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初中数学北师大版九年级下册6 利用三角函数测高教案设计
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这是一份初中数学北师大版九年级下册6 利用三角函数测高教案设计，共7页。教案主要包含了知识与能力，过程与方法，情感态度价值观，教学重点，教学难点，课堂引入，应用举例，拓展提升等内容，欢迎下载使用。
教学目标
【知识与能力】
1.能够对仪器进行调整并能熟练运用仪器进行实地测量；
2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．
【过程与方法】
积极参与数学活动，积累数学活动的经验，提高对试验数据的处理能力．
【情感态度价值观】
学会将实际问题转化为数学模型的方法，在提高分析问题、解决问题的能力的同时，增强数学的应用意识．
教学重难点
【教学重点】
运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．
【教学难点】
能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题.
课前准备
多媒体课件，自制侧倾器，皮尺等工具．
教学过程
(续表)
(续表)
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
我们学习了应用三角函数测量古塔的高度，判断轮船是否会触礁等，你的解题思路是什么？你还能利用三角函数来测量物体的高度吗？
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.在实际生活中，会经常见到一些高大的物体，像旗杆、高楼、古塔等(多媒体展示如图1－6－7所示的图片)，它们高度较高且顶部不易到达，如果想测量它们的高度，根据所学的知识，大家有哪些测量方案？
图1－6－7
(1)利用太阳光下的影子测量；(2)利用标杆测量；(3)利用镜子的反射测量.
师：我们前面刚学过直角三角形的边角关系，那么能不能用这方面的知识来测量一些物体的高度呢？带着这个问题，我们来进行本节课的学习.
2.如图1－6－8，AC表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD表示一个建筑物，且不能到达．已知AC与BD地平高度相同，AC周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角).
图1－6－8
(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图；
(2)写出计算BD高度的表达式.
师：如何设计一个测量建筑物BD高度的方案呢？
1.利用实际生活中经常见到的一些高大物体的图片引入新课，让学生感受数学知识与实际生活的紧密联系，图片展示形象而生动，吸引了学生的注意力，提高了学生的兴趣，使学生产生很强的探究欲望.
2.通过生活中的实际问题引入课题，使学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，增加学生学习数学的兴趣，并让学生带着问题走进今天的学习.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 测量倾斜角(仰角或俯角)
师：(课件展示)测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图1－6－9).
图1－6－9
使学生会使用测倾器测量倾斜角的大小，并能说明其原理.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
如图1－6－10所示，把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.
根据测量数据，你能求出目标M的仰角或俯角吗？说说你的理由.
了解了用测倾器测量倾斜角的大小， 图1－6－10
借助它和皮尺我们就可以测量一些物体的高度.
在生活中有些物体的底部可以到达，有些物体的底部不可以直接到达，所以分两类分别探究.
【探究2】 测量底部可以到达的物体的高度
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
师：如图1－6－11，要测量物体MN的高度，需测量哪些数据？
测量AN及AC的长.
测量仰角∠MCE. 图1－6－11
你能说出测量物体MN的高度的一般步骤吗？需要测得的数据用字母表示.
(学生之间讨论后回答)
1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.
3.量出测倾器的高度AC＝a.
根据刚才测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由．和同伴交流一下你的发现.
在Rt△MCE中，ME＝EC·tanα＝AN·tanα＝l·tanα，
∴MN＝ME＋EN＝ME＋AC＝l·tanα＋a.
那么底部不可以直接到达的物体的高度如何测量呢？
【探究3】 测量底部不可以直接到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
如图1－6－12，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行：
1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE＝α.
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器(点A，B与N在一条直线上， 图1－6－12
且A，B之间的距离可以直接测得)，测得此时M的仰角∠MDE＝β.
3.量出测倾器的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b.
通过小组合作设计方案，培养学生科学的思维方式及归纳总结的能力.
这个活动的设计方案对于学生来说有一定的难度，所以在教学过程中要给学生留有充分的讨论时间，不可急于求成，也可各组间穿插讨论；同时教师要深入小组内讨论，帮助有困难的小组．这个活动的设计方案不唯一，学生说的只要合理，就应该给予肯定和鼓励．教师还要关注学生是否积极参与，是否真正理解.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
根据测量数据，物体MN的高度计算过程如下：
在Rt△MDE中，ED＝eq \f(ME,tanβ).
在Rt△MCE中，EC＝eq \f(ME,tanα).
∵EC－ED＝CD，
∴eq \f(ME,tanα)－eq \f(ME,tanβ)＝b，∴ME＝eq \f(btanαtanβ,tanβ－tanα)，
∴MN＝eq \f(btanαtanβ,tanβ－tanα)＋a.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
师：回过头来，我们再来看活动一中的第2个问题，现在你能解决了吧？
生：可以类比测量底部不可以直接到达的物体高度的方法来解决.
