高考数学一轮细讲精练【第八篇】解析几何

这是一份高考数学一轮细讲精练【第八篇】解析几何，共148页。
第八篇　解析几何

第1讲　直线与方程
[最新考纲]
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.


知 识 梳 理
知 识 梳 理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
2．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
3.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
辨 析 感 悟
1．对直线的倾斜角与斜率的理解
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)
(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(×)
(3)(教材习题改编)若三点A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共线，则a的值为－2.(√)
2．对直线的方程的认识
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(×)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)
(6)直线l过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为x＋y－3＝0.(×)
[感悟·提升]
1．直线的倾斜角与斜率的关系　斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，如(1)．
2．三个防范　一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).


考点一　直线的倾斜角和斜率
【例1】 (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)．
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
(2)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为 (　　)．
A. B．－ C．－ D.
解析　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ0，bc0，bc>0
C．ab0 D．ab0.即bc0，A≠B)．
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______．
解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝知＝，故＝.
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案　＋＝1
考点二　椭圆的几何性质
【例2】 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解　法一　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴≥，即e≥.
又0＜e＜1，∴e的取值范围是.
法二　如图所示，设O是椭圆的中心，A是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F1PF2＝60°，则只需满足60°≤∠F1AF2即可，
又△F1AF2是等腰三角形，且|AF1|＝|AF2|，所以0°＜∠F1F2A≤60°，
所以≤cos∠F1F2A＜1，
又e＝cos∠F1F2A，所以e的取值范围是.
(2)证明　由(1)知mn＝b2，
∴S△PF1F2＝mnsin 60°＝b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
规律方法 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【训练2】 (1)(2013·四川卷)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 (　　)．
A. B. C. D.
(2)(2012·安徽卷改编)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，
A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.且△AF1B的面积为40，
则a＝________，b＝________.

解析　(1)左焦点为F1(－c,0)，PF1⊥x轴，
当x＝－c时，＋＝1⇒y＝b2＝⇒yP＝(负值不合题意，已舍去)，点P，
由斜率公式得kAB＝－，kOP＝－.
∵AB∥OP，∴kAB＝kOP⇒－＝－⇒b＝c.
∵a2＝b2＋c2＝2c2，
∴＝⇒e＝＝.
(2)法一　a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)，
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B，
所以|AB|＝·＝c.
由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.
法二　设|AB|＝t(t>0)．
因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a.
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，
a＝10，b＝5.
答案　(1)C　(2)10　5
考点三　直线与椭圆的位置关系
【例3】 (2013·陕西卷)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．
审题路线　(1)根据题意列出等式⇒坐标化⇒整理可得动点M的轨迹方程．
(2)设直线m的方程，交点A，B的坐标
法一：把直线与点M的轨迹方程联立，消y⇒由Δ＞0得k的范围⇒由方程得根与系数的关系式⇒再结合A是PB的中点即x2＝2x1⇒解得k的值；
法二：由A是PB的中点得出A，B两点坐标间的关系⇒又点A，B在点M的轨迹上⇒联立方程组解得A或B点坐标⇒根据斜率公式求k.
解　(1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.
由此得|4－x|＝2，
化简得＋＝1，
所以，动点M的轨迹方程为
＋＝1.

(2)法一　由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0，
解得k2>.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝－， ①
x1x2＝. ②
又因A是PB的中点，故x2＝2x1， ③
将③代入①，②，得x1＝－，x＝，
可得2＝，且k2>，
解得k＝－或k＝，
所以，直线m的斜率为－或.
法二　由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，
B(x2，y2)．
∵A是PB的中点，
∴x1＝， ①
y1＝. ②
又＋＝1， ③
＋＝1， ④
联立①，②，③，④解得或
即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，
所以，直线m的斜率为－或.
规律方法 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
【训练3】 (2014·山东省实验中学诊断)设F1，F2分别是椭圆：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|＝a.
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点M(0，－1)满足|MP|＝|MQ|，求该椭圆的方程．
解　(1)直线PQ斜率为1，设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P，Q两点坐标满足方程组
化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|PQ|＝|x2－x1|＝＝a，
化简，得a＝，故a2＝2b2，
所以椭圆的离心率e＝＝＝.
(2)设PQ的中点为N(x0，y0)，
由(1)知x0＝＝＝－c，
y0＝x0＋c＝.
由|MP|＝|MQ|，得kMN＝－1，
即＝－1，得c＝3，从而a＝3，b＝3.
故椭圆的方程为＋＝1.

