2018-2019学年河北省秦皇岛市青龙县九年级上期末数学复习试题（含答案解析）

这是一份2018-2019学年河北省秦皇岛市青龙县九年级上期末数学复习试题（含答案解析），共21页。试卷主要包含了抛物线y＝，下列事件中必然发生的事件是等内容，欢迎下载使用。

河北省秦皇岛市青龙县2018-2019学年九年级（上）
期末数学复习试题
一．选择题（满分42分，每小题3分）
1．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
2．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
3．下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
5．下列事件中必然发生的事件是（　　）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
6．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（　　）

A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
7．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．25°
8．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶差距离为10cm，修理人员应准备内径为（　　）cm的管道．

A．50 B．50 C．100 D．80
9．如图，点A在反比例函数y＝图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且EC＝AC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为5，则k的值为（　　）

A． B．10 C． D．12
10．四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．如图是12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，现随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
12．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
13．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点AB且与CD边相切，若AB＝2，则圆的半径为（　　）

A． B． C． D．1
14．如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（　　）

A．2π B．π C． D．6π
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
15．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（m+3）x+m2﹣4＝0有一个根是零，则m＝　 　．
16．抛物线y＝3（x+2）2﹣7的对称轴是　 　．
17．如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转角为　 　．

18．为庆祝祖国华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴布部分BD的长为20cm，则贴布部分的面积约为　 　cm2．

19．盒中有6枚黑棋和n枚白棋，从中随机取一枚棋子，恰好是白棋的概率为，则n的值为　 　．
20．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①a+b+c＝0，②abc＜0；③2a+b＞0；④a+c＝1；
其中正确的结论的序号是　 　

三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）解方程：x2+4x﹣3＝0．
22．（8分）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果．
（2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．

25．（12分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．


参考答案
一．选择题
1．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，分别求出四个选项中方程的根的判别式，利用“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”即可找出结论．
解：A、∵△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，A不符合题意；
B、∵△＝（﹣36）2﹣4×1×36＝1152＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，B不符合题意；
C、∵△＝42﹣4×4×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根，C符合题意；
D、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
2．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
3．下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．
解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断．
4．⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
【分析】由⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即可求得答案．
解：∵⊙O的直径为15cm，
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵O点与P点的距离为8cm，
∴点P在⊙O外．
故选：A．
【点评】此题考查了点与圆的位置关系．注意点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
5．下列事件中必然发生的事件是（　　）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．
6．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（　　）

A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．
解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4，
由勾股定理得，OA＝＝5，
故选：C．

【点评】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
7．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．25°
【分析】根据已知条件得到四边形ABCO是菱形，推出△OAB是等边三角形，得到∠ABD＝60°，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴OA＝AB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理、平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶差距离为10cm，修理人员应准备内径为（　　）cm的管道．

A．50 B．50 C．100 D．80
【分析】连接OA作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．
解：如图，过O作OC⊥AB于C，连接AO，
∴AC＝AB＝×60＝30，
CO＝AO﹣10，
在Rt△AOC中，AO2＝AC2+OC2，
AO2＝302+（AO﹣10）2，解得AO＝50cm．
∴内径为2×50＝100cm．
故选：C．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．如图，点A在反比例函数y＝图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且EC＝AC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为5，则k的值为（　　）

A． B．10 C． D．12
【分析】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k＝ab，AB＝a，OC＝2AB＝2a，BD＝OD＝b，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC得（a+2a）×b＝a×b+7+×2a×b，整理可得ab＝，即可得到k的值．
解：连DC，如图，
∵EC＝AC，△ADE的面积为5，
∴△CDE的面积为2，
∴△ADC的面积为7，
设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，
而点D为OB的中点，
∴BD＝OD＝b，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b＝a×b+7+×2a×b，
∴ab＝，
把A（a，b）代入双曲线y＝，
∴k＝ab＝．
故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系．
10．四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．
解：假设甲和丙的结论正确，则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+4．
当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x+4＝7，
∴乙的结论不正确；
当x＝2时，y＝x2﹣2x+4＝4，
∴丁的结论正确．
∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，
∴假设成立．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．
11．如图是12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，现随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】用涂上阴影的小正方形的个数除以所有小正方形的个数即可求得概率．
解：如图所示：12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，
则随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，了解几何概率的求法是解答本题的关键．
12．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
13．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点AB且与CD边相切，若AB＝2，则圆的半径为（　　）

A． B． C． D．1
【分析】作OM⊥AB于点M，连接OB，在直角△OBM中根据勾股定理即可得到一个关于半径的方程，即可求得．
解：作OM⊥AB于点M，连接OB，设圆的半径是x，
则在直角△OBM中，OM＝2﹣x，BM＝1，
∵OB2＝OM2+BM2，
∴x2＝（2﹣x）2+1，
解得x＝．
故选：B．

