专题26 三次函数的图像与性质-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

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专题26 三次函数的图像与性质
一、题型选讲
题型一 、三次函数的切线问题
三次函数的切线问题关键就是求出切线的斜率以及切点，要注意切点的横坐标、斜率以及切线方程的密切联系。
例1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线和曲线E：交于三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，则过点可作曲线E的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】直线过定点
由题意可知：定点是曲线的对称中心，
，解得，所以曲线，
f′（x）= ，设切点M（x0，y0），
则M纵坐标y0=，又f′（x0）=，
∴切线的方程为：
又直线过定点，
得﹣-2=0，，
即解得：
故可做两条切线
故选C
例2、【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　　　）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x
【答案】D
【解析】：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，
可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，
曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．
故选：D．

题型二、 运用三次函数的图像研究零点问题
遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.
例3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数若函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【解析】：函数恰有2个不同的零点，即方程恰有2个不相等的根，亦即方程（Ⅰ）和（Ⅱ）共有2个不相等的根.
首先（Ⅰ）中，即，若，则都是方程的根，不符合题意，所以，因此（Ⅰ）中由解得，下面分情况讨论
（1）若是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足，即，此时方程（Ⅱ）必须再有唯一的一个根，即有唯一根，因为，由，得必须有满足的唯一根，首先，其次解得的负根需满足，从而解得，
（2）若不是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足，即，此时方程（Ⅱ）必须有两个不相等的根，即有两个不相等的根，由，得适合，另外还有必须一满足的非零实根，首先，解得的正根需满足，从而解得，但前面已经指出，故，
综合（1）、（2），得实数的取值范围为.
例4、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝当x∈(－∞，m]时，f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m的取值范围是________．
【答案】 [－2,8]　
【解析】思路分析 由于f(x)的解析式是已知的，因此，可以首先研究出函数f(x)在R上的单调性及相关的性质，然后根据f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，求出它的值等于－16时的x的值，借助于函数f(x)的图像来对m的取值范围进行确定．
当x≤0时，f(x)＝12x－x3，所以f′(x)＝12－3x2.令f′(x)＝0，则x＝－2(正值舍去)，所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x∈(－2,0]时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，故函数f(x)在x≤0时的极小值为f(－2)＝－16.当x＞0时，f(x)＝－2x单调递减，f(0)＝0，f(8)＝－16，因此，根据f(x)的图像可得m∈[－2,8]．

解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质，然后由此画出函数的图像，借助于函数的图像可以有效地进行解题，这就是数形结合的魅力．

题型三、三次函数的单调性问题
研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。要特别注意含参的讨论。
例5、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－1]∪
由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．
函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|＝|(x＋1)2(x－a)|＝|x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a|.
令g(x)＝x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a，则
g′(x)＝3x2＋(4－2a)x＋1－2a＝(x＋1)(3x＋1－2a)．
令g′(x)＝0得x1＝－1，x2＝.
①当0，解得x－1；令g′(x)0，解得x；令g′(x)1，
所以2x2−4x+30,f(1)=c+14>0，
又f(−4c)=−64c3+3c+c=4c(1−16c2)