高考数学一轮细讲精练【选修4-2】矩阵与变换

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[最新考纲]
1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．
2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．
3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质．
4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．
5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.
知 识 梳 理
1．矩阵的乘法规则
(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(b11),\s\d15(b21))))的乘法规则：
[a11 a12]eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(b11),\s\d15(b21))))＝[a11×b11＋a12×b21]．
(2)二阶矩阵eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a11),\s\d15(a21)) \(\s\up15(a12),\s\d15(a22))))与列向量eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(x0),\s\d15(y0))))的乘法规则：
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a11),\s\d15(a21)) \(\s\up15(a12),\s\d15(a22))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(x0),\s\d15(y0))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a11×x0＋a12×y0),\s\d15(a21×x0＋a22×y0)))).
设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则
①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；
③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a11),\s\d15(a21)) \(\s\up15(a12),\s\d15(a22))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(b11),\s\d15(b21)) \(\s\up15(b12),\s\d15(b22))))＝
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a11×b11＋a12×b21),\s\d15(a21×b11＋a22×b21)) \(\s\up15(a11×b12＋a12×b22),\s\d15(a21×b12＋a22×b22))))
性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩阵的乘法不满足消去律．
2．矩阵的逆矩阵
(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.
(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))(detA＝ad－bc≠0)，它的逆矩阵为
A－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(d,ad－bc) \f(－b,ad－bc), \f(－c,ad－bc) \f(a,ad－bc))).
(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝m，,cx＋dy＝n))的系数矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))可逆，那么该方程组有唯一解eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))－1eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(m,n))，
其中A－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(d,ad－bc) \f(－b,ad－bc), \f(－c,ad－bc) \f(a,ad－bc))).
3．二阶矩阵的特征值和特征向量
(1)特征值与特征向量的概念
设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．
(2)特征多项式与特征方程
设λ是二阶矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))，则Aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝λeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))，
即eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))满足二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝λx，,cx＋dy＝λy，))
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－ax－by＝0,－cx＋λ－dy＝0))⇔eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(λ－a －b,－c λ－d))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,0))(*)
则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ－a －b,－c λ－d))＝0.记f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ－a －b,－c λ－d))为矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))的特征多项式；方程eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ－a －b,－c λ－d))＝0，即f(λ)＝0称为矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))的特征方程．
(3)特征值与特征向量的计算
如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ是特征方程f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ－a －b,－c λ－d))＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0的一个根．
解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x1，,y＝y1，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x2，,y＝y2，))记ξ1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x1,y1))，ξ2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x2,y2)).
则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))的特征值，ξ1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x1,y1))，ξ2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x2,y2))为矩阵A的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．
诊 断 自 测
1. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 0,0 －1)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5,7))＝________.
解析 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 0,0 －1))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5,7))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 1×5＋0×7 ,0×5＋－1×7))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 5,－7)).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 5,－7))
2．若A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2) \f(1,2),\f(1,2) \f(1,2)))，B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( \f(1,2) －\f(1,2),－\f(1,2) \f(1,2)))，则AB＝________.
解析 AB＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2) \f(1,2),\f(1,2) \f(1,2)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( \f(1,2) －\f(1,2),－\f(1,2) \f(1,2)))
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) \f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋\f(1,2)×\f(1,2),\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) \f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋\f(1,2)×\f(1,2)))
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0 0,0 0)).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0 0,0 0))
3．设A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1 0, 0 1))，B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0 －1,1 0))，则AB的逆矩阵为________．
解析 ∵A－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1 0, 0 1))，B－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 0 1,－1 0))
∴(AB)－1＝B－1A－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 0 1,－1 0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1 0, 0 1))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0 1,1 0)).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0 1,1 0))
4．函数y＝x2在矩阵M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 0,0 \f(1,4)))变换作用下的结果为________．
解析 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 0,0 \f(1,4))) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( x,\f(1,4)y))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x′,y′))⇒x＝x′，y＝4y′，
代入y＝x2，得y′＝eq \f(1,4)x′2，即y＝eq \f(1,4)x2.
答案 y＝eq \f(1,4)x2
5．若A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 5,6 2))，则A的特征值为________．
解析 A的特征多项式f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ－1 －5, －6 λ－2))
＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，
∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.
答案 7和－4
考点一 矩阵与变换
【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a，b是实数，如果矩阵M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2 a,b 1))所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．
解 设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2 a,b 1)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x′,y′))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x＋ay，,y′＝bx＋y.))
因为点(x′，y′)，在直线x＋2y＝1上，所以
(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋2b＝1，,a＋2＝－1，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－\f(1,2).))
规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．
【训练1】 已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T.
解 设T＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a c,b d))，则T：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3,0))→eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x′,y′))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a c,b d)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3,0))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3a,3b))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1；))
T：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,1))→eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x′,y′))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a c,b d)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,1))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2a＋c,2b＋d))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 1,－1))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,d＝－3，))综上可知T＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0 1,1 －3)).
