专题42 圆锥曲线中的向量问题-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

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一、题型选讲
题型一 、有向量关系求圆锥曲线的离心率
例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______.
例3、（2019届全国100所名校最新高考模拟示范卷）椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为Fc,0，直线x−22y=0与C相交于A、B两点.若AF⋅BF=0，则椭圆C的离心率为______.
题型二、求向量数量积的范围
例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．
例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2) ①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；
②求eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))的取值范围．
例6、(2019苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－eq \r(2)的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1) 求椭圆C1的离心率；
(2) 若椭圆C1的短轴长为 8，求eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值．
题型二、由向量关系求参数的范围
例7、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.
(1) 若点C的横坐标为－1，求点P的坐标；
(2) 若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AQ,\s\up6(→))，求λ的取值范围．
例8、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，，求证：为定值．
题型三、与向量有关的其它应用
例9、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
例10、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
二、达标训练
1、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，设过右焦点且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为__________.
2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，若，，则的离心率为___________.
3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线的焦点为，准线，是上一点， 是直线与的一个交点，若，则__________.
4、（2019·山东高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.
（1）求的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.
5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足，过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为.
（1）求：的值；
（2）证明：为定值.
6、(2017南京、盐城二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,b2)＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 过点O且平行于l的直线交椭圆C于M，N两点，求eq \f(AT·BT,MN2)的值；
(3) 记直线l与y轴的交点为P，若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(TB,\s\up6(→))，求直线l的斜率k.
7、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.