5.1 任意角和弧度制-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第一册）

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主要命题方向
1. 任意角；2. 终边相同的角；3. 终边在某条直线上的角的集合；4. 区域角的表示；5. 分角、倍角所在角限的判断；6. 有关“角度”与“弧度”概念的理解；7. 角度制与弧度制的转化； 8. 用弧度制表示区域角；9. 求扇形面积最值的函数思想.
配套提升训练
一、单选题
1．（2019·伊美区第二中学高一月考）化为弧度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
2．（2020·广东高一期末）下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ）
A．41°B．129°C．219°D．﹣231°
【答案】C
【解析】
因为，
所以与2019°终边相同.
故选：C.
3．（2020·永昌县第四中学高一期末）若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】
∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α∴k·360°＋90°<180°＋α故选B.
4．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ）
A．4B．1C．D．2
【答案】D
【解析】
圆心角为，设扇形的半径为，
，
解得.
故选：D
5．（2020·永州市第四中学高一月考）在的范围内，与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为,
则在的范围内，与终边相同的角是,
故选：B.
6．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）．
A．8cm2B．10cm2C．12cm2D．14cm2
【答案】A
【解析】
设扇形的半径为cm，
∵扇形的周长为12cm，圆心角为，
∴，得，
∴此扇形的面积（cm2），
故选：A．
7．（2020·河南林州一中高一月考）已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )
A．{α|α为锐角}B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角}D．以上都不对
【答案】D
【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，
∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，
对于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；
对于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；
对于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，
故选D．
8．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，所以，
故选：C.
9.（2020·山东潍坊�高一期末）已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，某扇形的半径为，圆心角为，
根据扇形的面积公式，可得
所以此扇形的面积为.
故选：B.
10．（2020·四川德阳�高三其他（理））将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（ ）
（1）曲线不是等宽曲线；
（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；
（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；
（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；
（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，
（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；
（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；
（3）根据（2）得（3）错误；
（4）曲线的周长为，圆的周长为，故它们的周长相等，正确；
（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为，
正三角形的面积，
则一个弓形面积，
则整个区域的面积为，
而圆的面积为，不相等，故错误；
综上，正确的有2个，
故选：B.
二、多选题
11.（2019·涟水县第一中学高一月考）下列四个选项正确的有（ ）
A．角是第四象限角B．角是第三象限角
C．角是第二象限角D．是第一象限角
【答案】ABCD
【解析】
对于如图1所示，角是第四象限角；
对于如图2所示，角是第三象限角；
对于如图3所示，角是第二象限角；
对于如图4所示，角是第一象限角.
故选：.
12．（2020·全国高一课时练习）下列与角的终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】
因为，
所以与角的终边相同角为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，选项A、C、D正确.
故选：ACD.
13．（2020·全国高一课时练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
E.
【答案】BE
【解析】假设、为内的角，
如图所示，因为、的终边关于轴对称，所以，所以B满足条件；
结合终边相同的角的概念，可得，所以E满足条件，ACD都不满足条件．
故选：BE.
14．（2020·重庆高一月考）设是第三象限角，则所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】BD
【解析】是第三象限角，
，，
则，，
令，
有，；在二象限；
，，
有，；在四象限；
故选：B．
三、填空题
15．（2020·宁县第二中学高一期中）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么________.
【答案】.
【解析】
在范围内，终边落在阴影内的角满足：或
满足题意的角为：
，，
本题正确结果：
16．（2018·福建高一期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．
【答案】4
【解析】
设扇形半径为，弧长为，则，解得．
17．（2020·上海杨浦�复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度
【答案】
【解析】
设扇形的所在圆的半径为，圆心角为，
因为扇形的面积为1，弧长也为1，
可得，即，解得.
故答案为：
四、双空题
18．（2020·上海高一课时练习）_________弧度；弧度=________.
【答案】 80°
【解析】
根据角度制与弧度制的互化公式，
可得，.
故答案为：，.
19．（2020·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.
【答案】②
【解析】
（1）①锐角的范围为是第一象限的角，命题①正确；
②第一象限角的范围为，故第一象限角可以为负角，故②错误；
③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；
故答案为：②
（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过，即转过的度数为
故答案为：
20．（2020·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
【答案】6 12π﹣9
【解析】
∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.
∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，
∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，
∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．
故答案为：6，12π﹣9．
21．（2019·宁波市北仑中学高一期中）已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.
【答案】2 100
【解析】
设扇形半径为，则其弧长为，，∴．
∴，
∴时，．此时圆心角为．
故答案为：2；100．
五、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
【答案】{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析
【解析】
与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴ (k∈Z)，故取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.
23.（2020·全国高一课时练习）写出终边在直线上的角的集合.
【答案】
【解析】
直线的倾斜角为，
所以终边在直线上的角为或，
，
综合得终边在直线上的角为，
所以终边在直线上的角的集合为.
24.（2020·全国高一课时练习）已知为第二象限角，则是第几象限角？
【答案】第一或第三象限角
【解析】
∵是第二象限角，∴，
∴
.当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．
所以第一或第三象限角.
点睛:
确定终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；
(2)写出的范围；(3)根据的可能取值讨论确定的终边所在位置
25．（2020·全国高一课时练习）已知如图．
（1）写出终边落在射线、上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
【答案】（1）终边落在射线上的角的集合为，终边落在射线上的角的集合为；
（2）.
【解析】
（1）终边落在射线上的角的集合是，
终边落在射线上的角的集合；
（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是.
26．（2020·全国高一课时练习）已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：
（1）弧AB的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
【答案】（1）4π；（2）12π－9.
【解析】
（1）l＝α·R＝π×6＝4π，
所以弧AB的长为4π.
（2）S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，
所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，
于是有S△OAB＝×AB×OD
＝×2×6cs 30°×3＝9.
所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
所以弓形的面积是12π－9.
27．（2020·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
，，，
.
（2）设扇形弧长为l，则，即，
∴扇形面积，
∴当时，S有最大值，此时，.
因此当时，这个扇形面积最大.
点睛:
当周长C为定值时可得面积
当面积为定值时可得周长.