考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组
【例2】 已知矩阵M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2 －3,1 －1))所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．
解 依题意得由M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2 －3,1 －1))，得|M|＝1，
故M－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1 3,－1 2)).
从而由eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2 －3,1 －1))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(13),\s\d15(5))))得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(－1),\s\d15(－1)) \(\s\up15(3),\s\d15(2))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(13),\s\d15(5))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1×13＋3×5,－1×13＋2×5))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 2,－3))，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3，))∴A(2，－3)为所求．
规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB)－1＝B－1A－1性质的应用．
【训练2】 已知矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(1)) \(\s\up15(3),\s\d15(2))))，
(1)求矩阵A的逆矩阵；
(2)利用逆矩阵知识解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－1＝0，,x＋2y－3＝0.))
解 (1)法一 设逆矩阵为A－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a),\s\d15(c)) \(\s\up15(b),\s\d15(d))))，
则由eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(1)) \(\s\up15(3),\s\d15(2))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a),\s\d15(c)) \(\s\up15(b),\s\d15(d))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(0)) \(\s\up15(0),\s\d15(1))))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋3c＝1，,2b＋3d＝0，,a＋2c＝0，,b＋2d＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－3，,c＝－1，,d＝2，))A－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(－1)) \(\s\up15(－3),\s\d15(2)))).
法二 由公式知若A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a),\s\d15(c)) \(\s\up15(b),\s\d15(d))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(1)) \(\s\up15(3),\s\d15(2))))，
(2)已知方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－1＝0，,x＋2y－3＝0，))
可转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝1，,x＋2y＝3，))
即AX＝B，其中A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(1)) \(\s\up15(3),\s\d15(2))))，X＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(x),\s\d15(y))))，B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(3))))，且由(1)，
得A－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(－1)) \(\s\up15(－3),\s\d15(2)))).
因此，由AX＝B，同时左乘A－1，有
A－1AX＝A－1B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(－1)) \(\s\up15(－3),\s\d15(2))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(3))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(－7),\s\d15(5)))).
即原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－7，,y＝5.))
考点三 求矩阵的特征值与特征向量
【例3】 已知a∈R，矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(a)) \(\s\up15(2),\s\d15(1))))对应的线性变换把点P(1,1)变成点P′(3,3)，求矩阵A的特征值以及每个特征值的一个特征向量．
解 由题意eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(a)) \(\s\up15(2),\s\d15(1)))) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(1))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(3),\s\d15(a＋1))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(3),\s\d15(3))))，
得a＋1＝3，即a＝2，矩阵A的特征多项式为
f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(λ－1),\s\d15(－2)) \(\s\up15(－2),\s\d15(λ－1))))＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，
令f(λ)＝0，所以矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝3.
①对于特征值λ1＝－1，
解相应的线性方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,2x＋2y＝0))得一个非零解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))
因此，α＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(－1))))是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；
②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2y＝0，,－2x＋2y＝0))
得一个非零解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))
因此，β＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(1))))是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．
规律方法 已知A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a),\s\d15(c)) \(\s\up15(b),\s\d15(d))))，求特征值和特征向量，其步骤为：
(1)令f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(λ－a),\s\d15(－c)) \(\s\up15(－b),\s\d15(λ－d))))＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；
(2)列方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－ax－by＝0，,－cx＋λ－dy＝0；))
(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．
【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(3),\s\d15(－1)) \(\s\up15(－1),\s\d15(3))))，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．
解 由矩阵M的特征多项式f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(λ－3),\s\d15(1)) \(\s\up15(1),\s\d15(λ－3))))＝
(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．
设矩阵M的特征向量为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))，
当λ1＝2时，由Meq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝0，,x－y＝0.))
可令x＝1，得y＝1，
∴α1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1,1))是M的属于λ1＝2的特征向量．
当λ2＝4时，由Meq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x＋y＝0，))
取x＝1，得y＝－1，
∴α2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 1,－1))是M的属于λ2＝4的特征向量．
用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程
【典例】 二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．
(1)求矩阵M；
(2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．
[审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解．
(2)知道直线l在变换T作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法．
解 (1)设M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))，则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 1,－1))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1,－1))，
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a b,c d))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2, 1))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 0,－2))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝－1，,c－d＝－1，))且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a＋b＝0，,－2c＋d＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2，,c＝3，,d＝4，))
所以M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 2,3 4)).
(2)因为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x′,y′))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 2,3 4))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x＋2y,3x＋4y))且m：x′－y′＝4，
所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，
即x＋y＋2＝0，∴直线l的方程是x＋y＋2＝0.
[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．
(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .
(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误．
【自主体验】
(2014·南京金陵中学月考)求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(0)) \(\s\up15(0),\s\d15(2))))，N＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15( 1),\s\d15(－1)) \(\s\up15(0),\s\d15(1)))).
解 MN＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(0)) \(\s\up15(0),\s\d15(2))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15( 1),\s\d15(－1)) \(\s\up15(0),\s\d15(1))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15( 1),\s\d15(－2)) \(\s\up15(0),\s\d15(2)))).