1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1(m＞0，n＞0)可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)，这种形式在解题中更简便．
3．椭圆的标准方程有两种形式，在解题时要防止遗漏，深刻理解椭圆中的几何量a，b，c，e之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题．若已知焦点位置，则标准方程唯一；若无法确定焦点位置，则应考虑两种形式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答题模板11——直线与椭圆的综合问题
【典例】 (13分)(2013·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线 与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
[规范解答]　(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程＋＝1，解得y＝±b， (2分)
于是b＝ ，解得b＝， (3分)
又a2－c2＝b2，从而可得a＝，c＝1， (4分)
所以椭圆的方程为＋＝1. (5分)
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)， (6分)
由方程组消去y，
整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. (8分)
因为直线过椭圆内的点，无论k为何值，直线和椭圆总相交．
由根与系数的关系可得
则x1＋x2＝－，x1x2＝， (9分)
因为A(－，0)，B(，0)，所以
·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋. (12分)
由已知得6＋＝8，
解得k＝±. (13分)
[反思感悟] 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
答题模板　直线与椭圆联立问题
第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．
第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．
第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0.
第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．
第五步：根据题设条件求解问题中的结论．
【自主体验】
已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解　(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)．
其离心率为，故＝，解得a＝4.
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝.又由＝2 ，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.


基础巩固题组
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)．　　　　　　　　　　　　
A．2 B．6 C．4 D．12
解析　由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝4.
答案　C
2．(2014·广州模拟)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)．
A．－21 B．21 C．－或21 D.或21
解析　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，
由＝，即＝，解得k＝－；
若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，
由＝，即＝，解得k＝21.
答案　C
3．(2014·韶关模拟)已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　)．
A．4 B．5 C．7 D．8
解析　将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，
显然m－2＞10－m，即m＞6，且()2－()2＝22，解得m＝8.
答案　D
4．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(　　)．
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2·2c，＝，
又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.
答案　A
5．(2013·辽宁卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(　　)．
A. B. C. D.

解析　如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝＝.
解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，
△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴＝.
答案　B
二、填空题
6．(2014·青岛模拟)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．
解析　抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.
答案　＋＝1
7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析　由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，
∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2.
∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2b2＝b2＝9.
∴b＝3.
答案　3
8．(2013·福建卷)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析　因为直线y＝(x＋c)过椭圆左焦点，且斜率为，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，
故|MF1|＝c，|MF2|＝c
由点M在椭圆上知，c＋c＝2a.
故离心率e＝＝＝－1.
答案　－1
三、解答题
9．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
解　(1)依题意得|F1F2|＝2，
又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)设P点坐标为(x，y)，
∵∠F2F1P＝120°，
∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan 120°，
即y＝－(x＋1)．
解方程组
并注意到x＜0，y＞0，可得
∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝.

10．(2014·绍兴模拟)
如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点M在椭圆上，
且点M到两焦点距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A，B(A，B不重合)，求·的取值范围．
解　(1)∵2a＝4，∴a＝2，
又M在椭圆上，
∴＋＝1，解得b2＝2，
∴所求椭圆方程＋＝1.
(2)由题意知kMO＝，∴kAB＝－.
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立方程组
消去y，得13x2－4mx＋2m2－4＝0，
Δ＝(－4m)2－4×13×(2m2－4)＝8(12m2－13m2＋26)＞0，
∴m2＜26，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
则·＝x1x2＋y1y2＝7x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝∈.
∴·的取值范围是.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2014·潍坊模拟)已知椭圆：＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是(　　)．
A．1 B.
C. D.
解析　由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得＋＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝.
答案　D
2．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)．　　　　　　　
A. B. C. D.
解析　令c＝.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，
∴∠PF2x＝60°，
∴|F2P|＝2＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，
∴3a＝4c，∴＝，
即椭圆的离心率为.
答案　C
二、填空题
3．(2014·陕西五校联考)椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析　设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．
此时4a＝12，则a＝3.
故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，
所以e＝＝.
答案　
三、解答题
4．(2014·河南省三市调研)已知圆G：x2＋y2－2x－y＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m＞a)作倾斜角为π的直线l交椭圆于C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．
解　(1)∵圆G：x2＋y2－2x－y＝0经过点F，B，
∴F(2,0)，B(0，)，∴c＝2，b＝，
∴a2＝b2＋c2＝6，椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意知直线l的方程为y＝－(x－m)，m＞，
由
消去y，得2x2－2mx＋(m2－6)＝0.
由Δ＝4m2－8(m2－6)＞0，解得－2＜m＜2.
∵m＞，∴＜m＜2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝m，x1x2＝，
∴y1y2＝·＝x1x2－(x1＋x2)＋.
∵＝(x1－2，y1).＝(x2－2，y2)，
∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋＋4＝.
∵点F在圆E内部，∴·＜0，
即＜0，解得0＜m＜3.
又＜m＜2，∴＜m＜3.
故m的取值范围是(，3).

