专题36 运用裂项相消法求和-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

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①eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1). ②eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
③eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))). ④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
⑤eq \f(1,nn＋1n＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).
一、题型选讲
例1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
例2、（华南师大附中2021届高三综合测试）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知Sn为等差数列的前n项和，若 ．
(1)求an；
(2)令，求数列的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例3、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列的前n项和满足，且.
（1）求数列的前n项和及通项公式；
（2） 记，为的前n项和，求．
例4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
例5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知数列的前n项和满足，且.
（1）求数列的前n项和，及通项公式；
（2）记，为的前n项和，求.
例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.
(1)求;
(2)设，求的前项和.
例7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中，有.
（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
二、达标训练
1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列an的前n项和为Sn，且an>0，4Sn=an2+2an.
（1）求数列an的通项公式；
（2）若bn=S1−SnSn⋅S1，求数列bn的前n项和Tn.
2、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，，.
（1）试问数列是否为等差数列？为什么？
（2）求数列的前项和.
3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列满足,前7项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
4、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列和等比数列满足：
(I)求数列和的通项公式；
(II)求数列的前项和.
5、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列的前n项和为成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和.
6、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一））已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－eq \s\d1(\f(1,2)))．
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝eq \s\d1(\f(Sn,2n＋1))，求数列{bn}的前n项和Tn．