专题3 不等式-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

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1．记全集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果.
【详解】
因为或，，
所以，
因此.
故选：C.
2．若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【分析】
利用“1”的代换，将转化为，利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】
由题意得：，
当且仅当，即时等号成立，
故选：D
3．已知，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，令，此时满足，，但，所以不正确；
对于B中，由函数为上的单调递增函数，因为，所以，所以正确；
对于C中，令，此时满足，，但，所以不正确；
对于D中，令，此时满足，，但，所以不正确.
故选：B.
4．不等式的解集（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
把分式不等式等价转换为与之等价的一元一次不等式，从而求出它的解集.
【详解】
不等式，即，即，
故选：A.
5．设实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】
画出可行域,根据目标函数表示动点P与原点所确定直线的斜率求解.
【详解】
由实数，满足约束条件，画出可行域如图所示：
目标函数表示动点P与原点所确定直线的斜率，
当点P为点时，目标函数取得最大值，最大值是3，
故选：D
6．设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用分段函数解析式，分类讨论可将不等式转化为两个不等式组，分别解不等式，然后求并集即可．
【详解】
因为函数，
所以不等式等价于和，
解得或者和，
所以不等式的解集为，，；
故选：．
7．已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
令，则，从而，即可，然后构造函数，利用导数判断其单调性，进而可得，解不等式可得答案
【详解】
解：令，则，
，
所以，
所以，
令，则，
因为，所以，所以，
所以在单调递增，
所以由，得，
所以，解得，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得，再构造函数，利用函数的单调性解不等式
8．设，，不等式恒成立，则实数的最大值等于（ ）
A．0B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】
不等式变形为，再用基本不等式求得的最小值即可．
【详解】
因为，，所以不等式恒成立，即恒成立，
又，当且仅当，即时等号成立．
所以，即的最大值为9．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题时通过分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论．而求最值有的可以应用基本不等式，有的可以利用函数的单调性，方法较多，易于求解．
9．已知，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义以及基本不等式判断可得；
【详解】
解：因为，若，则
所以
即当且仅当，时取等号；
若，当，时，
则“”是“”的充分不必要条件；
故选：A
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
10．关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由不等式解集可求，代入求解即可.
【详解】
由题意知：，则有，
∴，解之得，
故选：B
11．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】
依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为且，所以，所以
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为
故选：C
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
12．已知，，，均为实数，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
若，则，故A正确；
若，，则，则，故B正确；
当时，满足，，但，故C错误；
若，，则，故D正确；
故选：C
二、填空题
13．关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果.
【详解】
在区间内、外各有一个实数根，
令，
当不是方程的根时，
所以，
解得：；
当是方程的根时，
得，
此时方程变为：，
解得：或，
在区间内，在区间外，符合题意；
当是方程的根时，得，
此时方程变为：，
解得：或，
此时方程的两根均在区间外，不符合题意；
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，解题时要注意分析判别式、对称轴以及端点（与根比大小的数）的函数值符号.
14．已知，则取最大值时x的值为___________.
【答案】
【分析】
直接使用基本不等式，即可求得结果.
【详解】
因为，当且仅当，即时取得最大值.
故答案为：.
【点睛】
熟练掌握基本不等式是解题关键.
15．若实数，且，则的最大值为__________.
【答案】4
【分析】
化简整理可得，利用基本不等式可求得的范围，进而可求得答案.
【详解】
由，得到，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，
解得，所以的最大值为4.
故答案为：4
16．已知x，y是正实数，且，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】
由基本不等式可得，然后可得答案.
【详解】
因为
当且仅当，即时等号成立
所以，因为，所以
故答案为：
三、解答题
17．设条件实数满足；条件实数满足，且命题“若，则”为真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】
求得，或，再由命题“若，则”真命题，得到，即可求解.
【详解】
由不等式，解得，
可得集合，
又由集合或，
由于命题“若，则”真命题，所以是的充分条件，可得，
因为，所以，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】
有关充分、必要条件求解参数的取值范围问题的方法及注意点：
1、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合间关系列出关于参数的不等式（组）求解；
2、要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解得现象.
18．已知函数
（1）若在上的最大值为，求的值；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）或；（2）答案见解析.
【分析】
（1）先讨论的情况，当时，由于函数的对称轴为，故分和两种情况求解即可；
（2）由题得，进而分，，，，五种情况讨论即可得答案.
【详解】
解：（1）当时，函数，故不成立，
当时，由于函数的对称轴为，
所以当时，在上单调递减，，解得；
当时，在上单调递增，，解得.
故或.
（2）由得，即，
当时，不等式为，解得；
当时，，解得；
当时，，解得或；
当时，，解得；
当时，，解得或；
综上：当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
【点睛】
本题主要考查一元二次函数与一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键是先根据具体得，进而结合一元二次不等式分，，，，五种情况讨论即可得答案.
19．已知函数
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）当a>0时，解关于x的不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由题意可得恒成立，即恒成立，然后分和两种情况讨论即可；
（2）由，得，然后分，，求解即可
【详解】
解：(1)由题意知恒成立 ∴恒成立
①当时，2>0恒成立
② ∴0