师：你来说说具体的解决方案.
生1(这名学生到黑板前边叙述方案边 图1－6－13
画出测量示意图)：
1.在测点A处安置测倾器，测得B的仰角为α.
2.在测点C处安置测倾器，测得B的仰角为β.
3.量出测点A，C之间的距离b.
利用测得数据就可以计算建筑物BD的高度.
其余学生根据学生1的测量方案及数据计算建筑物BD的高度.
变式：如图1－6－14，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度是5 m，大门距主楼的距离BC是30 m， 图1－6－14
在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面的高度BE是1.4 m，求学校主楼的高度(精确到0.01 m).
(本题先让学生独立完成，找一名学生到黑板前板书解题过程，便于集体纠正出现的错误)
1.用本节探究出来的方案解决开始时没有解决的问题，让学生体验“用数学解决实际问题”，体会数学的应用价值.
2.进一步巩固用三角函数解决生活中的问题．如果学生掌握得好，进入下面的环节；如果学生掌握得不好，则可以再引导学生多加练习.
【拓展提升】
例1 如图1－6－15，从地面C，D两处望山顶A，仰角分别为30°，45°.若C，D两处相距200 m，求山高AB.
例2 如图1－6－16，大楼AD的高为 图1－6－15
10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶B处的仰角为30°，求塔BC的高度.
图1－6－16
通过题组检测，发现学生知识的薄弱环节，在哪些方面存在不足，有效地反馈出来，适时加以点拨矫正.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
课本P23习题1.7中T1、T2、T3
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
利用三角函数测高
MN＝ME＋EN＝b·tanα＋a
MN＝eq \f(btanαtanβ,tanβ－tanα)＋a
测量结
果展示：
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过对上节课所学知识的回顾以及问题的抛出，设计活动方案初步填写活动报告表，使所有学生对本节课的活动从理性上有清醒的认识，明确自己在活动中的任务．室内活动为室外活动做好了充分的准备.
②[讲授效果反思]
在本节课的整个活动过程中，每个小组的成员都能积极地投入到活动中去，学生自始至终处于主体地位，积极想办法寻找解决问题的方案，克服困难，表现出极大的参与热情，尤其是平时数学成绩很一般的学生都充当了主角地位，他们出谋划策，测量、收集数据一马当先，对自己设计的方案感到非常自豪，大大提高了学生的动手、动脑能力，激发了学习热情.
③[师生互动反思]
______________________________________________________
______________________________________________________
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思，更进一步提升.
教学目标
【知识与能力】
1.能够对仪器进行调整并能熟练运用仪器进行实地测量；
2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．
【过程与方法】
积极参与数学活动，积累数学活动的经验，提高对试验数据的处理能力．
【情感态度价值观】
学会将实际问题转化为数学模型的方法，在提高分析问题、解决问题的能力的同时，增强数学的应用意识．
教学重难点
【教学重点】
运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．
【教学难点】
能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题.
课前准备
多媒体课件，自制侧倾器，皮尺等工具．
教学过程
(续表)
(续表)
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
我们学习了应用三角函数测量古塔的高度，判断轮船是否会触礁等，你的解题思路是什么？你还能利用三角函数来测量物体的高度吗？
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.在实际生活中，会经常见到一些高大的物体，像旗杆、高楼、古塔等(多媒体展示如图1－6－7所示的图片)，它们高度较高且顶部不易到达，如果想测量它们的高度，根据所学的知识，大家有哪些测量方案？
图1－6－7
(1)利用太阳光下的影子测量；(2)利用标杆测量；(3)利用镜子的反射测量.
师：我们前面刚学过直角三角形的边角关系，那么能不能用这方面的知识来测量一些物体的高度呢？带着这个问题，我们来进行本节课的学习.
2.如图1－6－8，AC表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD表示一个建筑物，且不能到达．已知AC与BD地平高度相同，AC周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角).
图1－6－8
(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图；
(2)写出计算BD高度的表达式.
师：如何设计一个测量建筑物BD高度的方案呢？
1.利用实际生活中经常见到的一些高大物体的图片引入新课，让学生感受数学知识与实际生活的紧密联系，图片展示形象而生动，吸引了学生的注意力，提高了学生的兴趣，使学生产生很强的探究欲望.
2.通过生活中的实际问题引入课题，使学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，增加学生学习数学的兴趣，并让学生带着问题走进今天的学习.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 测量倾斜角(仰角或俯角)
师：(课件展示)测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图1－6－9).
图1－6－9
使学生会使用测倾器测量倾斜角的大小，并能说明其原理.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
如图1－6－10所示，把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.
根据测量数据，你能求出目标M的仰角或俯角吗？说说你的理由.
