2019年四川省宜宾市中考数学试卷

这是一份2019年四川省宜宾市中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。


1．（3分）2的倒数是（ ）


A．B．﹣2C．D．


2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为（ ）


A．5.2×10﹣6B．5.2×10﹣5C．52×10﹣6D．52×10﹣5


3．（3分）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝（ ）





A．B．C．5D．2


4．（3分）一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2为（ ）


A．﹣2B．bC．2D．﹣b


5．（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（ ）





A．10B．9C．8D．7


6．（3分）如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：


根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为、，甲、乙的方差分别为s甲2，s乙2，则下列结论正确的是（ ）


A．＝，s甲2＜s乙2B．＝，s甲2＞s乙2


C．＞，s甲2＜s乙2D．＜，s甲2＜s乙2


7．（3分）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（ ）





A．B．C．D．


8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（ ）


A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形


B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°


C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形


D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形


二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。


9．（3分）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝ ．


10．（3分）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝ °．





11．（3分）将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 ．


12．（3分）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝ ．





13．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 ．


14．（3分）若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是 ．


15．（3分）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是 ．





16．（3分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．


①AM＝BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC＝180°；④＝





三、解答题:(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。


17．（10分）（1）计算：（2019﹣）0﹣2﹣1+|﹣1|+sin245°


（2）化简：÷（+）


18．（6分）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．





19．（8分）某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制作了如图不完整的统计图．


（1）求三个年级获奖总人数；


（2）请补全扇形统计图的数据；


（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占，其余为九年级的同学，现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率．





20．（8分）甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物．已知A、C两城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C城．求两车的速度．


21．（8分）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）





22．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．


（1）求反比例函数和一次函数的解析式；


（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．





23．（10分）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．


（1）求证：直线BD是⊙O的切线；


（2）求⊙O的半径OD的长；


（3）求线段BM的长．





24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．


（1）求此抛物线和直线AB的解析式；


（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；


（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．








2019年四川省宜宾市中考数学试卷


参考答案与试题解析


一、选择题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。


1．（3分）2的倒数是（ ）


A．B．﹣2C．D．


【考点】17：倒数．


【分析】根据倒数的定义，可以求得题目中数字的倒数，本题得以解决．


【解答】解：2的倒数是，


故选：A．


【点评】本题考查倒数，解答本题的关键是明确倒数的定义．


2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为（ ）


A．5.2×10﹣6B．5.2×10﹣5C．52×10﹣6D．52×10﹣5


【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．


【分析】由科学记数法可知0.000052＝5.2×10﹣5；


【解答】解：0.000052＝5.2×10﹣5；


故选：B．


【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．


3．（3分）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝（ ）





A．B．C．5D．2


【考点】LE：正方形的性质；R2：旋转的性质．


【分析】根据旋转变换的性质求出FC、CE，根据勾股定理计算即可．


【解答】解：由旋转变换的性质可知，△ADE≌△ABF，


∴正方形ABCD的面积＝四边形AECF的面积＝25，


∴BC＝5，BF＝DE＝1，


∴FC＝6，CE＝4，


∴EF＝＝＝2．


故选：D．


【点评】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键．


4．（3分）一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2为（ ）


A．﹣2B．bC．2D．﹣b


【考点】AB：根与系数的关系．


【分析】根据“一元二次方程x2﹣2x+b＝0的两根分别为x1和x2”，结合根与系数的关系，即可得到答案．


【解答】解：根据题意得：


x1+x2＝﹣＝2，


故选：C．


【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．


5．（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（ ）





A．10B．9C．8D．7


【考点】U3：由三视图判断几何体．


【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．


【解答】解：从俯视图可得最底层有5个小正方体，由主视图可得上面一层是2个，3个或4个小正方体，


则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个，


组成这个几何体的小正方体的个数最多是9个．


故选：B．


【点评】本题考查三视图的知识及从不同方向观察物体的能力，解题中用到了观察法．确定该几何体有几列以及每列方块的个数是解题关键．


6．（3分）如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：


根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为、，甲、乙的方差分别为s甲2，s乙2，则下列结论正确的是（ ）