第6讲　双曲线
[最新考纲]
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想.


知 识 梳 理
1．双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性　　质
范　围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)


辨 析 感 悟
1．对双曲线定义的认识
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)
2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解
(3)方程－＝1(mn＜0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)
(4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为y＝±x.(×)
(5)(2013·陕西卷改编)双曲线－＝1的离心率为，则m等于9. (√)
(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)
[感悟·提升]
1．一点提醒　双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线．
2．二个防范　一是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，而双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，应注意其区别与联系，如(4)；
二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点，如(6)．


考点一　双曲线的定义及应用
【例1】 (1)若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是 (　　)．
A．4 B．12 C．4或12 D．6
(2)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，
则△ PQF的周长为________．
解析　(1)由题意知c＝＝4，设双曲线的左焦点为F1(－4,0)，右焦点为F2(4,0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝4，解得|PF1|＝4，所以|PF1|＝4或12，即P到它的左焦点的距离为4或12.
(2)由－＝1得a＝3，b＝4，c＝5.
∴|PQ|＝4b＝16>2a.
又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
由双曲线定义知∴|PF|＋|QF|＝28.
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
答案　(1)C　(2)44
规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
【训练1】 (1)(2014·大连模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝
(　　)．
A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对
(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右 支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 (　　)．
A．5 B．5＋4 C．7 D．9
解析　(1)由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17.
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，
则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P、E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，
从而|PF|＋|PA|的最小值为9.
答案　(1)B　(2)D

考点二　求双曲线的标准方程
【例2】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为________．
解析　(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，离心率为e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.
又双曲线的离心率e＝＝，所以＝，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为－＝1.
(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案　(1)－＝1　(2)－＝1
规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.
【训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)．
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
解　(1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
考点三　双曲线的几何性质
【例3】 (1)(2013·湖南卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　　)．
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x＋4y＝0
解析　(1)因为PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，
所以|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|＝c.
由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
即c－c＝2a，所以离心率e＝＝＋1.
(2)设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在直角三角形F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线的定义4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±x，即y＝±x，即4x±3y＝0.
答案　(1)＋1　(2)C
规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．
(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．
(2)求曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
【训练3】 (1)设点P在双曲线－＝1(a，b＞0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，则该双曲线的离心率为________．
解析　(1)由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，所以4|PF2|－|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝a，|PF1|＝a，
所以整理得a≥c，所以≤，即e≤，
又e＞1，所以1＜e≤.
(2)当焦点在x轴上时，＝，即＝，
所以e2＝，解得e＝；
当焦点在y轴上时，＝，即＝，
所以e2＝，解得e＝，
即双曲线的离心率为或.
答案　(1)　(2)或

1．双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系．
2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程．
如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．
3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，　　　　　　　　　　　　　　　　　
“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系．　




