形ODEC．
发现：若点P在半⊙O上，则PE的最大值是 ，PE的最小值是 ．
思考：如图②，将半⊙O绕点B逆时针旋转90°得到半⊙O'，求半⊙O'与矩形ODEC重叠部分图形的面积；
探究：若将矩形ODEC沿着过点C的直线翻折，使得边CE所在直线翻折后的对应直线与半⊙O相切，设切点为Q，求点Q到矩形ODEC的边DE的距离．
26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P．
（1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该抛物线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
①求a的值；
②点Q（m，n）在该二次函数的图象上，若点Q到y轴的距离小于2，请直接写出n的取值范围；
（4）已知A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与线段AB有唯一公共点，直接写出a的取值范围．
2020年河北省邯郸市邯山区凌云中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列运算结果为正数的是（ ）
A．3÷2B．1+（﹣32）C．0×（﹣2017）D．2﹣3
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝1.5，符合题意；
B、原式＝1﹣9＝﹣8，不符合题意；
C、原式＝0，不符合题意；
D、原式＝﹣1，不符合题意．
故选：A．
2．把0.00258写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a+n为（ ）
A．2.58B．5.58C．﹣0.58D．﹣0.42
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.00258用科学记数法表示为：2.58×10﹣3．
故a＝2.58，n＝﹣3，
则a+n＝﹣0.42．
故选：D．
3．下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．三角形B．平行四边形C．抛物线D．圆
【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．
【解答】解：A、两个三角形不一定相似，如等边三角形和直角三角形，故此选项不符合题意；
B、两个平行四边形不一定相似，如矩形和菱形，故此选项不符合题意；
C、两条抛物线不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个圆一定相似，故此选项符合题意；
故选：D．
4．下列语句写成数学式子正确的是（ ）
A．9是81的算术平方根：±＝9
B．5是（﹣5）2的算术平方根：±＝5
C．±6是36的平方根：＝±6
D．﹣2是4的负的平方根：﹣＝﹣2
【分析】根据算术平方根和平方根的定义确定正确的答案即可．
【解答】解：A、9是81的算术平方根记作＝9，故本选项错误；
B、5是（﹣5）2的算术平方根记作＝5，故本选项错误；
C、±6是36的平方根：±＝±6，故本选项错误；
D、﹣2是4的负平方根记作：﹣＝﹣2，故本选项正确．
故选：D．
5．图中的三视图所对应的几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先得出各个图形的三视图，对照给出的三视图，找出正确的答案；或者用排除法．
【解答】解：观察图形可知选项B符合三视图的要求．
故选：B．
6．若2n+2n+2n+2n＝26，则n＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据乘法原理以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：∵2n+2n+2n+2n
＝4×2n
＝22×2n
＝22+n
＝26，
∴2+n＝6，
解得n＝4．
故选：C．
7．如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（ ）
A．tan60°B．﹣1C．0D．12019
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：由题意可得：a+|﹣2|＝+20，
则a+2＝3，
解得：a＝1，
故a可以是12019．
故选：D．
8．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，根据方差公式即可得到结论．
【解答】解：∵平均数是12，
∴这组数据的和＝12×7＝84，
∴被墨汁覆盖三天的数的和＝84﹣（11+12+13+12）＝36，
∵这组数据唯一众数是13，
∴被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，
∴S2＝[（11﹣12）2+（12﹣12）2+（10﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（12﹣12）2]＝，
故选：A．
9．若正比例函数y＝（2k﹣1）x的图象上有一点A（x1，y1），且x1y1＜0，则k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＞C．k＜或k＞D．无法确定
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征看得出y1＝（2k﹣1）x1，进而可得出x1y1＝（2k﹣1）x12，再由x12≥0，x1y1＜0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵正比例函数y＝（2k﹣1）x的图象上有一点A（x1，y1），
∴y1＝（2k﹣1）x1，
∴x1y1＝（2k﹣1）x12．
又∵x12≥0，x1y1＜0，
∴2k﹣1＜0，
∴k＜．
故选：A．
10．如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠ABC+∠ACB＝2（180°﹣130°），再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2（180°﹣130°）＝100°，
∴∠BAC＝80°．