A．＝，s甲2＜s乙2B．＝，s甲2＞s乙2


C．＞，s甲2＜s乙2D．＜，s甲2＜s乙2


【考点】W1：算术平均数；W7：方差．


【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．


【解答】解：（1）＝（10+7+7+8+8+8+9+7）＝8；＝（10+5+5+8+9+9+8+10）＝8；


s甲2＝[（10﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2]＝1；


s乙2＝[（10﹣8）2+（5﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2]＝，


∴＝，s甲2＜s乙2，


故选：A．


【点评】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．


7．（3分）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（ ）





A．B．C．D．


【考点】K5：三角形的重心；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．


【分析】连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，由点O是等边三角形ABC的内心可以得到∠OBC＝∠OCB＝30°，结合条件BC＝2即可求出△OBC的面积，由∠EOF＝∠BOC，从而得到∠EOB＝∠FOC，进而可以证到△EOB≌△FOC，因而阴影部分面积等于△OBC的面积．


【解答】解：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，


∵△ABC为等边三角形，


∴∠ABC＝∠ACB＝60°，


∵点O为△ABC的内心


∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．


∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°．


∴OB＝OC．∠BOC＝120°，


∵ON⊥BC，BC＝2，


∴BN＝NC＝1，


∴ON＝tan∠OBC•BN＝×1＝，


∴S△OBC＝BC•ON＝．


∵∠EOF＝∠AOB＝120°，


∴∠EOF﹣∠BOF＝∠AOB﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC．


在△EOB和△FOC中，


，


∴△EOB≌△FOC（ASA）．


∴S阴影＝S△OBC＝


故选：C．





【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．


8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（ ）


A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形


B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°


C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形


D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形


【考点】F6：正比例函数的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；KI：等腰三角形的判定；KL：等边三角形的判定．


【分析】通过画图可解答．


【解答】解：A、如图1，可以得△ABC为等腰三角形，正确；





B、如图3，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，可以得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°，正确；





C、如图2和3，∠BAC＝90°，可以得△ABC为直角三角形，正确；





D、不存在实数k，使得△ABC为等边三角形，不正确；


本题选择结论不正确的，


故选：D．


【点评】本题考查了二次函数和正比例函数图象，等边三角形和判定，直角三角形的判定，正确画图是关键．


二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。


9．（3分）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝ （b+c+a）（b+c﹣a） ．


【考点】56：因式分解﹣分组分解法．


【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．


【解答】解：原式＝（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．


故答案为：（b+c+a）（b+c﹣a）


【点评】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有a的二次项，a的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．


10．（3分）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝ 60 °．





【考点】JA：平行线的性质；L3：多边形内角与外角．


【分析】先根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°求出六边形的内角和，再除以6即可求出∠B的度数，由平行线的性质可求出∠DAB的度数．


【解答】解：在六边形ABCDEF中，


（6﹣2）×180°＝720°，


＝120°，


∴∠B＝120°，


∵AD∥BC，


∴∠DAB＝180°﹣∠B＝60°，


故答案为：60°．


【点评】本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形内角和公式及平行线的性质．


11．（3分）将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．


【考点】H6：二次函数图象与几何变换．


【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．


【解答】解：将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，


所得图象的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2．


故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．


【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．


12．（3分）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝ ．





【考点】KQ：勾股定理；SE：射影定理．


【分析】根据勾股定理求出AB，根据射影定理列式计算即可．


【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，


由射影定理得，AC2＝AD•AB，


∴AD＝＝，


故答案为：．


【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．


13．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50 ．


【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．


【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润＝售价﹣成本价结合半年以后的销售利润为（65﹣50）元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．