设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′(x，y)，
则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(x),\s\d15(y))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15( 1),\s\d15(－2)) \(\s\up15(0),\s\d15(2))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(x′),\s\d15(y′))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( x′,－2x′＋2y′))，
于是x′＝x，y′＝x＋eq \f(y,2)，
代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1.
所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.
一、填空题
1．已知变换T：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))→eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x′,y′))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3x＋4y,5x＋6y))，则该变换矩阵为________．
解析 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x＋4y，,y′＝5x＋6y，))可写成eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3 4,5 6))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x′,y′)).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3 4,5 6))
2．计算eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3 7,5 8))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 2,－1))等于________．
解析 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3 7,5 8))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 2,－1))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3×2－7,5×2－8))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1, 2)).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1, 2))
3．矩阵eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5 0,0 1))的逆矩阵为________．
解析 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5 0,0 1))＝5，∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5 0,0 1))的逆矩阵为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5) 0, 0 1)).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5) 0, 0 1))
4．若矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3 a,b 13))把直线l：2x＋y－7＝0变换成另一直线l′：9x＋y－91＝0，则a＝________，b＝________.
解析 取l上两点(0,7)和(3.5,0)，
则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3 a,b 13))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,7))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7a,91))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3 a,b 13))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3.5, 0))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10.5,3.5b)).
由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在l′上，代入得a＝0，b＝－1.
答案 0 －1
5．矩阵M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6 －3,6 －3))的特征值为________．
解析 f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ－6 3,－6 λ＋3))＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0.
∴λ＝0或λ＝3.
答案 0或3
6．已知矩阵M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 2,3 4))，α＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1,2))，β＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 0,－3))，则M(2α＋4β)＝________.
解析 2α＋4β＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,4))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 0,－12))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 2,－8))，M(2α＋4β)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 2,3 4))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 2,－8))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－14,－26)).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－14,－26))
7．曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(0)) \(\s\up15(2),\s\d15(1))))的作用下变换为曲线C2，则C2的方程为________．
解析 设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，
则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(0)) \(\s\up15(2),\s\d15(1))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(x′),\s\d15( y′))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(x),\s\d15( y))))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x′＋2y′，,y＝y′))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝x－2y，,y′＝y.))
因为P′是曲线C1上的点，
所以C2的方程为(x－2y)2＋y2＝1.
答案 (x－2y)2＋y2＝1
8．已知矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2 －1,－4 3))，B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4 －1,－3 1))，则满足AX＝B的二阶矩阵X为________．
解析 由题意，得A－1＝ AX＝B，
∴X＝A－1B＝.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,2) －1, 5 －1))
9．已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(1))))，则矩阵A为________．
解析 设A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a),\s\d15(c)) \(\s\up15(b),\s\d15(d))))，由eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a),\s\d15(c)) \(\s\up15(b),\s\d15(d))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(0))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(3))))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝3.))
由eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(a),\s\d15(c)) \(\s\up15(b),\s\d15(d))))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(1))))＝3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(1),\s\d15(1))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(3),\s\d15(3))))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝3，,c＋d＝3.))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1，,d＝0.))
所以A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(3)) \(\s\up15(1),\s\d15(0)))).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(3)) \(\s\up15(1),\s\d15(0))))
二、解答题
10．(2012·江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(－\f(1),\s\d15(4)),\f(1,2)) \(\s\up15(\f(3),\s\d15(4)),－\f(1,2))))，求矩阵A的特征值．
解 因为AA－1＝E，所以A＝(A－1)－1.
因为A－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(－\f(1),\s\d15(4)),\f(1,2)) \(\s\up15(\f(3),\s\d15(4)),－\f(1,2))))，所以A＝(A－1)－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(2),\s\d15(2)) \(\s\up15(3),\s\d15(1))))，
于是矩阵A的特征多项式为
f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(\s\up15(λ－2),\s\d15(－2)) \(\s\up15(－3),\s\d15(λ－1))))＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
11．已知矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 1 a,－1 b))，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,1)).
(1)求矩阵A；(2)若向量β＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7,4))，计算A5β的值．
解 (1)A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( 1 2,－1 4)).
(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(λ－1 －2, 1 λ－4))＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,1))，当λ2＝3时，得α2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1,1)).
由β＝mα1＋nα2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋n＝7，,m＋n＝4，))解得m＝3，n＝1.
∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λeq \\al(5,1)α1)＋λeq \\al(5,2)α2＝3×25eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,1))＋35eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1,1))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(435,339)).
12．(2012·福建卷)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a 0,b 1))(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求A2的逆矩阵．
解 (1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．
由eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x′,y′))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a 0,b 1))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x,y))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1( ax,bx＋y))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝ax，,y′＝bx＋y.))
又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，
即a2x2＋(bx＋y)2＝1，
整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝2，,2b＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1.))
因为a＞0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))
(2)由(1)知，A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 0,1 1))，A2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 0,1 1))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 0,1 1))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 0,2 1)).
所以|A2|＝1，(A2)－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1 0,－2 1)).