了解了用测倾器测量倾斜角的大小， 图1－6－10
借助它和皮尺我们就可以测量一些物体的高度.
在生活中有些物体的底部可以到达，有些物体的底部不可以直接到达，所以分两类分别探究.
【探究2】 测量底部可以到达的物体的高度
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
师：如图1－6－11，要测量物体MN的高度，需测量哪些数据？
测量AN及AC的长.
测量仰角∠MCE. 图1－6－11
你能说出测量物体MN的高度的一般步骤吗？需要测得的数据用字母表示.
(学生之间讨论后回答)
1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.
3.量出测倾器的高度AC＝a.
根据刚才测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由．和同伴交流一下你的发现.
在Rt△MCE中，ME＝EC·tanα＝AN·tanα＝l·tanα，
∴MN＝ME＋EN＝ME＋AC＝l·tanα＋a.
那么底部不可以直接到达的物体的高度如何测量呢？
【探究3】 测量底部不可以直接到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
如图1－6－12，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行：
1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE＝α.
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器(点A，B与N在一条直线上， 图1－6－12
且A，B之间的距离可以直接测得)，测得此时M的仰角∠MDE＝β.
3.量出测倾器的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b.
通过小组合作设计方案，培养学生科学的思维方式及归纳总结的能力.
这个活动的设计方案对于学生来说有一定的难度，所以在教学过程中要给学生留有充分的讨论时间，不可急于求成，也可各组间穿插讨论；同时教师要深入小组内讨论，帮助有困难的小组．这个活动的设计方案不唯一，学生说的只要合理，就应该给予肯定和鼓励．教师还要关注学生是否积极参与，是否真正理解.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
根据测量数据，物体MN的高度计算过程如下：
在Rt△MDE中，ED＝eq \f(ME,tanβ).
在Rt△MCE中，EC＝eq \f(ME,tanα).
∵EC－ED＝CD，
∴eq \f(ME,tanα)－eq \f(ME,tanβ)＝b，∴ME＝eq \f(btanαtanβ,tanβ－tanα)，
∴MN＝eq \f(btanαtanβ,tanβ－tanα)＋a.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
师：回过头来，我们再来看活动一中的第2个问题，现在你能解决了吧？
生：可以类比测量底部不可以直接到达的物体高度的方法来解决.
师：你来说说具体的解决方案.
生1(这名学生到黑板前边叙述方案边 图1－6－13
画出测量示意图)：
1.在测点A处安置测倾器，测得B的仰角为α.
2.在测点C处安置测倾器，测得B的仰角为β.
3.量出测点A，C之间的距离b.
利用测得数据就可以计算建筑物BD的高度.
其余学生根据学生1的测量方案及数据计算建筑物BD的高度.
变式：如图1－6－14，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度是5 m，大门距主楼的距离BC是30 m， 图1－6－14
在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面的高度BE是1.4 m，求学校主楼的高度(精确到0.01 m).
(本题先让学生独立完成，找一名学生到黑板前板书解题过程，便于集体纠正出现的错误)
1.用本节探究出来的方案解决开始时没有解决的问题，让学生体验“用数学解决实际问题”，体会数学的应用价值.
2.进一步巩固用三角函数解决生活中的问题．如果学生掌握得好，进入下面的环节；如果学生掌握得不好，则可以再引导学生多加练习.
【拓展提升】
例1 如图1－6－15，从地面C，D两处望山顶A，仰角分别为30°，45°.若C，D两处相距200 m，求山高AB.
例2 如图1－6－16，大楼AD的高为 图1－6－15
10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶B处的仰角为30°，求塔BC的高度.
图1－6－16
通过题组检测，发现学生知识的薄弱环节，在哪些方面存在不足，有效地反馈出来，适时加以点拨矫正.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
课本P23习题1.7中T1、T2、T3
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
利用三角函数测高
MN＝ME＋EN＝b·tanα＋a
MN＝eq \f(btanαtanβ,tanβ－tanα)＋a
测量结
果展示：
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过对上节课所学知识的回顾以及问题的抛出，设计活动方案初步填写活动报告表，使所有学生对本节课的活动从理性上有清醒的认识，明确自己在活动中的任务．室内活动为室外活动做好了充分的准备.
②[讲授效果反思]
在本节课的整个活动过程中，每个小组的成员都能积极地投入到活动中去，学生自始至终处于主体地位，积极想办法寻找解决问题的方案，克服困难，表现出极大的参与热情，尤其是平时数学成绩很一般的学生都充当了主角地位，他们出谋划策，测量、收集数据一马当先，对自己设计的方案感到非常自豪，大大提高了学生的动手、动脑能力，激发了学习热情.
③[师生互动反思]
______________________________________________________
______________________________________________________
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思，更进一步提升.
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