专题39 数列中的探索性问题-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

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数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
一、题型选讲
题型一 、数列中项存在的问题
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由得，解得，
；
（2），
， ，
若，则，整理得，
又，，整理得，
解得，
又，，，
∴存在满足题意．
例2、（江苏省响水中学2020年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在①，，成等比数列，且；②，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列是公差不为0的等差数列，，其前n项和为，数列的前n项和为，若 ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
（3）设等比数列的首项为2，公比为，其前项和为，若存在正整数，使得，求的值.
【解析】（1）选① ，选② …………4分
（2） ………………………………………………8分
（3）由（1）可得，，
由，得，
所以，
因为，所以，即，
由于，所以，
当时，，
当时，，
所以的值为 ………………………………12分
例3、(2018无锡期末）已知数列{an}满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a1)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a2)))·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,an)))＝eq \f(1,an)，n∈N*，Sn是数列{an}的前n项和．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；
(3) 是否存在k∈N*，使得eq \r(akak＋1＋16)为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1) 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a1)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a2)))·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,an)))＝eq \f(1,an)，n∈N*，
所以当n＝1时，1－eq \f(1,a1)＝eq \f(1,a1)，所以a1＝2，(1分)
当n≥2时，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a1)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a2)))·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,an)))＝eq \f(1,an)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a1)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a2)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,an－1)))＝eq \f(1,an－1)，两式相除可得1－eq \f(1,an)＝eq \f(an－1,an)，即an－an－1＝1(n≥2)，
所以，数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，
于是，an＝n＋1.(4分)
(2) 因为ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ap＋Sq＝60，,apSq＝182，))于是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ap＝6，,Sq＝54，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ap＝54，,Sq＝6.))(7分)
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ap＝6，,Sq＝54))时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＋1＝6，,\f(（q＋3）q,2)＝54，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝5，,q＝9，))
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ap＝54，,Sq＝6))时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＋1＝54，,\f(（q＋3）q,2)＝6，))无正整数解，
所以p＝5，q＝9.(10分)
(3)假设存在满足条件的正整数k，使得eq \r(akak＋1＋16)＝am(m∈N*)，则eq \r(（k＋1）（k＋2）＋16)＝m＋1，
平方并化简得，(2m＋2)2－(2k＋3)2＝63，(11分)
则(2m＋2k＋5)(2m－2k－1)＝63，(12分)
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋2k＋5＝63，,2m－2k－1＝1，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋2k＋5＝21，,2m－2k－1＝3，))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋2k＋5＝9，,2m－2k－1＝7，))(14分)
解得m＝15，k＝14或m＝5，k＝3或m＝3，k＝－1(舍去)．
综上所述，k＝3或14.(16分)
题型二、 数列中的等差数列或者等比数列的存在问题
例4、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）已知正项数列的前项和为,,，其中为常数．
(1)证明：
(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明：因为，，
所以，所以
因为，所以，所以，
所以（6分）
(2)解：因为，所以，
两式相减，得
因为，即，
所以，由，得 若是等比数列，则，
即，解得 经检验，符合题意.
故存在，使得数列为等比数列． (12分)
例5、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝aeq \\al(2,n)＋an，数列{bn}满足b1＝eq \f(1,2)，2bn＋1＝bn＋eq \f(bn,an).
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 设数列{cn}满足cn＝eq \f(bn＋2,Sn)，求和c1＋c2＋…＋cn；
(3) 是否存在正整数p，q，r(pa1，而此时有mn＝mn－1＝a1，不合题意，故两不等式中至少有一个取等号．
①若d′>0，则必有Mn>Mn－1，所以an＝Mn>Mn－1≥an－1，即对n≥2，n∈N*，都有an>an－1，
所以Mn＝an，mn＝a1，bn－bn－1＝eq \f(Mn＋mn,2)－eq \f(Mn－1＋mn－1,2)＝eq \f(an＋a1,2)－eq \f(an－1＋a1,2)＝eq \f(an－an－1,2)＝d′，
所以an－an－1＝2d′，即{an}为等差数列．(7分)
②若d′