专题04 函数的性质-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

专题04 函数的性质

一、题型选讲

题型一 、 函数的奇偶性

正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．

例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数是上的奇函数，当时，，则当时，（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】时，.

当时，，，

由于函数是奇函数，，

因此，当时，，故选C.

例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（    ）

A．-15 B．-7 C．3 D．15

【答案】A

【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称

则,解得

因为奇函数当时,

则

故选:A

例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数是奇函数，则使的的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，函数是奇函数，则，

即，可得，

则，有，解可得，

即函数的定义域为，

设，则，

，则在上为增函数，而在上为增函数，则在上为增函数，

若，即，解可得，

则，即，解得，

又由，则有，

即的取值范围为；

故选：A.

例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，

所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，

故选D．

题型二、函数的单调性

已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数.简称：同增异减.

例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数在上为单调増函数，则实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】函数在上为单调増函数，

需，解得.
故答案为：.

例6、函数的单调递增区间是      

【答案】

【解析】思路：先分析的定义域：，再观察解析式可得可视为函数的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，可分别分析两个函数的单调性，对于而言，对是减函数。所以如要求得增区间，则中对也应为减函数。结合定义域可得的单调增区间为

例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．

【答案】

【解析】根据已知条件：当时，有恒成立，得函数是定义在上的减函数，

又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，

所以，即.

故答案为：.

题型三、 函数的周期性

1、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期

2、函数周期性的判定：

（1）：可得为周期函数，其周期

（2）的周期

（3）的周期

（4）（为常数）的周期

（5）（为常数）的周期

例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x∈(0，4]时，f(x)＝则f的值为________．

【答案】 0

【解析】因为函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝log22＝1，故f＝f(1)＝cos＝0.

例9、(2017南京三模）已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数．

当x∈[2，4]时，f(x)＝|log4(x－)|，则f()的值为   ▲   ．

【答案】      

【解析】由题意可得：

题型四  函数的对称性

函数的对称性要注意一下三点：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称

 （3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：

（1）可利用对称性求得某些点的函数值

（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像

（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称

（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同

例10、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】是定义在上的奇函数，

的图像关于直线对称，

，

，

是周期为的周期函数，

.

故选:C.

例11、（2018年徐州模拟）已知，方程在内有且只有一个，则在区间   内根的个数为      

【答案】2018

【解析】，可得关于轴对称，因为在内有且只有一个零点，所以由对称性可得在只有两个零点。所以一个周期中含有两个零点，区间共包含1009个周期，所以有2018个零点

例12、（2019年宿迁中学模拟）已知定义在上的函数满足：，当时，，则______________

【答案】-

【解析】：由可得：关于中心对称，由可得：关于轴对称，所以可求出的周期，则

题型五、单调性与奇偶性的结合

例13、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)

A．是偶函数，且在单调递增    B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

故选：D．

本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.

例14、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则

A．（log3）＞（）＞（） 

B．（log3）＞（）＞（）

C．（）＞（）＞（log3）

D．（）＞（）＞（log3）

【答案】C

【解析】是定义域为的偶函数，．

，

又在(0，+∞)上单调递减，

∴，

即.

故选C．

例15、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（    ）

A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称

C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数

【答案】ABC

【解析】因为，所以，即，故A正确；

因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；

又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；

因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.

故选：ABC.

二、达标训练

1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.

对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.

对于C选项，为奇函数，不符合题意.

对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.

故选：AD.

2、【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是

A．    B．  

C．    D．

【答案】D

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或.

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D．

3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是

A．  B．  

C．   D．

【答案】B

【解析】∵，．

∵时，；

∴时，，；

∴时，，，

如图：

当时，由解得，，

若对任意，都有，则.

则m的取值范围是.

故选B.

4、【2020年高考江苏】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则的值是   ▲    ．

【答案】

【解析】，因为为奇函数，所以

故答案为：

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．

【答案】

【解析】由题意知是奇函数，且当时，，

又因为，，

所以，

两边取以为底数的对数，得，

所以，即．

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．

6、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【答案】

【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.

若函数为奇函数，则即，

即对任意的恒成立，

则，得.

若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，

即在R上恒成立，

又，则，

即实数的取值范围是.

7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】

是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，

，

则不等式等价为不等式，

即，

即不等式的解集为，

故答案为：.

8、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.

【答案】-2

【解析】因为图像关于对称，则，

，

故是以8为周期的周期函数，

故答案为：.

9、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）函数为定义在上的奇函数，则____________________，_________________.

【答案】       

【解析】

根据题意，为定义在上的奇函数，

则有，解可得：，

则，

则；

故答案为：；.

10、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知表示不超过的最大整数，如，，.令，，则下列说法正确的是__________.

①是偶函数       

②是周期函数

③方程有4个根   

④的值域为

【答案】②③

【解析】，

显然，所以不是偶函数，所以①错误；

，所以是周期为1的周期函数，

所以②正确；

作出函数的图象和的图象：

根据已推导是周期为1的周期函数，只需作出在的图象即可，当时，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示：

可得值域为，函数的图象和的图象一共4个交点，即方程有4个根，

所以③正确，④错误；

故答案为：②③

11、.（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）设函数，则不等式的解集为_____________.

【答案】

【解析】因为,所以,

所以函数为奇函数,

因为(当且仅当时,等号成立)

所以函数为上的递增函数,

所以不等式可化为,

所以根据函数为奇函数可化为,

所以根据函数为增函数可化为,

可化为,可化为,

解得:,

所以不等式的解集为:.

故答案为

12、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）已知是定义在上的偶函数.当时，，则不等式的解集为_______.

【答案】

【解析】是定义在上的偶函数，不等式等价为，

当时，，则函数为增函数，

由，得，即（4），

则不等式等价为，则，

即，即，即不等式的解集为，故答案为：