教你审题8——运用双曲线的标准方程及其性质
【典例】 如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B❶与
C的两条渐近线分别交于P，Q两点，❷线段PQ的垂直平分线❸与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，❹
则C的离心率是 (　　)．
A. B. C. D.
[审题]　一审：求出直线F1B的方程．
二审：求出点P、Q的坐标及PQ中点坐标．
三审：求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标．
四审：由|MF2|＝|F1F2|建立关系式，求出离心率．
解析　依题意，知直线F1B的方程为y＝x＋b，联立方程得点Q，
联立方程得点P，
所以PQ的中点坐标为.
所以PQ的垂直平分线方程为y－＝－.
令y＝0，得x＝c，所以c＝3c.
所以a2＝2b2＝2c2－2a2，即3a2＝2c2.所以e＝.故选B.
答案　B
[反思感悟] 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题．
【自主体验】
(2013·山东卷)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝ (　　)．
A. B. C. D.
解析　抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.
答案　D

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．(2014·郑州二模)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)．
A．4 B．8 C．24 D．48
解析　由可解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.
答案　C
2．(2013·湖北卷)已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)．
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析　∵0＜θ＜，∴sin θ＜cos θ.由双曲线C1：－＝1知实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2，离心率为.由双曲线C2：－＝1知实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为.
答案　D
3．(2014·日照二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为(　　)．
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝＝，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案　A
4．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)．
A．m＞ B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2
解析　在双曲线x2－＝1中，a＝1，b＝，则c＝，离心率e＝＝＞，解得m＞1.
答案　C
5．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为(　　)．
A. B. C. D.
解析　不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.则焦点到渐近线的距离为＝c，即b＝c，从而b2＝c2＝c2－a2，所以c2＝a2，即e2＝，所以离心率e＝.
答案　A
二、填空题
6．(2014·青岛一模)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(，0)，则其离心率为________．
解析　由已知，得a＝1，c＝.∴e＝＝.
答案　
7．(2014·广州一模)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析　由题意得c＝，所以9＋a＝c2＝13，所以a＝4.即双曲线方程为－＝1，所以双曲线的渐近线为2x±3y＝0.
答案　2x±3y＝0
8．(2014·武汉诊断)已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.
解析　因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案　5
三、解答题
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.
∴＝3，得a＝3，b＝4，
∴双曲线G的方程为－＝1.
10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解　(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，
则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2014·焦作二模)直线y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于(　　)．
A.＋ B.＋1 C.＋1 D．2
解析　由题意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．
又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，
∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，
∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝c，
由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝c－c＝2a，
∴e＝＝＋1.
答案　B
2．(2014·临沂联考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)．
A．(1,2) B．(，2) C．(，2) D．(2,3)
解析　由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)．
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析　∵－＝1的离心率为2，
∴＝2，即＝＝4，∴＝.
x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，
∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.
答案　D
2．(2014·洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　)．
A. B. C．2 D.－1
解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
答案　D
二、填空题
3．(2014·郑州二模)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.
解析　抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以tan 120°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
答案　4
三、解答题
4．(2013·辽宁卷)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，
过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解　(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，
故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，
于是y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，
由N为线段AB中点知x＝.③
y＝.④
切线MA，MB的方程为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
第8讲　曲线与方程
[最新考纲]
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质．
3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

知 识 梳 理
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简．
(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．
若此方程组无解，则两曲线无交点．
辨 析 感 悟
1．曲线与方程的概念
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)
(2)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件． (×)
(3)(教材习题改编)方程y＝与x＝y2表示同一曲线． (×)
(4)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线． (×)
2．求曲线的轨迹方程
(5)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2. (×)
(6)两条动直线y＝x＋b，y＝2x－b(b∈R)交点的轨迹方程是3x－2y＝0. (√)
(7)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是抛物线． (√)
(8)(2014·济南质检)过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是＋＝1. (√)
[感悟·提升]
1．曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点．如(2)错误理解了曲线方程的含义．
2．求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
学生用书第154页

考点一　直接法求轨迹方程
【例1】 如图所示，A(m，m)和B(n，－n)两点分别在射线OS，OT上移动，且·＝－，O为坐标原点，动点P满足＝＋.
(1)求mn的值；
(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
解　(1)由·＝(m，m)·(n，－n)＝－2mn.
得－2mn＝－，∴mn＝.
(2)设P(x，y)(x>0)，由＝＋，
得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，m－n)．
∴整理得x2－＝4mn，
又mn＝，∴P点的轨迹方程为x2－＝1(x>0)．
它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－＝1的右支．
规律方法 (1)一是解本题第(2)时，根据
利用第(1)问的结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．
(2)如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．
【训练1】 (2013·陕西卷选编)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．
解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝，
化简得y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)
也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
考点二　定义法(待定系数法)求轨迹方程