故选：C．
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB和BC；
②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C；
③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；
正确的操作步骤是（ ）
A．②①③④B．②①④③C．①②④③D．①④②③
【分析】根据垂径定理解决问题即可．
【解答】解：由题意正确的操作步骤：②①④③，
故选：B．
12．如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（3，0），反比例函数y＝图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是（ ）
A．B．3C．D．4
【分析】先根据勾股定理求出OD的长，再过点C作CF⊥y轴于点F，根据ASA定理得出△CDF≌△DAO，故可得出C点坐标，求出k的值，再求出OH的长，进而可得出E点坐标．
【解答】解：∵Rt△AOD中，OA＝3，AD＝5，
∴OD＝＝＝4．
过点C作CF⊥y轴于点F，
∵∠CDF+∠ADO＝90°，∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠DCF＝∠ADO，
同理，∠CDF＝∠DAO，
在△CDF与△DAO中，
，
∴△CDF≌△DAO（ASA），
∴CF＝OD＝4，DF＝OA＝3，
∴C（4，7）．
∵反比例函数y＝图象经过点C，
∴k＝4×7＝28，
∴反比例函数的解析式为y＝．
∵OH＝OA+AH＝3+5＝8，
∴点E的横坐标为8，
∴y＝＝，
∴点E的纵坐标是．
故选：C．
13．如图是由三个边长分别是2，3和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或4B．2或3C．3或4D．1或2
【分析】根据题意列方程，即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴（2+3+x）×3﹣x•（3﹣x）＝×（2+3+x）×3﹣2×1，
解得x＝1或x＝2，
故选：D．
14．如图，在⊙O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
A．1B．﹣3C．5﹣D．
【分析】如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．想办法求出OH，IH即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．
∵＝，
∴AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，
∴AH＝＝＝9，
设OA＝OB＝x，
在Rt△BOH中，∵OB2＝OH2+BH2，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，
∴OH＝AH﹣AO＝9﹣5＝4，
∵S△ABC＝•BC•AH＝•（AB+AC+BC）•IH，
∴IH＝＝﹣1，
∴OI＝OH﹣IH＝4﹣（﹣1）＝5﹣，
故选：C．
15．如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则tan∠HAB等于（ ）
A．3B．C．2D．
【分析】设正六边形的边长为a，求出BH长，根据正切值算出BH与AB的比即可．
【解答】解：连接BD，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，
∴BD＝a．
∴BH＝DB+DH＝（+1）a．
在Rt△ABH中，tan∠HAB＝＝+1．
故选：B．
16．如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（ ）
A．n＝1可以，n＝2，3不可B．n＝2可以，n＝1，3不可
C．n＝1，2可以，n＝3不可D．n＝1，2，3均可
【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可．
【解答】解：将左边的阴影四边形绕点E顺时针旋转90°右边的阴影四边形，此时n＝1．
左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时n＝2．
左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时n＝3．
故选：D．
二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）
17．若，则x＝ ﹣ ．
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵，
∴x＝．
故答案为：．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝112°，点E是AD的中点，由作图痕迹可得∠ABE＝ 34° ，若AD＝8，则CD＝ 4 ．
【分析】由作图可知，BE平分∠ABC，利用平行线的性质求出∠ABC，即可求出∠ABE，再证明AB＝AE＝4，即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠C＝112°，
∴∠ABC＝180°﹣112°＝68°，
∴∠ABE＝∠ABC＝34°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝ED＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝4，
∴CD＝AB＝4，
故答案为34°，4．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，P是矩形ABCD内一点，沿PA、PB、PC、PD把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积为 30 ；这个四边形周长的最小值为 26 ．
