专题40 概率中的单调性与最值问题-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

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一、题型选讲
题型一 、概率中的单调性问题
例1、【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，
A．增大B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
【答案】D
【解析】方法1：由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
方法2：则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
例2、【2018年高考浙江卷】设，随机变量ξ的分布列是
则当p在（0，1）内增大时，
A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小
【答案】D
【解析】∵E(ξ)=0×1−p2+1×12+2×p2=p+12，∴D(ξ)=1−p2(0−p−12)2+12(1−p−12)2+p2(2−p−12)2=−p2+p+14，∵12∈(0，1)，∴D(ξ)先增大后减小，故选D．
例3、【2020年高考山东】（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.
.
由于，所以，所以，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
题型二、概率中的最值问题
例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）随机变量的可能值有1，2，3，且，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】随机变量的可能值有1，2，3，且，，
可得：，
由，可得
所以．
，
当时，的最大值为1．
故选：D．
例5、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）随机变量的分布列如下：
其中，，成等差数列，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，成等差数列，
，
.
则的最大值为
例6、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知，两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球（），若从，盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】B
【解析】可能值为，，
，
，
分布列为
，
，当且仅当时，等号成立.
故选:B.
例7、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）随机变量的分布列如下：
其中，，成等差数列，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，成等差数列，∴，∵，∴，，
∴，
则
，
当时取等号．
则的最大值为.
故选：D.
例8、（2020届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.
产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示.
以频率作为概率解决如下问题：
（1）求实数的值；
（2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；
（3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.
【答案】（1）；（2）见解析（3）年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.
【解析】
（1）由题意得，解得；
（2）当产品品质为优时频率为，此时价格为；
当产品品质为中时频率为，此时价格为；
当产品品质为差时频率为，此时价格为；
以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：
（3）设公司年利润为，则
整理得，
显然当时，，时，，
∴当年产量时，取得最大值.
估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.
二、达标训练
1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
A．0.7B．0.6
C．0.4D．0.3
【答案】B
【解析】∵，∴或，
，
，可知，故．故选B．
2、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设，随机变量的分布列如下表所示
已知，则当在内增大时，的变化情况（ ）
A．先增大再减小B．先减小再增大
C．增大D．减小
【答案】D
【解析】由分布列的性质可得.
，
.
当在内增大时，减小．
故选：.
3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知，随机变量，的分布列如表所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】，，
，由，所以，
故选：B.
4、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x，P(ξ=1) =1-x，若则（ ）
A．E(ξ)随着x的增大而增大，D (ξ)随着x的增大而增大
B．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大
C．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而减小
D．E(ξ)随着x的增大而增大，D(ξ)随着x的增大而减小
【答案】B
【解析】依题意，在区间上是减函数.
，注意到函数的开口向下，对称轴为，所以在区间上是增函数，也即在区间上是增函数.
故选：B
5、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知a，b为实数，随机变量X，Y的分布列如下：
若，随机变量满足，其中随机变量相互独立，则取值范围的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知，，所以，即，又，故
，所以，又随机变量的可能取值为-1，0，1，则，，
，
列出随机变量的分布列如下：
所以.
故选：B.
6、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：
则当在内增大时（ ）
A．减小，增大B．减小，减小
C．增大，增大D．增大，减小
【答案】D
【解析】，
，，，
，
，
，
当在内增大时，增大，减小，
故选：D．
7、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知随机变量X的分布列如下表：
其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由X的分布列可得X的期望为,
又,
所以X的方差
,
因为,所以当且仅当时,取最大值,
又对所有成立,
所以,解得,
故选:D.
8、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设，随机变量的分布列是：
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大
【答案】A
【解析】根据随机变量的分布列，
则
＝
＝
由于函数的图象为关于的开口方向向下的抛物线，且，函数的对称轴为，
故增大.
故选：A.ξ
0
1
2
P
-1
0
1
1
2
3
产品品质
立品尺寸的范围
价格与产量的函数关系式
优
中
差
0.5
0.2
0.3
1
2
3
X
-1
0
1
Y
-1
0
1
P
P
a
b
c
-1
0
1
P
-1
1
-1
1
X
0
1
P
a
b
c
0
1