【点评】在圆的有关半径、弦长、弦心距之间的计算一般要转化为直角三角形的计算．
14．如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（　　）

A．2π B．π C． D．6π
【分析】根据三角形的内角和是180°和扇形的面积公式进行计算．
解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴阴影部分的面积＝＝2π．
故选：A．
【点评】考查了扇形面积的计算，因为三个扇形的半径相等，所以不需知道各个扇形的圆心角的度数，只需知道三个圆心角的和即可．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
15．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（m+3）x+m2﹣4＝0有一个根是零，则m＝　﹣2　．
【分析】把x＝0代入方程（m﹣2）x2+（m+3）x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定m的值．
解：把x＝0代入方程（m﹣2）x2+（m+3）x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16．抛物线y＝3（x+2）2﹣7的对称轴是　x＝﹣2　．
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是x＝h即可确定．
解：∵y＝3（x+2）2﹣7，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的对称轴方程，比较容易．
17．如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转角为　90°　．

【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．
解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．
18．为庆祝祖国华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴布部分BD的长为20cm，则贴布部分的面积约为　　cm2．

【分析】根据扇形的面积公式，利用贴布部分的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE进行计算即可．
解：贴布部分的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝（cm2）．
故答案为．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
19．盒中有6枚黑棋和n枚白棋，从中随机取一枚棋子，恰好是白棋的概率为，则n的值为　2　．
【分析】直接以概率求法得出关于n的等式进而得出答案．
解：由题意可得：＝，
解得：n＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题关键．
20．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①a+b+c＝0，②abc＜0；③2a+b＞0；④a+c＝1；
其中正确的结论的序号是　①③④　

【分析】①由点（1，0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出a+b+c＝0，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在y轴右侧以及与y轴交于负半轴，可得出a＞0，﹣＞0，c＜0，进而可得出abc＞0，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及a＞0，可得出2a＞﹣b，进而可得出2a+b＞0，结论③正确；④由二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）和（1，0），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出a﹣b+c＝2，a+b+c＝0，进而可得出a+c＝1，结论④正确．综上，此题得解．
解：①∵点（1，0）在二次函数图象上，
∴a+b+c＝0，结论①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣＞0，c＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，结论②错误；
③∵﹣＜1，a＞0，
∴2a＞﹣b，
∴2a+b＞0，结论③正确；
④∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）和（1，0），
∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝0，
∴a+c＝1，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）解方程：x2+4x﹣3＝0．
【分析】先利用配方法将原式化为完全平方的形式，再用直接开平方法解答．
解：原式可化为x2+4x+4﹣7＝0
即（x+2）2＝7，
开方得，x+2＝±，
x1＝﹣2+；
x2＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，熟悉完全平方公式是解题的关键．
22．（8分）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果．
（2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果中数字之和为偶数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：（1）画树状图得：

由树状图知共有6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；

（2）∵共有6种等可能结果，其中数字之和为偶数的有2种结果，
∴取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．
【分析】（1）把A（4，1）代入y＝中可得k的值；
（2）直线OA的解析式为：y＝x，可知直线l与OA平行，
①将b＝﹣1时代入可得：直线解析式为y＝x﹣1，画图可得整点的个数；
②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，
画图计算边界时点b的值，可得b的取值．
解：（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；
（2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1，
解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，则B（2+2，），
而C（0，﹣1），
如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；
②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，
且经过（5，0），
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．
如图3，直线l在OA的上方时，
∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G，
当直线l：y＝+b过（1，2）时，b＝，
当直线l：y＝+b过（1，3）时，b＝，
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．
综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．



【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．

【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC＝CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD＝AB，即可得：∠B＝∠D；
（2）首先设BC＝x，则AC＝x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2＝42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；

（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+x2＝42，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝1+．

【点评】此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
25．（12分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；
（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
解：（1）y＝w（x﹣20）
＝（﹣2x+80）（x﹣20）
＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y＝﹣2（x﹣30）2+200．
∵20≤x≤40，a＝﹣2＜0，
∴当x＝30时，y最大值＝200．
答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．（3）由二次函数的值求出x的值．
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．

【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；
（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；
（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；
（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．
解：
（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得，x＝﹣3或x＝l，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．
∵M（m，0），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．
（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，
∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．
∵A（﹣3，0），C（0，3），
设直线AC的解析式y＝kx+b，
∴
解得k＝l，b＝3，
∴解析式y＝x+3，
令x＝﹣2，则y＝1，
∴E（﹣2，1），
∴EM＝1，AM＝1，
∴S＝AM×EM＝．
（4）∵M（﹣2，0），抛物线的对称轴为x＝﹣l，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ＝DC，
把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，
∴D（﹣1，4），
∴DQ＝DC＝．
∵FG＝2DQ，
∴FG＝4．
设F（n，﹣n2﹣2n+3），则G（n，n+3），
∵点G在点F的上方且FG＝4，
∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4．
解得n＝﹣4或n＝1，
∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长．