【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，


依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．


故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．


【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．


14．（3分）若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是 ﹣2≤m＜1 ．


【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．


【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可．


【解答】解：


解不等式①得：x＞﹣2，


解不等式②得：x≤，


∴不等式组的解集为﹣2＜x≤，


∵不等式组只有两个整数解，


∴0≤＜1，


解得：﹣2≤m＜1，


故答案为﹣2≤m＜1．


【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于m的不等式组，难度适中．


15．（3分）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是 4π ．





【考点】M5：圆周角定理．


【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．


【解答】解：∵∠A＝∠BDC，


而∠ACB＝∠CDB＝60°，


∴∠A＝∠ACB＝60°，


∴△ACB为等边三角形，


∵AC＝2，


∴圆的半径为2，


∴⊙O的面积是4π，


故答案为：4π．


【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．


16．（3分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N．下列结论正确的是 ①③④ （写出所有正确结论的序号）．


①AM＝BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC＝180°；④＝





【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．


【分析】①根据等边三角形性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，求出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；


②根据∠ABC＝60°＝∠BCD，求出AB∥CD，可推出△ABF∽△DNF，找不出全等的条件；


③根据角的关系可以求得∠AFB＝60°，可求得MFN＝120°，根据∠BCD＝60°可解题；


④根据CM＝CN，∠MCN＝60°，可求得∠CNM＝60°，可判定MN∥AE，可求得＝＝，可解题．


【解答】证明：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，


∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，


∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，


即∠BCE＝∠ACD，


在△BCE和△ACD中，


，


∴△BCE≌△ACD（SAS），


∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE，


在△DMC和△ENC中，


，


∴△DMC≌△ENC（ASA），


∴DM＝EN，CM＝CN，


∴AD﹣DM＝BE﹣EN，即AM＝BN；


②∵∠ABC＝60°＝∠BCD，


∴AB∥CD，


∴∠BAF＝∠CDF，


∵∠AFB＝∠DFN，


∴△ABF∽△DNF，找不出全等的条件；


③∵∠AFB+∠ABF+∠BAF＝180°，∠FBC＝∠CAF，


∴∠AFB+∠ABC+∠BAC＝180°，


∴∠AFB＝60°，


∴∠MFN＝120°，


∵∠MCN＝60°，


∴∠FMC+∠FNC＝180°；


④∵CM＝CN，∠MCN＝60°，


∴△MCN是等边三角形，


∴∠MNC＝60°，


∵∠DCE＝60°，


∴MN∥AE，


∴＝＝，


∵CD＝CE，MN＝CN，


∴＝，


∴＝1﹣，


两边同时除MN得＝﹣，


∴＝．


故答案为①③④


【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．


三、解答题:(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。


17．（10分）（1）计算：（2019﹣）0﹣2﹣1+|﹣1|+sin245°


（2）化简：÷（+）


【考点】2C：实数的运算；6C：分式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．


【分析】（1）先根据0指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值，计算出（2019﹣）0、2﹣1、sin245°的值，再加减；


（2）先算括号里面的加法，再把除法转化为乘法，求出结果．


【解答】解：（1）原式＝1﹣+1+（）2


＝2﹣+


＝2


（2）原式＝÷


＝×


＝y．


【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值、分式的混合运算等知识点，题目难度不大，综合性较强，是中考热点题型．a0＝1（a≠0）；


a﹣p＝（a≠0）．


18．（6分）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．





【考点】KD：全等三角形的判定与性质．


【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．


【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC


∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE


∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE


∴△ABC≌△ADE（SAS）


∴∠C＝∠E


【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠CAB＝∠EAD是本题的关键．


19．（8分）某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制作了如图不完整的统计图．


（1）求三个年级获奖总人数；


（2）请补全扇形统计图的数据；


（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占，其余为九年级的同学，现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率．





【考点】VB：扇形统计图；X6：列表法与树状图法．


【分析】（1）由获得纪念奖的人数及其所占百分比可得答案；


（2）先求出获得三等奖所占百分比，再根据百分比之和为1可得一等奖对应百分比，从而补全图形；


（3）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．


【解答】解：（1）三个年级获奖总人数为17÷34%＝50（人）；





（2）三等奖对应的百分比为×100%＝20%，


则一等奖的百分比为1﹣（14%+20%+34%+24%）＝8%，


补全图形如下：








（3）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，


画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）





共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，


所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率为．


【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．


20．（8分）甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物．已知A、C两城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C城．求两车的速度．