【例2】 一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，
求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

解　如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1，O2，将圆的方程分别配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，
当动圆与圆O1相外切时，
有|O1M|＝R＋2.①
当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10－R.②
将①②两式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12>|O1O2|，
∴动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，
所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)，O2(3,0)，
长轴长等于12的椭圆．
∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，
∴圆心轨迹方程为＋＝1，轨迹为椭圆．
规律方法 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
【训练2】 如图所示，已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，
点Q在直线CP上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．

解　圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2，
∵·＝0，＝2，
∴MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，
∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2，
又|AC|＝2>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.
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考点三　代入法(相关点法)求轨迹方程

【例3】 (2012·辽宁卷)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
解　(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1.
把点P(0,1)代入椭圆＋＝1，得＝1，即b＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在，且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m.
联立消去y并整理得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，
整理得2k2－m2＋1＝0.①
联立
消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0.
整理得km＝1.②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
规律方法 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解　(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中
Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞.
即k的取值范围是∪.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
由方程①得，x1＋x2＝－，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝＋2.
∵(＋)⊥，∴(x1＋x2)·(－)＋y1＋y2＝0，
即：－·(－)－＋2＝0.
解得k＝－，由(1)知k2＞，与此相矛盾，
所以不存在常数k使＋与垂直.
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考点二　圆锥曲线中的弦长问题
【例2】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解　(1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
规律方法 直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．
【训练2】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ABCD面积的最大值．
解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P0(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1.
因为P为AB的中点，且OP的斜率为，
所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝.
所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)．
所以a2＝2b2，
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
所以a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)将x＋y－＝0代入＋＝1，
解得或所以可得|AB|＝；
由题意可设直线CD方程为y＝x＋m，
所以设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
将y＝x＋m代入＋＝1得3x2＋4mx＋2m2－6＝0，则|CD|＝＝，
又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－30)的离心率e＝，a＋b＝3.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．
审题路线　(2)写出直线BP的方程⇒与椭圆方程联立解得P点坐标⇒写出直线AD的方程⇒由直线BP与直线AD的方程联立解得M点坐标⇒由D，P，N三点共线解得N点坐标⇒求直线MN的斜率m⇒作差：2m－k为定值．
(1)解　因为e＝＝，
所以a＝c，b＝c.
代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)(k≠0，k≠±)，①
①代入＋y2＝1，解得P.
直线AD的方程为y＝x＋1.②
①与②联立解得M.
由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知
＝，解得N.
所以MN的斜率为m＝
＝＝，
则2m－k＝－k＝(定值)．
规律方法 求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【训练3】 椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P且离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
(1)解　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由e＝＝，得a＝2c，
∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2，
则椭圆方程变为＋＝1.
又椭圆过点P，将其代入求得c2＝1，
故a2＝4，b2＝3，
即得椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
①
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，
∴＋＋＋4＝0，
∴7m2＋16mk＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－，
由①，得3＋4k2－m2＞0，
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，
直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，
直线过定点，
∴直线l过定点，定点坐标为.
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考点四　圆锥曲线中的范围与最值问题
【例4】 已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
审题路线　(2)设直线AB的方程⇒与抛物线方程联立消去y得关于x的一元二次方程⇒解得|x1－x2|⇒由直线AM的方程与直线l联立解得点M的横坐标⇒由直线ON的方程与直线l联立解得点N的横坐标⇒|MN|＝|xM－xN|⇒换元、分类求|MN|的最小值．
解　(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.
又y＝x，且y＝x－2，
解得点M的横坐标xM＝＝＝.
同理点N的横坐标xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|＝
＝8＝，
令4k－3＝t，t≠0，则k＝.
当t>0时，|MN|＝2>2.
当tb>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最
大值时直线l1的方程．
解　(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，
则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，
故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2.
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|
＝，
所以S＝
≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.