【分析】过P作PH⊥AB于H，反向延长HP交CD于G，由矩形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据矩形的面积公式得到这个四边形的面积＝AB•BC＝＝30，当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，这个四边形周长的值最小，根据勾股定理得AC＝BD＝13，于是得到结论．
【解答】解：过P作PH⊥AB于H，反向延长HP交CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴HG⊥CD，PH+PG＝BC，
∴这个四边形的面积＝AB•BC＝＝30，
当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，这个四边形周长的值最小，根据勾股定理得，AC＝BD＝13，
∴这个四边形周长的最小值为26，
故答案为：30，26．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有化为最简的代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求m的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式，且结果为常数项，求m的值；
（3）当m＝1时，丙同学卡片上的代数式减甲同学卡片上的代数式等于乙同学卡片上的代数式，求丙同学卡片上的代数式．
甲
乙
丙
【分析】（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知mx2＝0，据此求解即可；
（2）根据题意列出算式2x2﹣3x+1﹣（mx2﹣3x﹣2），然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；
（3）根据题意列出算式2x2﹣3x+1+x2﹣3x﹣2，合并同类项即可．
【解答】解：（1）乙同学卡片上的代数式为一次二项式，则mx2＝0，
∴m＝0；
（2）2x2﹣3x+1﹣（mx2﹣3x﹣2）
＝2x2﹣3x+1﹣mx2+3x+2
＝（2﹣m）x2+3，
由题意得结果为常数项，
∴2﹣m＝0，即m＝2；
（3）2x2﹣3x+1+x2﹣3x﹣2＝3x2﹣6x﹣1，
∴丙同学卡片上的代数式为3x2﹣6x﹣1．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2，
∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3．
22．（8分）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）求出样本容量，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）根据B、E两组的发言人数的比求出B组发言人数所占的百分比，再根据条形统计图中B组的人数为10，列式计算即可求出被抽取的学生人数，然后求出C组、F组的人数，补全直方图即可；
（2）根据扇形统计图求出F组人数所占的百分比，再用总人数乘以E、F两组人数所占的百分比，计算即可得解；
（3）分别求出A、E两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，
∴B组发言的人数占20%，
由直方图可知B组人数为10人，
所以，被抽查的学生人数为：10÷20%＝50人，
C组人数为：50×30%＝15人，
B组人数所占的百分比为：×100%＝20%，
F组的人数为：50×（1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%），
＝50×（1﹣90%），
＝50×10%，
＝5，
∴样本容量为50人．补全直方图如图；
（2）F组发言的人数所占的百分比为：10%，
所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：500×（8%+10%）＝90人；
（3）A组发言的学生：50×6%＝3人，所以有1位女生，2位男生，
E组发言的学生：50×8%＝4人，所以有2位女生，2位男生，
列表如下：
画树状图如下：
共12种情况，其中一男一女的情况有6种，
所以P（一男一女）＝＝．
23．（9分）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为 （a+b）2＝a2+2ab+b2 （用含a，b的代数式表示）；并验证你得到的等式；
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）图②的正方形的边长为（a+b），是由1张A卡片，1张B卡片，2张C卡片拼成的，根据面积法可得答案；
（2）计算（2a+b）（a+2b）的结果可得答案；
（3）设AC＝a，BC＝b，可得出a+b＝6，a2+b2＝20，由（1）的结论可求出ab，进而求出三角形的面积．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2，
验证：（a+b）2＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张，
（3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6，
∵S1+S2＝20，
∴a2+b2＝20，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴20＝62﹣2ab，
∴ab＝8，
∴S阴影＝ab＝4．
24．（9分）佳佳与爸爸星期天同时从家出发，沿同一路线各自步行到距家3000米的公园，到达公园后两人立刻按原路返回．已知佳佳的速度为每分钟v米，爸爸的速度为每分钟米．
（1）当v＝60时
①爸爸比佳佳早到公园 12.5 分钟．
②设佳佳出发t分钟后，与爸爸之间的距离为y，两人均在去公园的路上之间的距离为y去，两人均在返回路上之间的距离为y回．求y去、y回与t之间的函数关系式．
（2）求爸爸刚返回家中时，佳佳离家的距离．
【分析】（1）①根据“时间＝路程÷速度”列式计算即可；
②分别求出爸爸去公园所用时间，佳佳去公园所用时间，爸爸到家所用时间即可求解；
（2）根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）①3000÷（60×）﹣3000÷60＝12.5（分钟），
故答案为：12.5；