【考点】B7：分式方程的应用．


【分析】设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时，路程知道，且甲车比乙车早半小时到达C城，以时间做为等量关系列方程求解．


【解答】解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时．


根据题意，得：+＝，


解得：x＝80，或x＝﹣110（舍去），


∴x＝80，


经检验，x＝，80是原方程的解，且符合题意．


当x＝80时，x+10＝90．


答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时．


【点评】本题考查分式方程的应用、分式方程的解法，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．根据时间＝，列方程求解．


21．（8分）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）





【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．


【分析】设AM＝x米，根据等腰三角形的性质求出FM，利用正切的定义用x表示出EM，根据题意列方程，解方程得到答案．


【解答】解：设AM＝x米，


在Rt△AFM中，∠AFM＝45°，


∴FM＝AM＝x，


在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，


则EM＝＝x，


由题意得，FM﹣EM＝EF，即x﹣x＝40，


解得，x＝60+20，


∴AB＝AM+MB＝61+20，


答：该建筑物的高度AB为（61+20）米．


【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．


22．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．


（1）求反比例函数和一次函数的解析式；


（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积．





【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．


【分析】（1）根据系数k的几何意义即可求得k，进而求得P（1，2），然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；


（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，求出点C、D的坐标，然后联立方程求得P、M的坐标，最后根据S五边形＝S△COD﹣S△APD﹣S△BCM，根据三角形的面积公式列式计算即可得解；


【解答】解：（1）∵过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．


∴S△OPA＝|k|＝1，


∴|k|＝2，


∵在第一象限，


∴k＝2，


∴反比例函数的解析式为y＝；


∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点P（1，m），


∴m＝＝2，


∴P（1，2），


∵次函数y＝﹣x+b的图象过点P（1，2），


∴2＝﹣1+b，解得b＝3，


∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；





（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，


∴C（3，0），D（0，3），


解得或，


∴P（1，2），M（2，1），


∴PA＝1，AD＝3﹣2＝1，BM＝1，BC＝3﹣2＝1，


∴五边形OAPMB的面积为：S△COD﹣S△BCM﹣S△ADP＝×3×3﹣×1×1﹣×1×1＝．





【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数系数k的几何意义，求得交点坐标是解题的关键．


23．（10分）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．


（1）求证：直线BD是⊙O的切线；


（2）求⊙O的半径OD的长；


（3）求线段BM的长．





【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质．


【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADO＝30°，求出∠DOB＝60°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可；


（2）根据直角三角形的性质得到OD＝OB，于是得到结论；


（3）解直角三角形得到DE＝2，BD＝，根据勾股定理得到BE＝＝，根据切割线定理即可得到结论．


【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°，


∴∠A＝∠ADO＝30°，


∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，


∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，


∵OD是半径，


∴BD是⊙O的切线；


（2）∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，


∴OD＝OB，


∵OC＝OD，


∴BC＝OC＝1，


∴⊙O的半径OD的长为1；


（3）∵OD＝1，


∴DE＝2，BD＝，


∴BE＝＝，


∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O 的割线，


∴BD2＝BM•BE，


∴BM＝＝＝．


【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，切割线定理，正确的识别图形是解题的关键．


24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．


（1）求此抛物线和直线AB的解析式；


（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；


（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．





【考点】HF：二次函数综合题．


【分析】（1）将A（0，﹣3）、B（3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；


（2）先求出C点坐标和E点坐标，则CE＝2，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，②若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），可分别得到方程求出点M的坐标；


（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），可由，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．


【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，


∴，


∴，


∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，


∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，


∴，解得：，


∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，


（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，


∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），


∵CE∥y轴，


∴E（1，﹣2），


∴CE＝2，


①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，


设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），


∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，


∴﹣a2+3a＝2，


解得：a＝2，a＝1（舍去），


∴M（2，﹣1），


②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，


设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），


∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，


∴a2﹣3a＝2，


解得：a＝，a＝（舍去），


∴M（，），


综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．


（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，


设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），


∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，


∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，


∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．


【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．


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