1．涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与　　　　　　　　　　　　　　　　　　
系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．
2．关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等．
3．圆锥曲线综合问题要四重视：
(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．





答题模板12——圆锥曲线中的探索性问题
【典例】 (14分)(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
[规范解答]　(1)因为e＝ ＝＝，
所以a2＝3b2，即椭圆C的方程可写为＋＝1. (2分)
设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，
则d＝＝
＝(－b≤y≤b)． (3分)
当－b≤－1，即b≥1，dmax＝＝3得b＝1；
当－b>－1，即b0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)．
A．(1,2) B．(1,2]
C．(1，) D．(1，]
解析　因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以10，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝(　　)．
A．1＋2 B．4－2
C．5－2 D．3＋2
解析　

如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，
∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故应选C.
答案　C
二、填空题
6．(2014·东北三省联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．
解析　由题意，得
解得∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案　＋＝1
7．已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________．
解析　设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．
答案　4x－y－7＝0
8．(2014·青岛调研)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值是________．
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，易知直线AB的方程为y＝x－p，代入抛物线方程y2＝2px，可得3x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝p，x1x2＝，可得x1＝p，x2＝，可得＝＝＝3.
答案　3
三、解答题
9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
(1)证明　由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，①
∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，
即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0⇒a2b2(a2＋b2－1)＞0，
∵a＞b＞0，∴a2＋b2＞1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1 、x2是方程①的两实根．
∴x1＋x2＝，x1x2＝.②
由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝1－x1，y2＝1－x2，
得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.③
式②代入式③化简得a2＋b2＝2a2b2.④
∴＋＝2.
(2)解　利用(1)的结论，将a表示为e的函数
由e＝⇒b2＝a2－a2e2，
代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.
∴a2＝＝＋.
∵≤e≤，∴≤a2≤.
∵a＞0，∴≤a≤.
∴长轴长的取值范围是[，]．
10．(2014·佛山模拟)已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.
(1)求椭圆方程；
(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：·为定值．
解　(1)化圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，
则圆心为(－1,0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.
又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.
可求得A，B.
此时，·＝·＝－.
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为·＝·＝＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋2＋k(x1＋1)·k(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋k2＋
＝(1＋k2)·＋＋k2＋
＝＋＝－2＋＝－.
所以，·为定值，且定值为－.
能力提升题组
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一、选择题
1．(2014·石家庄模拟)若AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝(　　)．
A．－ B．－ C．－ D．－
解析　法一　(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
kAM·kBM＝·＝
＝＝－.
法二　(特殊值法)：因为四个选项为定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.
答案　B
2．(2014·兰州诊断)若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)．
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析　∵直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，
∴>2，∴m2＋n20，解得c＝1.
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，
即y＝x2，
求导得y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－＋y1，
即x1x－2y－2y1＝0.
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0，
又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，
所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0 的两组解，
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
16．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
解　(1)设圆P的半径为r，则|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r，∴|PM|＋|PN|＝4>|MN|，∴P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴P的轨迹曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)由(1)知2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4，
∴圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)．
圆P的方程为(x－2)2＋y2＝4.
①当l的倾斜角为90°，方程为x＝0时，|AB|＝2，
②当l的倾斜角不为90°，
设l的方程为y＝kx＋b(k∈R)，
解得或
∴l的方程为y＝x＋，y＝－x－.
联立方程化简得7x2＋8x－8＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝.
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2或.
17．(2014·东北三校联考)如图，已知点E(m,0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．
(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；
(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
解　(1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，
∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD.
设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2－4y－4k1＝0，
y1＋y2＝，y1y2＝－4.
∵M，∴M，
同理，点N(2k＋1，－2k1)，
∴S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取得最小值4.
(2)设直线AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2－4y－4k1m＝0，
y1＋y2＝，y1y2＝－4m，
∵M，
∴M，
同理，点N，
∴kMN＝＝k1k2.
∴直线MN的方程为
y－＝k1k2，即y＝k1k2(x－m)＋2，
∴直线MN恒过定点(m,2)．

18．(2013·重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，
过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．
解　(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝，得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．
又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4,4])．
设P(x1，y1)，由题意知，P是椭圆上到Q的距离最小的点，
因此，上式当x＝x1时取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以·＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，
即(x1－x0)2－y＝0.
由椭圆方程及x1＝2x0，
得x－8＝0，
解得x1＝±，x0＝＝±.
从而|QP|2＝8－x＝.
故这样的圆有两个，其标准方程分别为
2＋y2＝，2＋y2＝.