②爸爸去公园所用时间为：（分钟），佳佳去公园所用时间：3000÷60＝50（分钟），爸爸到家所用时间：3000×2÷（60×）＝75分钟，
故当时，y去＝80t﹣60t＝20t；
当50＜t≤75时，y回＝80×50﹣3000+（80﹣60）（t﹣50）＝20t；
（2）设爸爸刚返回家中时，佳佳离家还有x米，依据题意得，
解得x＝1500，
经检验：x＝1500是原方程的解．
所以，爸爸返回家中时，佳佳离家还有1500米．
25．（10分）如图①半⊙O的直径为4，过点作CO⊥AB，且CO＝4，延长OB到点D，使OD＝3，以OC、OD为邻边作矩形ODEC．
发现：若点P在半⊙O上，则PE的最大值是 ，PE的最小值是 3 ．
思考：如图②，将半⊙O绕点B逆时针旋转90°得到半⊙O'，求半⊙O'与矩形ODEC重叠部分图形的面积；
探究：若将矩形ODEC沿着过点C的直线翻折，使得边CE所在直线翻折后的对应直线与半⊙O相切，设切点为Q，求点Q到矩形ODEC的边DE的距离．
【分析】发现：当P、E、O三点共线时，PE取得最小值；当P与点A重合时，PE取得最大值，即可求解；
思考：连接O'M、O'N，则四边形OFDB是矩形，则O'F＝BD＝OD﹣OB＝3﹣2＝1，则，即∠O'MF＝30°，进而求解；
探究：当点Q在OC上方时，证明四边形HECG是矩形，则HG＝OD＝3，而∠OCQ＝30°，，故，即可求解；当点Q在OC的下方时，同理可得：∠OCQ＝30°，，即可求解．
【解答】解：
发现：当P、E、O三点共线时，PE取得最小值，
由CO＝4，OD＝3知，OE＝5，故PE的最小值为5﹣2＝3；
当P与点A重合时，PE取得最大值，即为＝＝，
故答案为：，3；
思考：如图1，设半圆O'交DE与M、N两点，过点O'作O'F⊥MN于点F，
连接O'M、O'N，则四边形OFDB是矩形，
∴O'F＝BD＝OD﹣OB＝3﹣2＝1，
∴，
∴∠O'MF＝30°，
∴，
∴，
∵AB∥DE，
∴∠BO'M＝∠O'MF＝30°，
同理可得∠AO'N＝30°，
∴半圆O'与矩形ODEC重叠部分图形的面积为；
探究：如图2，当点Q在OC上方时，连接CQ、OQ，
∵CQ是半圆的切线，Q是切点，
∴∠OQC＝90°，
∵OQ＝2，OC＝4，
∴，∠OCQ＝30°，
过点Q作QG∥CE交OC于点G，延长GQ交DE于点H，
则四边形HECG是矩形，
∴HG＝OD＝3，
∵∠OCQ＝30°，，
∴，
∴．
如图3，当点Q在OC的下方时，连接OQ，
过点Q作QG∥CE交OC于点G，延长QG交DE于点H，
同理可得：∠OCQ＝30°，，
综上所述：点Q到矩形ODEC的边DE的距离为或．
26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P．
（1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该抛物线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
①求a的值；
②点Q（m，n）在该二次函数的图象上，若点Q到y轴的距离小于2，请直接写出n的取值范围；
（4）已知A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与线段AB有唯一公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）求得对称轴为直线x＝1，代入解析式即可求得顶点P为（1，﹣4a）；
（2）把解析式变形为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3），令x2﹣2x﹣3＝0，即可解得x1＝﹣1，x2＝3，从而判定抛物线过定点（﹣1，0），（3，0）；
（3）①由题意可知﹣4a＝3，解得a＝﹣；
②由点P到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；
（3）分两种情况讨论，借助图象即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）当时，y＝﹣4a，
∴顶点P为（1，﹣4a）；
（2）是，理由如下：
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3），
令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴该抛物线过定点（﹣1，0），（3，0）；
（3）①∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
∴﹣4a＝3，
解得：；
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∵x＝﹣2时，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣
∴﹣＜n＜3．
（4）y＝ax2﹣2ax﹣3a，
①当抛物线开口向上时，
∵抛物线与线段AB只有一个公共点，
∴抛物线顶点在直线y＝﹣2上，
∴﹣4a＝﹣2，
解得a＝；
②当抛物线开口向下时，
把（5，﹣2）代入得﹣2＝25a﹣10a﹣3a，
解得a＝﹣，
综上，抛物线与线段AB只有一个公共点时，a的取值范围或．
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
13
12
2x2﹣3x+1
mx2﹣3x﹣2
发言次数n
A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18
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二
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四
五
六
个数
11
12
13
12
2x2﹣3x+1
mx2﹣3x﹣2
发言次数n
A
0≤n＜3
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3≤n＜6
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6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18
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